Pi

$π$ (Pi), talvolta chiamato costante di Archimede , è un numero rappresentato dalla lettera greca con lo stesso nome in minuscolo (π). È il rapporto costante tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro in un piano euclideo . Può anche essere definito come il rapporto tra l' area di un disco e il quadrato del suo raggio .

Il suo valore approssimativo predefinito a meno di 0,5 × 10 –15 è 3,141592653589793 in scrittura decimale .

Molte formule in fisica , ingegneria e , naturalmente , matematica , coinvolgono $π$ , che è una delle costanti più importanti in matematica.

Il numero $π$ è irrazionale , vale a dire che non può essere espresso come rapporto di due numeri interi ; ciò implica che la sua scrittura decimale non è né finita né periodica. È anche un numero trascendente , il che significa che non esiste un polinomio diverso da zero con coefficienti interi di cui $π$ è una radice .

La determinazione di un valore sufficientemente precisa approssimato di $π$ , e la comprensione della sua natura sono problemi che hanno attraversato la storia della matematica ; il fascino esercitato da questo numero lo ha addirittura reso parte della cultura popolare.

L'uso della lettera greca π, prima lettera del περίμετρος ( " perimetro " in greco antico ), si è manifestato solo XVIII ° secolo. In precedenza, il suo valore era indicato da varie parafrasi come "costante del cerchio" o suo equivalente in varie lingue.

Definizione e prime proprietà

Definizione

In dizionari e opere generali, $π$ è definito come il rapporto, costante nel solito piano che è il piano euclideo , tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro . Questo rapporto non dipende dal cerchio scelto, in particolare dalle sue dimensioni. Infatti tutti i cerchi sono simili e per passare da un cerchio all'altro è sufficiente conoscere il rapporto di somiglianza. Di conseguenza, per ogni $k$ reale positivo , se un cerchio ha un raggio $r$ (o un diametro $d = 2 r$ ) $k$ volte maggiore di un altro, allora anche il suo perimetro $P$ sarà $k$ volte maggiore, il che dimostra la costanza del rapporto.

{\ displaystyle \ pi = {\ frac {P} {2r}} = {\ frac {P} {d}}}

Inoltre, questa stessa somiglianza moltiplicherà l' area $A$ per il quadrato di $k$ , il che ora dimostra che il rapporto $A / r 2$ è costante. Possiamo mostrare, ad esempio con il metodo degli indivisibili , che anche questa costante vale $π$ .

{\ displaystyle \ pi = {\ frac {A} {r ^ {2}}}}

Il disegno a lato illustra un altro metodo, dovuto essenzialmente ad Archimede ( vedi sotto ): il perimetro del poligono è di circa $2π r$ mentre ridistribuendo i triangoli formati si nota che la sua area è approssimativamente $uguale$ a $π$ $r$ $2$ . Per formalizzare il “circa”, sarebbe necessario far tendere all'infinito il numero dei lati del poligono, che già illustra la natura “analitica” di $π$ .

Altre definizioni

La definizione geometrica sopra, storicamente il primo e molto intuitivo, non è il più diretto per definire $π$ matematicamente in ciascuno rigore. Lavori più specializzati, ad esempio definiscono $π$ mediante analisi reale , a volte utilizzando funzioni trigonometriche , ma introdotte senza riferimento alla geometria:

Una scelta frequente è definire $π$ come il doppio del più piccolo numero positivo $x$ tale che $cos ( x ) = 0$ , dove $cos$ può essere definito come la parte reale dell'esponenziale complesso, oppure come la soluzione di un problema di Cauchy .
Un'altra definizione è possibile considerando le proprietà algebriche della funzione esponenziale complessa che risultano dalla sua definizione per una serie intera e che fanno della mappa t ↦ exp (i t ) un morfismo di gruppo continuo e suriettivo di (ℝ, +) al gruppo (?, ×) dei complessi modulo $1$ . Dimostriamo allora che l'insieme dei numeri reali $t$ tale che $exp (i t ) = 1$ è della forma $a$ dove $a$ è un reale strettamente positivo. Poniamo quindi $π = a / 2$ . Il calcolo integrale permette quindi di verificare che questa definizione astratta corrisponde effettivamente a quella della geometria euclidea.
Il gruppo di Bourbaki propone un'altra definizione molto simile dimostrando l'esistenza di un morfismo di gruppi topologici $f$ da (ℝ, +) a (?, ×), periodico di periodo 1 , tale che $f (1/4) = i$ . Mostra che $f$ è differenziabile e che la sua derivata in $0$ ha la forma $α i$ per un certo reale $α > 0$ , che denota $2π$ .

I due metodi precedenti in realtà consistono nel calcolare il perimetro del cerchio, che abbiamo definito dalla funzione t ↦ exp (i t ), oppure dalla funzione t ↦ exp (2i $π$ t ) .

Ma possiamo anche definire π grazie al calcolo integrale da posa
- ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = \ int _ {- 1} ^ {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ {\ rm {d}} x}$ ,
  che equivale a calcolare (ad esempio come limite delle somme di Riemann ) l'area di un semidisco di raggio 1 ,
  o ancora
- ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} }$ ,
  Che ammonta (risolvendo l' equazione differenziale x ' = - √ 1 - x 2 ) alla suddetta definizione di $π / 2$ come primo nullo di $cos$ .
  Troviamo questo integrale anche quando proviamo a calcolare la lunghezza del quarto di cerchio di raggio 1 parametrizzato da . Possiamo anche chiedere ${\ displaystyle x \ mapsto (x, {\ sqrt {1-x ^ {2}}})}$
- ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} x} {1 + x ^ {2}}}}$ ,
  Collegamento di alimentazione con il teorema dei residui , dove $π$ è il valore unico tale che, per ogni imbardata $γ$ rectifiable una girarsi $z 0$ , . ${\ displaystyle \ int _ {\ gamma} {\ frac {\ mathrm {d} z} {z-z_ {0}}} ~ = 2 \ mathrm {i} \ pi}$

Oppure utilizzando l'enumerazione, selezionando $φ ( n )$ il numero di coppie naturali intere $( k , p )$ tali che $k 2 + p 2 \leq n 2$ e definendo: , che è un altro metodo per calcolare l'area del quarto di disco .
${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ lim _ {n \ a \ infty} {\ frac {\ varphi (n)} {n ^ {2}}}}$

irrazionalità

Il numero $π$ è irrazionale , il che significa che non si può scrivere $π = p / q$ dove $p$ e $q$ sarebbero numeri interi . Al-Khwarizmi , il IX ° secolo, è convinto che $π$ è irrazionale. Maimonide anche detto questa idea nel corso del XII ° secolo.

Non è stato fino al XVIII ° secolo, Johann Heinrich Lambert dimostra questo risultato. Espone, nel 1761, un'espansione in frazione continua generalizzata della funzione tangente . Ne deduce che uno sviluppo di $tan ( m / n )$ , con $m$ e $n$ numeri interi diversi da zero, si scrive: ${\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {m} {n}} \ right) = {\ cfrac {m} {n - {\ cfrac {m ^ {2}} {3n - {\ cfrac {m ^ {2}} {5n - {\ cfrac {m ^ {2}} {7n - {\ cfrac {m ^ {2}} {\ ddots}}}}}}}}}}}$ .

Tuttavia, sotto determinate ipotesi - verificate qui - un'espansione in frazione continua generalizzata rappresenta un irrazionale, quindi quando $x$ è un razionale diverso da zero, $tan ( x )$ è irrazionale. Tuttavia, $tan (π)$ è $uguale$ a $0$ ; è un razionale. In contrapposizione , questo dimostra che $π$ non è razionale.

Nel corso del XX ° secolo, altre manifestazioni sono stati trovati, non richiedono la conoscenza più profonda della calcolo . Uno di questi, di Ivan Niven , è molto conosciuto. Prove simili, una versione semplificata di quella di Charles Hermite , erano state trovate qualche tempo prima da Mary Cartwright .

trascendenza

Non solo il numero $π è$ irrazionale (vedi paragrafo precedente), ma è trascendente , cioè non algebrico : non esiste un polinomio a coefficienti razionali di cui $π$ sia una radice .

Questo è il XIX ° secolo, che viene mostrato questo risultato. Nel 1873, Hermite dimostrò che la base del logaritmo naturale , il numero $e$ , è trascendente. Nel 1882, Ferdinand von Lindemann generalizzato suo ragionamento in un teorema (il teorema Hermite-Lindemann ), secondo cui, se x è algebrico e diverso da zero, allora $e$ x è trascendente. Tuttavia $e iπ$ è algebrica (poiché è uguale a –1). In contrapposizione , $iπ$ è trascendente, in modo da quando $ho$ è algebrico, $π$ è trascendente.

Un storicamente importante conseguenza della trascendenza di $π$ è che non è costruibile . Infatti, il teorema di Wantzel afferma in particolare che ogni numero costruibile è algebrico. Per il fatto che le coordinate di tutti i punti che si possono costruire con riga e compasso sono numeri costruibili, la quadratura del cerchio è impossibile; in altre parole, è impossibile costruire, solo con riga e compasso, un quadrato la cui area sarebbe uguale a quella di un dato disco.

Più anecdotally, il fatto che $π$ è trascendente permesso Don Coppersmith per dimostrare che quando partizionare un disco $n \geq 4$ linee simultanee tutti formano tra loro angoli di $π / non$ radianti , le due somme di aree ottenute considerando una parte su due sono diverse se e solo se $n$ è dispari.

Rappresentazione decimale

Le prime 16 cifre della scrittura decimale di $π$ sono 3.141 592 653 589 793 (vedi link esterni per di più cifre decimali).

Mentre in 2013 , lo sapevamo già più di dodici trilioni di decimali di $π$ , applicazioni concrete, come la stima della circonferenza di un cerchio in genere non hanno bisogno di più di dieci cifre. Nel 1881, Simon Newcomb notò che dieci cifre decimali sono sufficienti per calcolare la circonferenza della Terra a una frazione di pollice; trenta cifre decimali, per ottenere quello dell'universo visibile, come allora si apprendeva, con una precisione impercettibile sotto il microscopio più potente dell'epoca. Nel 1990, la rappresentazione decimale di $π$ troncato a 39 decimale è ritenuto sufficiente per calcolare la circonferenza di un cerchio con un diametro dello stesso ordine di grandezza come la dimensione del universo osservabile con un grado di precisione paragonabile a quella. Un atomo di idrogeno , tenendo conto di quello stimato e poi in vigore. Nel 2014, Donald Byrd, informatico, è tornato sull'affermazione di Newcomb per aggiornarla alla luce dei progressi della scienza dal 1881: ha concluso che per un universo osservabile di 100 Ga.l. (ovvero 9,46 × 10 26 m ) e una precisione di lunghezza di Planck , occorrono solo circa 60 cifre decimali.

Poiché $π$ è un numero irrazionale , la sua rappresentazione decimale non è periodica da un certo rango . La sequenza di cifre decimali di $π$ ha sempre affascinato i matematici professionisti e dilettanti, e un grande sforzo è stato messo in ottenendo sempre più decimali e alla ricerca di determinate proprietà, come ad esempio la presenza di numeri primi. Nelle concatenazioni delle sue cifre decimali ( vedere la sezione dell'articolo " Numero primo risultante da troncamento costante ").

Nonostante l'ampio lavoro analitico e i calcoli eseguiti, non è stato trovato alcun modello semplice per descrivere questa sequenza di numeri. Le prime cifre decimali sono disponibili su molte pagine web, e c'è un software in grado di calcolarne miliardi che può essere installato su un personal computer .

Inoltre, l'espansione decimale di $π$ apre il campo ad altre questioni, in particolare quella di sapere se $π$ è un numero normale , vale a dire che le sue successioni finite di cifre in scrittura decimale sono equamente distribuite. A maggior ragione, $π$ sarebbe allora un numero universo , il che significa che abbiamo trovato nella sua espansione decimale qualsiasi sequenza finita di cifre. Nel 2006 non c'erano risposte a queste domande.

Rappresentazione frazionata

Le seguenti frazioni di numeri interi vengono utilizzate per memorizzare o approssimare $π$ nei calcoli (numero di cifre esatte significative tra parentesi): ${\ frac {3} {1}} ~ (1), \ qquad {\ frac {22} {7}} ~ (3), \ qquad {\ frac {333} {106}} ~ (5), \ qquad {\ frac {355} {113}} ~ (7), \ qquad {\ frac {103993} {33102}} ~ (9), \ qquad {\ frac {104348} {33215}} ~ (10) \ ldots$

I primi calcolatori Hewlett-Packard (ad es. HP-25) non avevano un tasto per $π$ e il manuale utente consigliava $355 / 113$ , molto facile da ricordare.

Vedi sotto per altri approcci frazionari ( Storia , Approssimazione numerica, frazioni continue e Memorizzazione di $π$ ).

Approssimazione di $π$

Si può trovare un valore approssimato di $π$ modo empirico , disegnando un cerchio, e quindi misurando il diametro e la circonferenza, e dividendo la circonferenza del diametro. Un altro approccio geometrico, attribuito ad Archimede , consiste nel calcolare il perimetro $P n$ di un poligono regolare di n lati e nel misurare il diametro d del suo cerchio circoscritto , o quello del suo cerchio inscritto . Maggiore è il numero di lati del poligono, migliore è la precisione ottenuta per il valore di $π$ .

Archimede utilizzò questo approccio confrontando i risultati ottenuti dalla formula utilizzando due poligoni regolari aventi lo stesso numero di lati, per i quali il cerchio è per uno circoscritto e l'altro inscritto. Riuscì, con un poligono di 96 lati, a determinare che $3 + 10 / 71 <π <3 + 1 / 7$ .

Possiamo anche ottenere valori approssimativi di $π$ mediante l'attuazione di metodi più moderni. La maggior parte delle formule usate per calcolare $π$ si basano su di trigonometria e calcolo integrale . Tuttavia, alcuni sono particolarmente semplici, come la “ formula di Leibniz ” ( vedi sotto ): $\ pi = 4 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {2k + 1}} = {\ frac {4} {1}} - {\ frac {4} {3}} + {\ frac {4} {5}} - {\ frac {4} {7}} + {\ frac {4} {9}} - {\ frac {4} {11 }} \ cdots. \!$

Questa serie converge così lentamente che per calcolare $π$ con una precisione di sei cifre decimali ci vogliono quasi due milioni di iterazioni. Tuttavia, è possibile definire una sequenza simile che converge $¸$ molto più veloce, ponendo: $\ pi _ {0,1} = {\ frac {4} {1}}, \ \ pi _ {0,2} = {\ frac {4} {1}} - {\ frac {4} {3} }, \ \ pi _ {0,3} = {\ frac {4} {1}} - {\ frac {4} {3}} + {\ frac {4} {5}}, \ \ pi _ { 0,4} = {\ frac {4} {1}} - {\ frac {4} {3}} + {\ frac {4} {5}} - {\ frac {4} {7}}, \ cdots \!$ e definendo: $\ pi _ {i, j} = {\ frac {\ pi _ {i-1, j} + \ pi _ {i-1, j + 1}} {2}} {\ text {per tutti}} i , j \ geq 1.$

Il calcolo di $π$ 10.10 poi richiede un tempo simile a quello richiesto per calcolare i primi 150 termini della prima serie, ma la precisione è molto meglio perché $π$ 10.10 = 3,141,592653 millions ... si avvicina $π$ con nove cifre decimali esatti. Metodi di calcolo più elaborati verranno trovati in seguito, fornendo convergenze molto più rapide.

Storia

La storia antica di $π$ , che può essere fatta grazie agli scritti disponibili, segue grosso modo il progresso della matematica nel suo complesso. Alcuni autori dividono la storia del $π$ in tre parti: il periodo antico durante il quale $π$ è stato studiato geometricamente, l'epoca classica, intorno al XVII ° secolo, dove il calcolo degli strumenti hanno permesso progressi nella conoscenza del numero $π$ , e il periodo dei computer digitali.

antichità

Sembra che, molto presto, i matematici fossero convinti che esistesse un rapporto costante tra il perimetro del cerchio e il suo diametro, nonché tra l'area del disco e il quadrato del raggio. Di tavolette babilonesi risalenti a 2000 anni a.C. J. - C. e scoperto nel 1936 hanno calcolato dell'area che porta ad un valore di $π$ 3 + 1/8.

Scoperto nel 1855, il papiro di Rhind contiene il testo copiato al XVI ° secolo aC dal copista egiziana Ahmose , un manuale più antichi problemi ancora. Viene utilizzato più volte un metodo per valutare l'area di un disco prendendo il quadrato il cui lato è uguale al diametro del disco meno un nono. Questo metodo porta a una valutazione del $π$ di 256/81.

Una possibile giustificazione per questo si basa sul diagramma a lato. Se il disco ha un diametro di 9, l'area del disco è leggermente maggiore dell'area dell'ottagono (irregolare) ottenuta rifilando gli angoli del quadrato di lato 9. Questo ottagono ha un'area di 63; l'area del disco viene quindi valutata a 64, cioè l'area di un quadrato di lato 8. Il rapporto tra l'area del disco e il quadrato del raggio viene quindi valutato per 64 / (9/2) 2 , c' cioè 256/81. Ma l'ipotesi che questo processo abbia portato all'approssimazione del papiro di Rhind non è unanime tra gli storici.

Intorno al 700 a.C. d.C. , il testo indiano Shatapatha Brahmana dà un'approssimazione di $π$ : 25/8 (= 3,125) e il Baudhāyana Sulbas givestra ne dà altri due: 900/289 (≈ 3,11) e 1156/361 ( 20 3, 20). I calcoli astronomici hanno poi portato a un'altra approssimazione vedica : 339/108 (≈ 3.139). All'inizio del VI ° secolo dC. dC , Aryabhata dà un'approssimazione più precisa: $62 832 / 20.000$ ≈ 3.1416. Mi piace | $π$ - 3.1416 | <0,0000075, questo è un risultato notevole, accurato entro 10 -5 .

È nel trattato di Archimede (287-212 a.C. ) intitolato Sulla misura del cerchio che possiamo leggere una dimostrazione che collega l'area del disco e l'area del triangolo avente per base in lunghezza il perimetro del cerchio e per altezza il raggio, dimostrando così che la stessa costante compare nel rapporto tra l'area del disco e il quadrato del raggio e tra perimetro e diametro.

Questa dimostrazione si basa sul metodo dell'esaurimento e del ragionamento per assurdo . Partendo da un quadrato inscritto nel cerchio e da un quadrato circoscritto al cerchio e moltiplicando il numero dei lati indefinitamente per 2, dimostra che l'area del disco non può essere minore o maggiore di quella del triangolo corrispondente .

Cerchio e suoi quadrati inscritti e circoscritti.
Cerchio e suoi ottagoni inscritti e circoscritti.
Tagliare il cerchio in 8 porzioni.

La sua dimostrazione sfrutta l'idea del taglio in quarti: il cerchio viene tagliato in più quarti che, posti da un capo all'altro, formano triangoli curvilinei della stessa altezza. Moltiplicando il numero dei quarti, la base dei triangoli curvilinei è quasi retta, e l'altezza è prossima al raggio; la somma delle basi corrisponde quindi al perimetro del cerchio e l'area è quindi 1/2 della base moltiplicata per l'altezza, cioè 1/2 del perimetro moltiplicata per il raggio.

Nello stesso trattato, Archimede stabilisce un'inquadratura del perimetro del cerchio utilizzando i perimetri dei poligoni regolari inscritti e circoscritti al cerchio e aventi 96 lati. Per calcolare i perimetri di questi poligoni parte da esagoni inscritti e circoscritti ed evidenzia le formule che danno il perimetro di un poligono il cui numero di lati è raddoppiato. Il suo calcolo è pari a mostrare che il 3 + 10/71 < $π$ <3 + 1/7. La media di questi due valori è di circa 3,14185. Archimede si ferma a 96 lati perché i calcoli che deve eseguire, con valori approssimativi, sono già lunghi per il tempo. Ma mette così a punto un metodo che sarà ripreso dai suoi successori e che in teoria consente la massima precisione desiderata. Tuttavia, nei primi calcoli è richiesta una precisione sempre maggiore ogni volta che si raddoppia il numero dei lati del poligono. Tolomeo , scienziato greco vissuto tre secoli dopo Archimede, dà un valore di , che riuscì ad ottenere grazie ad Apollonio di Perga , oppure utilizzando la sua tavola trigonometrica e moltiplicando per 360 la lunghezza del filo sottostante per un angolo di un grado. ${\ displaystyle {\ frac {377} {120}} \ circa 3.14166 \ punti}$

Formule di Archimede

Archimede utilizza una proprietà che lega il piede di una bisettrice ai lati adiacenti: nella figura a fianco, SS ′ è la bisettrice dell'angolo al vertice S ${\ frac {x} {a}} = {\ frac {y} {b}} = {\ frac {x + y} {a + b}}$

Per il poligono circoscritto. Nella figura a fianco, e sono i semilati di due poligoni circoscritti consecutivi. Archimede mostra, usando la proprietà precedente, che $c_ {1}$ $c_ {2}$ ${\ displaystyle {\ frac {c_ {1}} {c_ {2}}} = 1 + {\ frac {d_ {1}} {r}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d_ {1}} {r}} = {\ sqrt {1+ \ sinistra ({\ dfrac {c_ {1}} {r}} \ destra) ^ {2}}}}$ e ripetere l'operazione 4 volte dall'esagono.

Per il poligono inscritto. Nella figura a fianco, e sono i lati di due poligoni consecutivi inscritti. Archimede mostra, usando triangoli simili e la proprietà della bisettrice, che

c_ {1}

c_ {2}

${\ frac {d_ {2}} {c_ {2}}} = {\ frac {2r} {y}} = {\ dfrac {2r} {c_ {1}}} + {\ frac {d_ {1} } {c_ {1}}}$ ${\ frac {2r} {c_ {2}}} = {\ sqrt {1+ \ sinistra ({\ dfrac {d_ {2}} {c_ {2}}} \ destra) ^ {2}}}$ Possiamo così mostrare che i perimetri e i poligoni inscritti e circoscritti ottenuti dopo n passi (cioè, nel caso di Archimede che inizia con un esagono, poligoni con 6 × 2 n lati) soddisfano le seguenti relazioni di ricorrenza: $p_ {n}$ $P_ {n}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {P_ {n + 1}}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {1} {p_ {n}}} + {\ frac { 1} {P_ {n}}} \ destra), \ quad p_ {n + 1} = {\ sqrt {p_ {n} P_ {n + 1}}}}$ . Le identità trigonometriche consentono anche di ottenere rapidamente queste relazioni ( vedi sotto ).

La dimostrazione di Archimede si riduce quindi al calcolo e alla giustificazione ad ogni stadio di valori razionali per difetto e per eccedenza del perimetro del cerchio per concludere, dopo n = 4 stadi (96 lati), nell'inquadratura desiderata.

Se i calcoli pratici possono essere fatti con buona precisione usando il valore 3.14 come approssimazione di $π$ , la curiosità dei matematici li spinge a determinare questo numero con più precisione. Al III ° secolo , Cina, Liu Hui , commentatore di nove capitoli , fornisce come rapporto tra il perimetro e il diametro del valore pratico di 3, ma sviluppa chiudere tali calcoli Archimede ma più efficiente e fornisce un'approssimazione di $π$ a 3,1416. Il matematico cinese Zu Chongzhi fornisce un'approssimazione razionale più accurata di $π$ : $π$ ≈ 355/113 (le cui espansioni decimali sono identiche al 6 ° decimale $π$ ≈ 3,141 592 6 e 355/113 ≈ 3,141 592 9 ) e mostra che 3,141 592 6 < $π$ <3.141 592 7 , utilizzando l'algoritmo di Liu Hui (en) applicato a un poligono di 12.288 lati. Questo valore rimane la migliore approssimazione di $π$ nel corso dei prossimi 900 anni.

Formule e calcoli fino al 1900

Fino a circa 1400, la precisione delle approssimazioni di $π$ non ha superato i 10 cifre decimali. I progressi nel calcolo integrale e nelle serie miglioreranno questa precisione. Le serie rendono possibile avvicinarsi $π$ con tanto più precisione i termini della serie sono utilizzati per il calcolo. Intorno al 1400, il matematico indiano Madhava di Sangamagrama è ciò che, nel linguaggio moderno, lo sviluppo della funzione tangente (riscoperto da James Gregory e Gottfried Wilhelm Leibniz nel XVII ° secolo): $\ arctan (x) = x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {x ^ {5}} {5}} - {\ frac {x ^ {7}} {7 }} + \ cdots = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {2k + 1}} {2k + 1}} \ quad (x \ in \ sinistra [-1.1 \ destra]).$ Il caso speciale $x = 1$ è la serie di Leibniz sopra menzionata - nota anche come serie di Madhava-Leibniz - la cui convergenza è troppo lenta.

Il caso speciale $x = 1 / \sqrt 3$ : ${\displaystyle\pi=6\cdot {\frac{1} {\sqrt {3}}}\left (1- {1\over 3\cdot 3} + {1\over 5\cdot 3^{2} } - {1 \ over 7 \ cdot 3 ^ {3}} + \ cdots \ right) = {\ sqrt {12}} \, \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(- 1) ^ {k}} {(2k + 1) 3 ^ {k}}}}$ converge molto più velocemente , il che ha permesso a Madhava di dare un valore approssimativo di $π$ di 3,141 592 653 59, che ha 11 cifre decimali corrette. Ma questo lavoro è rimasto sconosciuto al di fuori del Kerala al XIX ° secolo , in seguito alla conquista dell'India da parte degli inglesi . Il record di Madhava fu battuto nel 1424 dal matematico persiano Al-Kachi ( Trattato sulla circonferenza ), che riuscì a dare 16 cifre decimali, applicando il metodo di Archimede a un poligono $3 \times 2$ con $28$ lati.

Il primo contributo significativo dall'Europa dopo Archimede fu dato da François Viète , che dà dodici cifre decimali, con il resto inquadrato nel suo Canon mathatique nel 1579 . E 'seguito da Adrien Romain , che dà 15 cifre decimali nel 1591 , e il tedesco Ludolph van Ceulen (1540-1610), che ha usato lo stesso metodo geometrico, al fine di dare una stima di $π$ corretta a 35 cifre decimali. Era così orgoglioso del suo calcolo, che gli ha richiesto così tanto della sua vita, che ha fatto incidere i decimali sulla sua lapide.

Viene subito seguito da Willebrord Snell , suo allievo, che trova metodi più rapidi per ottenere la stessa approssimazione. Nello stesso periodo cominciarono ad emergere in Europa i metodi del calcolo integrale e della determinazione di serie infinite e prodotti per grandezze geometriche . La prima formula di questo tipo è la formula di Viète : ${\ frac {2} {\ pi}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} {2}} \ cdot \ cdots \!$

esposto da Viète nel 1579 nel suo Canone matematico e ancora nel 1593, nei suoi Vari problemi . Un altro risultato famoso è il prodotto Wallis : ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(2k) ^ {2}} {(2k) ^ {2} -1 }} = {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdots \ = {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {16} {15}} \ cdot {\ frac {36} {35}} \ cdots \!}$

lo dobbiamo a John Wallis , che lo dimostrò nel 1655. Lo stesso Isaac Newton utilizzò lo sviluppo in serie di $π$ / 6 = arcsin (1/2) per calcolare 15 decimali di $π$ ; molto più tardi disse: “Mi vergogno a dirti quanti decimali ho trovato grazie a questi calcoli, non avendo altra occupazione all'epoca. "

Nel 1706, John Machin è stato il primo a trovare 100 cifre decimali di $π$ , con la formula: ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \, \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}} \!}$ e lo sviluppo di cui sopra in tutta la $serie arctan$ .

Le formule di questo tipo, ora conosciuta come formule di Machin , sono stati usati per rompere diversi record di note cifre decimali di $π$ , e oggi rimangono i più noti formule per il calcolo $π$ che usano il computer. Un record notevole è detenuto dalla calcolatrice prodigio Johann Dase che, nel 1844, utilizzando una formula di Machin, calcolato a 200 cifre decimali di $π$ , su richiesta di Gauss . Il valore migliore ottenuto alla fine del XIX ° secolo, è dovuto a William Shanks , che ha trascorso quindici anni per calcolare 607 decimali e decimali di 707 $π$ , anche se a causa di un errore, solo il primo 527 erano corrette. Al giorno d'oggi, è facile evitare tali errori, facendo eseguire i calcoli al computer e utilizzando due formule diverse per eliminare i rischi di errori di calcolo, programmazione o microprocessore.

I progressi teorici del XVIII ° matematici secolo ha portato alla discussione la natura di $π$ , compresa l'assenza di modelli periodici nella loro decimale, un'ipotesi ragionevole proposta calcoli numerici, ma per la quale necessario un approccio diverso radicale dimostrare rigorosamente. Questo tour de force fu compiuto da Johann Heinrich Lambert nel 1761, che fu così il primo a dimostrare l'irrazionalità di $π$ , successivamente anche Adrien-Marie Legendre dimostrò che anche $π 2$ era irrazionale. Questa costante ( $π 2$ ) ha giocato un ruolo significativo in matematica, poiché è apparsa nella soluzione del problema di Basilea , che doveva trovare il cui valore esatto è $π$ $2$ $/6$ (come dimostrato da Leonhard Euler che stabilì in questa occasione un profondo collegamento tra $π$ e numeri primi ). Nel processo, Legendre e Eulero sia ipotizzato che $π$ era un numero trascendente , che è stato finalmente dimostrato nel 1882 da Ferdinand von Lindemann . $\ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} { 2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots \!$

Origine della valutazione

Fu durante il XVIII ° secolo, che stabilisce l'uso della lettera greca " $π$ ", la prima lettera della parola greca περιφέρεια ( periferia , vale a dire la circonferenza ) per il rapporto tra la circonferenza del cerchio sul suo diametro.

Dal XVII ° secolo, alcuni matematici usano la notazione $π / δ$ dove $π$ indica la circonferenza e $δ$ diametro. Il primo ad usare semplicemente $π$ è William Jones nel suo libro Synopsis palmariorum mathesios pubblicato nel 1706, sul calcolo intelligente di questo numero da parte della serie del suo amico Machin . I matematici, tuttavia, continuano a usare altre notazioni. Tra questi, Eulero iniziò ad usare la notazione di Jones nella sua corrispondenza del 1736. La adottò nel suo libro Introductio in analysin infinitorum pubblicato nel 1748, che ebbe certamente una grande influenza. Il punteggio è venuto a dominare la fine del XVIII ° secolo.

Età del computer

Mentre poche decine di cifre decimali di $π$ sono ampiamente sufficienti per i calcoli pratici eseguiti da un fisico, la conquista dei decimali del numero $π$ non cessarono con l'arrivo dei computer, che ha permesso di calcolare un numero molto elevato di questi decimali.

Nel 1949, con ENIAC , John von Neumann ha ottenuto 2.037 cifre decimali di $π$ , a seguito di un calcolo che ha preso 70 ore. Migliaia di posizioni decimali aggiuntive sono state trovate nei decenni successivi, con lo stadio del milione di cifre superato nel 1973. I progressi non sono stati solo dovuti a computer sempre più veloci, ma anche all'uso di nuovi algoritmi. Uno dei progressi più significativi è stata la scoperta della trasformata di Fourier veloce negli anni '60 , che ha permesso ai computer di manipolare rapidamente numeri molto grandi.

Agli inizi del XX ° secolo, il matematico indiano Srinivasa Ramanujan trovato molte nuove formule che coinvolgono $π$ ; alcuni di loro sono notevoli per la loro eleganza e profondità matematica. Una di queste formule è la seguente serie, che fornisce 8 nuove cifre decimali per ogni nuovo termine: ${\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(4k)! (1103 + 26390k)} {(k!) ^ {4} 396 ^ {4k}}} \!$

La formula sottostante, strettamente correlata a quella sopra indicata, è stata scoperta da David e Gregory Chudnovsky nel 1987: ${\ frac {426880 {\ sqrt {10005}}} {\ pi}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(6k)! (13591409 + 545140134k)} {(3k) !(k!) ^ {3} (- 640320) ^ {3k}}} \!$

Questa formula dà 14 nuove cifre decimali di $π$ ad ogni termine. Alla fine degli anni '80 , i fratelli Chudnovsky lo usarono per battere diversi record di $π$ decimali calcolati. Resta la formula più ampiamente utilizzata per calcolare $π$ su personal computer.

Mentre le serie consentono di ottenere valori approssimativi di $π$ con un tasso aggiuntivo di precisione ad ogni termine che è costante, ci sono algoritmi iterativi che moltiplicano il numero di cifre decimali corretti ad ogni passo, con però lo svantaggio che ogni passo richiede generalmente un calcolo "costoso". Una svolta avvenne nel 1975 quando Richard Brent ed Eugene Salamin (in) scoprirono indipendentemente la formula Brent-Salamin , che raddoppia il numero di cifre corrette ad ogni passaggio. Si basa su un vecchio risultato anticipato e poi dimostrato da Gauss . Nel 1818, ha dimostrato il legame tra la media aritmetica-geometrica M (1, √ 2 ) di 1 e √ 2 - la lunghezza della lemniscata di Bernoulli - e $π$ . La lunghezza della lemniscata è $L = 2 ϖr$ dove $r$ rappresenta la distanza OA tra il centro e un vertice della lemniscata e dove $ϖ$ è la costante della lemniscata. Se indichiamo con $G$ , la costante gaussiana , cioè l'inverso di M (1, √ 2 ) allora: $\ varpi = \ pi G$ Salamin e Brent usato questo risultato a costruire l'algoritmo che porta il loro nome, e grazie alla quale la conquista dei decimali di $π$ verrà quindi avanzare congiuntamente con quello dei decimali di √ 2 .

L'algoritmo consiste nel porre: ${\ displaystyle a_ {0} = 1 \ quad \ quad \ quad b_ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ quad \ quad \ quad t_ {0} = {\ frac {1 } {4}} \ quad \ quad \ quad p_ {0} = 1 \!}$ , quindi definire le seguenti relazioni di ricorrenza: ${\ displaystyle a_ {n + 1} = {\ frac {a_ {n} + b_ {n}} {2}} \ quad \ quad \ quad b_ {n + 1} = {\ sqrt {a_ {n} b_ {non}}}\!}$ $t_ {n + 1} = t_ {n} -p_ {n} (a_ {n} -a_ {n + 1}) ^ {2} \ quad \ quad \ quad p_ {n + 1} = 2p_ {n} \!$ e infine calcolare questi valori fino $a$ quando $a$ $n$ e $b n$ sono abbastanza vicini. Abbiamo poi abbiamo un valore approssimativo di $π$ dato da: ${\ displaystyle \ pi \ approx {\ frac {(a_ {n} + b_ {n}) ^ {2}} {4t_ {n}}}}$ .

Utilizzando questo algoritmo, sono necessarie solo 25 iterazioni per calcolare 45 milioni di cifre decimali. Un algoritmo simile che quadruplica la precisione ad ogni passo è stato trovato da Jonathan e Peter Borwein. E 'grazie a questi metodi che, 1981-1999, Yasumasa Kanada ed i suoi soci ha battuto il record per il numero di decimali di $π$ su undici volte (più di 2 × 10 11 decimali nel 1999).

Nel 1997, la formula BBP , scoperta da Simon Plouffe , ha ulteriormente migliorato la conoscenza di $π$ . La formula, ${\ displaystyle \ pi = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {16 ^ {k}}} \ left ({\ frac {4} {8k + 1}} - { \ frac {2} {8k + 4}} - {\ frac {1} {8k + 5}} - {\ frac {1} {8k + 6}} \ destra),}$ è notevole perché permette di calcolare qualsiasi cifra della scrittura di $π$ in esadecimale o binario di base , senza calcolare i precedenti. Tra il 1998 e il 2000, il PiHex Distributed Computing progetto utilizzato una variante della formula BBP a causa di Fabrice Bellard per calcolare il 1.000.000.000.000.000 esima cifra binaria di $π$ , che si è rivelato essere 0.

Se una formula della forma: ${\ displaystyle \ pi = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {b ^ {ck}}} {\ frac {p (k)} {q (k)}}, }$ è stato trovato, con b e c interi positivi e p e q gradi polinomi fissati coefficienti interi (come per la formula BBP sopra), questo sarebbe uno dei modi più efficaci per calcolare qualsiasi cifra nella scrittura di $π$ a base di b c (e quindi in base b ) senza dover calcolare i precedenti, in un tempo dipendente solo dall'indice del termine calcolato e dal grado dei polinomi.

Nel 2006, Simon Plouffe ha trovato diverse formule che coinvolgono $π$ . Ponendo q = $e π$ ( costante di Gelfond ), si ha: ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {24}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} \ left ({\ frac {3} {q ^ {n} -1}} - {\ frac {4} {q ^ {2n} -1}} + {\ frac {1} {q ^ {4n} -1}} \ destra)}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {3}} {180}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {3}}} \ left ({ \ frac {4} {q ^ {n} -1}} - {\ frac {5} {q ^ {2n} -1}} + {\ frac {1} {q ^ {4n} -1}} \ Giusto)}$ così come : ${\ displaystyle \ pi ^ {k} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {k}}} \ left ({\ frac {a} {q ^ { n} -1}} + {\ frac {b} {q ^ {2n} -1}} + {\ frac {c} {q ^ {4n} -1}} \ destra)}$ dove k è un numero dispari e $a , b , c$ sono numeri razionali .

Dal 2010, il programma registra utilizzando il y-cruncher successo (vedere "Sezione XXI ° secolo" nella sezione "ravvicinamento delle $π$ " ). Alla fine del 2016, il record superava 2 × 10 13 cifre decimali.

Il 14 marzo 2019, Pi Day, Google ha rilasciato il nuovo record del punto decimale calcolato da uno dei suoi dipendenti utilizzando potenti macchine. Il nuovo record mondiale è di 31.415 miliardi di cifre decimali. Ci sono voluti 111 giorni di calcoli ininterrotti perché Emma Haruka Iwao entrasse nel Guinness dei primati.

Uso in matematica e scienze

Geometria

$π$ appare in molte formule geometriche che coinvolgono cerchi e sfere :

Forma geometrica	Formula
Circonferenza di un cerchio di raggio r e diametro d	$C = 2 \ pi r = \ pi d \, \!$
Area di un disco con raggio r	$A = \ pi r ^ {2} = {\ frac {\ pi d ^ {2}} {4}} \, \!$
Area di un'ellisse con semiassi a e b	$A = \ pi ab \, \!$
Volume di una palla di raggio r	$V = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} = {\ frac {\ pi d ^ {3}} {6}} \, \!$
Area di una sfera di raggio r	$A = 4 \ pi r ^ {2} = \ pi d ^ {2} \, \!$
Volume di un cilindro di altezza h e raggio r	$V = \ pi r ^ {2} h \, \!$
Area laterale di un cilindro di altezza h e raggio r	${\ displaystyle A = 2 \ pi rh \, \!}$
Volume di un cono di altezza h e raggio r	${\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} h \, \!}$
Area laterale di un cono di altezza h e raggio r	${\ displaystyle A = \ pi r {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} \, \!}$

$si$ trova anche nel calcolo di superfici e volumi di ipersfere (con più di tre dimensioni).

Numeri complessi

Un numero complesso $z$ può essere espresso in coordinate polari come segue: ${\ displaystyle z = r \, (\ cos \ varphi + {\ rm {i}} \ sin \ varphi)}$ .

La frequente presenza di $π$ in analisi complessa proviene dal comportamento del complesso esponenziale funzione, descritta da formula di Eulero : ${\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ varphi} = \ cos \ varphi + {\ rm {i}} \ sin \ varphi$ dove $i$ è l' unità immaginaria che soddisfa la relazione $i$ 2 = −1 ed $e$ ≈ 2.71828 è la costante di Neper . Questa formula implica che le potenze immaginarie di $e$ descrivono rotazioni sulla circonferenza unitaria del piano complesso ; queste rotazioni hanno un periodo di 360 ° = 2 $π$ rad . In particolare, una rotazione di 180 ° = $π$ rad dà l' identità di Eulero ${\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ pi} = - 1 {\ text {e quindi}} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ pi} + 1 = 0}$ .

Suite e serie

Numerose sequenze o serie convergono verso $π$ o un multiplo razionale di $π$ e sono anche all'origine di calcolo di valori approssimativi di questo numero.

Metodo di Archimede

${\ displaystyle \ pi = \ lim _ {n \ a \ infty} \ left (n \ sin {\ pi \ over n} \ right) = \ lim _ {n \ a \ infty} \ left (n \ tan { \ pi \ sopra n} \ destra)}$

Le due successioni definite da $s n = n sin (π / n )$ e $t n = n tan (π / n )$ rappresentano, per $n \geq 3$ , i semiperimetri di poligoni regolari di n lati, inscritti nel cerchio trigonometrico per s n , exinscritto per t n . Vengono sfruttate da sequenze estratte il cui indice (il numero di lati del poligono) raddoppia ad ogni iterazione, per ottenere $π$ passando al limite delle espressioni mediante operazioni aritmetiche elementari e la radice quadrata . Possiamo quindi dedurre dal metodo di Archimede ( vedi sopra ) una definizione per induzione delle successioni estratte dai termini s 2 k +1 e t 2 k +1 ( da s 4 = 2 √ 2 e t 4 = 4 ) oppure s 3 × 2 k e t 3 × 2 k (da s 3 = 3 √ 3 /2 e t 3 = 3 √ 3 ): ${\ displaystyle {\ frac {1} {t_ {2n}}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {1} {s_ {n}}} + {\ frac {1} {t_ {n}}} \ destra), \ quad s_ {2n} = {\ sqrt {s_ {n} \, t_ {2n}}}}$ .

Da tale definizione segue che le due corrispondenti successioni estratte della successione $c n : = s n / t n = cos (π / n )$ verificano: ${\ displaystyle s_ {2n} = n {\ sqrt {2-2c_ {n}}}}$ e . ${\ displaystyle 2c_ {2n} = {\ sqrt {2 + 2c_ {n}}}}$

(In alternativa, possiamo dimostrare, per tutti n ≥ 2, le prime due relazioni utilizzando identità trigonometriche ( cfr. “ Formule semiarco ”) e ( cfr. “ Formule del doppio angolo ”) e le ultime due, direttamente, utilizzando la identità trigonometriche $2sin ($ $x$ $/ 2)$ = $\sqrt$ $2 - 2cos ($ $x$ $)$ e $2cos ($ $x$ $/ 2)$ = $\sqrt$ $2 + 2cos ($ $x$ $)$ per $x$ $\in [0, π]$ .) ${\ displaystyle \ tan {\ tfrac {\ theta} {2}} = {\ tfrac {\ sin \ theta} {1+ \ cos \ theta}}}$ ${\ displaystyle \ sin \ theta = 2 \ sin {\ tfrac {\ theta} {2}} \ cos {\ tfrac {\ theta} {2}}}$

Possiamo quindi esprimere s 2 k +1 e s 3 × 2 k (per k ≥ 1), quindi $π$ (passando al limite) sotto forma di formule in cui le radici quadrate si sovrappongono : ${\ displaystyle \ pi = \ lim _ {k \ a \ infty} \ left (2 ^ {k} \ cdot {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2+ \ cdots {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}}}}}}}} \ destra)}$ ( k è il numero di radici quadrate) o : ${\ displaystyle \ pi = \ lim _ {k \ a \ infty} \ left (3 \ cdot 2 ^ {k-1} \ cdot {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2+ \ cdots {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {3}}}}}}}}}}}} \ destra)}$

Un'altra espressione di s 2 k +1 , che si deduce semplicemente dalla prima di queste due uguaglianze (moltiplicato per $\sqrt 2 + \sqrt\dots$ ), porta al seguente prodotto infinito (formula di François Viète , 1593): ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = {\ frac {2} {\ sqrt {2}}} \ cdot {\ frac {2} {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}} }}} \ cdot {\ frac {2} {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}}} \ cdot \ cdots}$

Somme e prodotti infiniti

${\ displaystyle {\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ cdots + {\ frac {(-1) ^ {k}} {2k + 1}} + \ cdots = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} { 2k + 1}} = {\ frac {\ pi} {4}}}$ ( formula di Madhava, Gregory e Leibniz )
${\ displaystyle {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} \ cdot \ cdots \ cdot {\ frac {2k + 2} {2k + 1}} \ cdot {\ frac {2k + 2} {2k + 3}} \ cdot \ cdots = {\ frac {\ pi} {2}}}$ (prodotto di Wallis )
${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( 4k)! (1103 + 26390k)} {(k!) ^ {4} 396 ^ {4k}}}}$ (formula dovuta a Ramanujan )
${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = 12 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} (6k)! (13591409 + 545140134k) } {(3k)!(K!) ^ {3} 640320 ^ {3k + 3/2}}}}$ (formula dovuta a David e Gregory Chudnovsky )
${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {(2n-3) !!} {(2n) !!}} \ right) ^ {2}}$ (!! = doppio fattoriale , formula dovuta a Forsyth e Ramanujan)

Sequenze ricorsive

Continuazione ispirata alla formula di Brent-Salamin (1975):

Siano tre successioni $( A n )$ , $( B n )$ e $( C n )$ definite simultaneamente da: ${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} A_ {0} = 1 & A_ {n + 1} = {A_ {n} + B_ {n} \ over 2} \\ B_ {0} = {1 \ sopra { \ sqrt {2}}} & B_ {n + 1} = {\ sqrt {A_ {n} \, B_ {n}}} \\ C_ {0} = {1 \ sopra 4} & C_ {n + 1} = C_ {n} -2 ^ {n} \ sinistra ({A_ {n} -B_ {n} \ sopra 2} \ destra) ^ {2} ~; \ fine {array}}}$ noi abbiamo : ${\ displaystyle \ pi = \ lim _ {n \ a \ infty} {A_ {n + 1} ^ {2} \ over C_ {n}}}$ .

Il numero di posizioni decimali corrette (in base 10 ) quasi raddoppia ad ogni iterazione.

Funzione zeta di Riemann

${\ displaystyle \ zeta (2) = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2} }}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {k ^ {2}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {2} } {6}}}$ ( Eulero )
${\ displaystyle \ zeta (4) = {\ frac {1} {1 ^ {4}}} + {\ frac {1} {2 ^ {4}}} + {\ frac {1} {3 ^ {4 }}} + {\ frac {1} {4 ^ {4}}} + \ cdots + {\ frac {1} {k ^ {4}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {4} } {90}}}$ ,

Più in generale, Eulero dimostrò che (2 n ) è un multiplo razionale di $π 2 n$ per ogni intero positivo n .

Suite logistica

Sia $( x n )$ la sequenza di iterazioni della funzione logistica con parametro $μ$ = 4 applicata ad un $x 0$ reale scelto nell'intervallo [0, 1] (vale a dire che definiamo, per ogni $n$ ≥ 0, ) . La successione $($ $x$ $n$ $)$ esce dall'intervallo [0, 1] e diverge per quasi tutti i valori iniziali. $x_ {n + 1} = 4x_ {n} (1-x_ {n})$

Abbiamo per quasi tutti i valori iniziali $x$ $0$ . $\ lim _ {n \ a \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ sqrt {x_ {i}}} = {\ frac {2} { \ pi}} \ quad$

Integrante

Il numero $π$ sembra anche essere il doppio del limite del seno integrale all'infinito: ${\ displaystyle 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, \ mathrm {d} x = \ pi.}$

Probabilità e statistica

In probabilità e statistica , ci sono molte leggi che usano la costante $π$ , tra cui:

la normale legge di aspettativa μ e deviazione standard σ , la cui densità di probabilità è scritto: $f (x) = {1 \ over \ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}} \, {\ rm {e}} ^ {- (x- \ mu) ^ {2} / (2 \ sigma ^ { 2})}$
la distribuzione di Cauchy , la densità di probabilità è: $f (x) = {\ frac {1} {\ pi (1 + x ^ {2})}}.$

Le due formule seguenti, tratte dall'analisi, trovano applicazioni pratiche nella probabilità. Una permette di mostrare la convergenza della legge binomiale verso la legge di Gauss e l'altra permette di calcolare la densità di una legge di Gauss.

${\ displaystyle n! = \ Gamma (n + 1) \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \, \ left ({\ frac {n} {\ rm {e}}} \ right) ^ {n }}$ ( formula di Stirling )
$\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- x ^ {2}} {\ rm {d}} x = {\ sqrt {\ pi}}.$

D'altra parte, ci sono vari esperimenti probabilistici dove $¸$ interviene nella probabilità teorica. Essi possono quindi essere utilizzati, eseguendo un gran numero di test , per determinare un'approssimazione di $π$ .

L' ago cynomolgus è un'esperienza di probabilità proposta da George Louis Leclerc, conte di cynomolgus e di calcolo della probabilità che una lunghezza di ago abbia lanciato un recinto fatto di stecche larghe L , a cavallo di due stecche. Questa probabilità p è: $p = {\ frac {2a} {\ pi \ volte L}},$ anche se l'ago è piegato.

Questa formula può essere utilizzata per determinare un valore approssimato di $π$ : $\ pi \ circa {\ frac {2na} {xL}}.$ dove $n$ è il numero di aghi lanciati e $x$ il numero di aghi che si trovano contemporaneamente su due stecche.

Questo metodo presenta rapidamente i suoi limiti; anche se il risultato è matematicamente corretto, non può essere utilizzato per determinare più di un paio di cifre decimali di $π$ sperimentalmente. Per ottenere solo un valore approssimativo di 3,14 è necessario eseguire milioni di lanci, e il numero di lanci richiesti aumenta esponenzialmente con il numero di cifre decimali desiderato. In aggiunta, un piccolo errore nella misurazione della lunghezza L e un avranno un impatto significativo sul valore trovato di $π$ . Ad esempio, una differenza nella misurazione di un singolo atomo su un ago con una lunghezza di 10 centimetri si troverà dal nono decimale di $π$ . In pratica, i casi in cui l'ago sembra toccare esattamente il confine tra due lamelle aumenteranno l'imprecisione dell'esperimento, per cui gli errori appariranno ben prima della nona cifra decimale.

Il metodo Monte Carlo è un altro esperimento probabilistico che consiste nel prendere a caso un punto in un quadrato di lato $1$ , la probabilità che questo punto sia nel quarto di disco di raggio $1$ è $π/4$ ; questo è facilmente comprensibile dato che l'area del quarto del disco è $π/4$ mentre quella del quadrato è $1$ .

Proprietà avanzate

approssimazioni numeriche

Come $π$ è trascendente, non v'è alcuna espressione di questo numero che richiede soltanto numeri e funzioni algebriche. Le formule per calcolare $π$ usando l'aritmetica elementare di solito implicano somme infinite. Queste formule consentono di avvicinarsi a $π$ con un errore piccolo quanto vogliamo, sapendo che più termini aggiungiamo nel calcolo, più il risultato sarà vicino a $π$ .

Pertanto, calcoli numerici devono usare approssimazioni di $π$ .

La prima approssimazione numerica di $π$ stato certamente 3. Qualora una situazione richiede poca precisione, questo valore può servire come approssimazione adatto. Se 3 è una stima di default, è perché è il rapporto tra il perimetro di un esagono regolare inscritto in un cerchio e il diametro di questo cerchio.

In molti casi, le approssimazioni 3.14 o 22/7 sono sufficienti, sebbene gli ingegneri abbiano utilizzato a lungo 3.1416 (5 cifre significative) o 3.14159 (6 cifre significative) per una maggiore precisione. Le approssimazioni 22/7 e 355/113, con rispettivamente 3 e 7 cifre significative, si ottengono scrivendo in frazione continua di $π$ . Tuttavia, fu il matematico cinese Zu Chongzhi (祖沖之 nei sinogrammi tradizionali, 祖冲之 nei sinogrammi semplificati, Zǔ Chōngzhī in piyin) (429-500) a scoprire la frazione 355/113 utilizzando il metodo di Archimede per calcolare il perimetro di il poligono regolare con 12.288 lati inscritti in un cerchio. Oggi, le approssimazioni numeriche più utilizzate dagli ingegneri sono quelle di costanti computazionali predefinite.

L'approssimazione di $π$ nel 355/113 è il meglio che può essere espressa con solo 3 cifre nel numeratore e denominatore. L'approssimazione 103 993/33 102 (che fornisce 10 cifre significative) richiede un numero molto maggiore: questo viene dalla comparsa dell 'elevato numero 292 in continua espansione frazione $π$ .

Costanti approssimate predefinite in informatica

Nei normali calcoli numerici su computer viene invece utilizzata una costante correttamente arrotondata ma predefinita con una precisione di almeno 16 cifre significative (questa è la migliore precisione che può essere rappresentata da un numero in virgola mobile nel formato standard IEEE 754 su 64 bit , un tipo generalmente designato "doppia precisione") e scelto in modo che il calcolo del suo seno restituisca 0 esattamente da una funzione definita in questa stessa precisione. Pertanto il file di intestazione standard <math.h>utilizzato nel linguaggio C o C ++ definisce la costante a M_PIdoppia precisione (il tipo a virgola mobile utilizzato di default in molte funzioni delle librerie matematiche standard) al valore di 3.141592653589793 (a volte con cifre aggiuntive se la piattaforma supporta precisione più estesa per il tipo long double). Lo stesso valore viene utilizzato nel linguaggio Java , che si basa sullo stesso standard IEEE 754, con la costante standard java.lang.Math.PI). Troviamo questa costante definita in questo modo in molti linguaggi di programmazione, con la massima precisione possibile nei formati numerici in virgola mobile supportati, poiché il tipo "doppia precisione" dello standard IEEE 754 si è affermato come riferimento di precisione minima. lingue per innumerevoli applicazioni.

Sui microprocessori della famiglia x86 , le unità di calcolo hardware (FPU) sono in grado di rappresentare numeri in virgola mobile oltre 80 bit (utilizzabili con questa precisione in linguaggio C o C++ con il tipo long doublema senza garanzia di supporto hardware), che porta la precisione di $π$ a 19 cifre significative. L'ultima revisione pubblicata nel 2008 dello standard IEEE 754 include inoltre la definizione di numeri in virgola mobile in "precisione quadrupla" (o quad) codificato su 128 bit, che consentirebbero di definire un'approssimazione della costante $π$ con una precisione di 34 cifre. significativo (tuttavia questa precisione non è ancora supportata nativamente da molti linguaggi di programmazione perché pochi processori consentono questa precisione direttamente a livello hardware senza supporto software aggiuntivo).

Per piattaforme o linguaggi che supportano nativamente solo i numeri “single precision”, codificati nello standard IEEE 754 su 32 bit utili, possono essere supportate 7 cifre significative (la precisione minima supportata in linguaggio C dal tipo float), ovvero la costante correttamente arrotondato a 3,141593 ed equivalente in precisione a quella data dalla frazione 355/113 (questa frazione consente anche calcoli rapidi in software per sistemi leggeri non comprendenti un calcolo in virgola mobile unità hardware).

Frazioni continue

La sequenza di denominatori parziali della continua espansione in frazioni di $π$ non rivela alcuna ovvia modello: ${\ displaystyle \ pi = 3 + \ textstyle {\ frac {1} {7+ \ textstyle {\ frac {1} {15+ \ textstyle {\ frac {1} {1+ \ textstyle {\ frac {1} { 292+ \ textstyle {\ frac {1} {1+ \ textstyle {\ frac {1} {1+ \ textstyle {\ frac {1} {1+ \ textstyle {\ frac {1} {2+ \ textstyle {\ frac {1} {1+ \ textstyle {\ frac {1} {3+ \ textstyle {\ frac {1} {1+ \ textstyle {\ frac {1} {14+ \ cdots}}}}}}}} } }}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Tuttavia :

${\ displaystyle \ pi ^ {4} = 97 + \ textstyle {\ frac {1} {2+ \ textstyle {\ frac {1} {2+ \ textstyle {\ frac {1} {3+ \ textstyle {\ frac {1} {1+ \ stile testo {\ frac {1} {16539+ \ punti}}}}}}}}}}}}$ .
Troncando questo sviluppo appena prima del quoziente parziale nettamente maggiore dei precedenti (16.539), si ottiene la famosa approssimazione di Ramanujan , che dà $π$ entro 10 –8 . ${\ displaystyle \ pi \ approx {\ sqrt [{4}] {\ frac {2143} {22}}}}$
ci sono frazioni continue generalizzate che rappresentano $π la$ cui struttura è regolare: ${\ displaystyle \ pi = \ textstyle {\ frac {4} {1+ \ textstyle {\ frac {1 ^ {2}} {2+ \ textstyle {\ frac {3 ^ {2}} {2+ \ textstyle { \ frac {5 ^ {2}} {2+ \ textstyle {\ frac {7 ^ {2}} {2+ \ textstyle {\ frac {9 ^ {2}} {2+ \ cdots}}}}}} }}}}}}}$ ${\ displaystyle = 3 + \ textstyle {\ frac {1 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ frac {3 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ frac {5 ^ {2}} {6 + \ textstyle {\ frac {7 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ frac {9 ^ {2}} {6+ \ cdots}}}}}}}}}}}}$ ${\ displaystyle = \ textstyle {\ frac {4} {1+ \ textstyle {\ frac {1 ^ {2}} {3+ \ textstyle {\ frac {2 ^ {2}} {5+ \ textstyle {\ frac {3 ^ {2}} {7+ \ textstyle {\ frac {4 ^ {2}} {9+ \ textstyle {\ frac {5 ^ {2}} {11+ \ cdots}}}}}}}} }}}}}$ ${\ displaystyle = 2 + {\ tfrac {2} {1 + {\ tfrac {1} {1/2 + {\ tfrac {1} {1/3 + \, \ cdots + {\ tfrac {1} {1 / n + \, \ cdots}}}}}}}}}$ .

Domande aperte

Sorgono ancora molte domande: $π$ ed $e$ sono due numeri trascendenti ma sono algebricamente indipendenti o esiste un'equazione polinomiale con due variabili e con coefficienti interi la cui coppia ( $π, e$ ) è una soluzione? La domanda è ancora aperta. Nel 1929, Alexandre Gelfond dimostra che $e π$ è trascendente e, nel 1996, Yuri Nesterenko (en) dimostra che $π$ e $e π$ sono algebricamente indipendenti.

Come detto in precedenza , non è chiaro se $π$ è un numero normale , o anche un universo numero in base 10 .

Cultura popolare

Senza dubbio a causa della semplicità della sua definizione, il numero pi e in particolare la sua scrittura decimale sono radicati nella cultura popolare in misura maggiore di qualsiasi altro oggetto matematico. Inoltre, la scoperta di un numero maggiore di cifre decimali di $π$ è spesso oggetto di articoli sulla stampa in generale, un segno che $π$ è un oggetto familiare anche a coloro che non praticano la matematica.

Un lago in Canada , situato in Quebec nel territorio non organizzato di Rivière-aux-Outardes , porta il nome di Lac 3.1416 .

Una tradizione anglosassone vuole che l'anniversario di $π$ sia celebrato in alcuni dipartimenti di matematica delle università il 14 marzo . Il 14 marzo, che nella notazione americana è annotato "3/14", è quindi chiamato il giorno del pi greco .

$π$ nell'arte

Molti siti o opere indicano la presenza del numero $π$ nelle piramidi e, più precisamente, che $π$ è il rapporto tra il perimetro della base e doppio dell'altezza delle piramidi. È vero che la piramide di Cheope ha una pendenza di 14/11 e che quindi il rapporto tra la base e l'altezza è 22/14. Il rapporto 22/7 essere una buona approssimazione di $π$ , il rapporto tra il perimetro e il doppio dell'altezza della piramide di Cheope è molto vicino a $π$ . È necessario che tutto ciò cerchi un'intenzione? Nulla è meno certo poiché la pendenza delle piramidi non è costante e che, a seconda delle regioni e dei tempi, si trovano pendenze di 6/5 ( piramide rossa ), 4/3 ( piramide di Khephren ) o 7/5 ( romboidale piramide ) che portano ad un rapporto tra perimetro e raddoppiare l'altezza dal $π$ .

E 'in ogni caso certo che $π$ è presente nella cultura artistica moderna. Ad esempio, in Contact , un romanzo di Carl Sagan , gioca un ruolo chiave nella sceneggiatura e si suggerisce che ci sia un messaggio sepolto in profondità all'interno dei decimali di $π$ , collocato da chi ha creato l'universo. Questa parte della storia è stata esclusa dall'adattamento cinematografico del romanzo. $\ più$

A livello cinematografico, $¸$ servito come il titolo del primo lungometraggio di Darren Aronofsky , al quale si deve, in particolare, Requiem for a Dream . $Pi$ è un thriller matematico sulla ricerca della sequenza perfetta, che rivela la formula esatta dei mercati azionari di Wall Street o persino il vero nome di Dio .

Nel registro musicale, la cantautrice Kate Bush ha pubblicato il suo album Aerial nel 2005 , che conteneva il brano “ $π$ ”, i cui testi sono composti principalmente dai decimali di $π$ .

Memorizzazione di $π$

Al di là di memorizzare $π$ , di solito i suoi primi 3 a 6 cifre o dalla notevole valore approssimativo della frazione 355/113 (7 cifre significative), memorizzare un numero record di cifre decimali di $π$ è da tempo e rimane un'ossessione per molte persone. il14 marzo 2004, a Oxford , il giovane autistico Asperger Daniel Tammet recita (in 5 ore, 9 minuti e 24 secondi) 22.514 cifre decimali. Il record di memorizzazione di $π$ riconosciuto nel 2005 dal Guinness dei primati era di 67.890 cifre (Lu Chao, giovane laureato cinese, in 24 ore e 4 minuti). Nell'ottobre 2006, Akira Haraguchi , un ingegnere giapponese in pensione, recitò 100.000 cifre decimali di $π$ ore 16 e mezzo, ma questa impresa non è stata convalidata dal Guinness World Records . Il record ufficiale va a marzo 2015 a 70.000 decimali in 9 h 27 min (Rajveer Meena, uno studente indiano), poi a ottobre a 70.030 in 17 h 14 min (Suresh Kumar Sharma, un altro indiano).

Il 17 giugno 2009, Andriy Slyusarchuk (in) , un neurochirurgo e professore dell'Ucraina , ha affermato di aver salvato 30 milioni di cifre decimali di $,,$ che sono state stampate in 20 volumi. Sebbene non abbia recitato i 30 milioni di cifre che ha detto di ricordare (che, per inciso, gli avrebbe richiesto più di un anno), alcuni media affermano che era in grado di recitare dieci decimali scelti a caso dai volumi stampati . Il confronto con i valori ufficialmente ritenuti dal Guinness Records , porta però gli esperti a mettere seriamente in discussione questa affermazione .

Ci sono diversi modi per ricordare i decimali di $π$ , comprese le poesie in cui il numero di lettere in ogni parola corrisponde a un decimale, parole di dieci lettere che rappresentano uno 0. Ecco un esempio:

Come mi piace insegnare ai saggi un numero utile!
Immortale Archimede, artista, ingegnere,
chi secondo te può valere?
Per me il tuo problema aveva vantaggi simili.

Un tempo, misterioso, un problema bloccò
tutto il mirabile processo, l'opera grandiosa
che Pitagora scoprì negli antichi greci.
Oh quadratura! Vecchio tormento del filosofo

Insolubile rotondità, per troppo tempo hai
sfidato Pitagora ei suoi imitatori.
Come integrare lo spazio a pianta circolare?
Forma un triangolo a cui sarà equivalente?

Nuova invenzione: Archimede inscriverà
Dentro un esagono; apprezzerà la sua area
Secondo il raggio. Non troppo si attaccherà ad esso:
duplicherà ogni elemento precedente;

Il globo sempre calcolato si avvicinerà;
Definire limite; infine, l'arco, il limitatore
Da questo circolo inquietante, professore nemico troppo ribelle
, insegna con zelo il suo problema.

Questo metodo ha i suoi limiti per la memorizzazione di un numero molto elevato di cifre decimali, dove sembra più appropriato utilizzare metodi come il metodo loci .

Il Manifesto del Tau

Nel 2001, il matematico Robert Palais scrisse l'articolo $π$ è sbagliato! , in cui ritiene che la costante sia mal definita e va posta come rapporto tra il perimetro di un cerchio e il suo raggio, portando il suo valore numerico a 6.2831853071795 ..., per semplificazione delle solite formule che coinvolgere $2π$ più spesso di $π$ . Michael Hartl riprese le sue argomentazioni nel Manifesto Tau , in cui proponeva di favorire l'uso di una nuova costante, $τ = 2π$ . Da allora, i difensori di $τ$ hanno creato il giorno Tau il 28 giugno (6/28) in competizione con il giorno Pi il 14 marzo (3/14).

Note e riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Pi " ( vedi l'elenco degli autori ) .

Appunti

Pi è talvolta chiamato costante di Archimede a causa del contributo di Archimede al calcolo dell'area di un disco o di una sfera e perché è stato il primo a fornire un metodo di inquadratura del valore numerico di Pi.
Valore decimale espresso su 16 cifre significative, ovvero la massima precisione (per pi) di un numero in virgola mobile a precisione doppia nel formato binario standard a 64 bit dell'IEEE, che consente di memorizzare da 15 a 17 cifre decimali significative (secondo principalmente il valore della prima cifra decimale ed eventualmente delle successive); questo formato binario è utilizzato in molti linguaggi di programmazione, ad esempio nel tipo doubledi linguaggi C, C++, Java, ecc. ; ora è supportato nativamente dalla maggior parte dei moderni microprocessori e librerie matematiche.
La prova di questo risultato nel 1882 si deve a Ferdinand von Lindemann .
Per maggiori dettagli vedere Frazione continua e approssimazione diofantea # Numeri con tangente razionale, incluso π .
questo risultato è stato affinato ed è diventato il teorema della pizza .
Per maggiori informazioni su metodi analoghi, vedere “ Formula di Eulero-Maclaurin ”.
Assegnato spesso a Leibniz ma probabilmente prima scoperta da Gregory, vedi (in) John J. O'Connor e Edmund F. Robertson , "A History of Pi" in MacTutor History of Mathematics archive , University of St Andrews ( leggi online ), questa formula fu trovata per la prima volta da Madhava, ma questa scoperta rimase sconosciuta al mondo occidentale.
La notazione non è utilizzata esclusivamente, e peraltro con variazioni prossime alla nota del verbale, cfr. Cajori, opera citata.
Nulla indica se si è sotto l'influenza di quest'ultimo o di propria, cf. Cajori.
Si trova ad esempio in The Elements of Geometry di Legendre , opera destinata più ad un pubblico scolastico, pubblicata nel 1794; cfr. Cajori.
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Mediante valutazione in 1 di uno sviluppo di arctan .
Per trasformazione del prodotto Wallis : Eymard e Lafon 2004 , p. 71.
Scritto senza legatura (opera d'arte) per abbinare il decimale 6.
La parola orb è maschile, l'ortografia "calcolata" è una licenza poetica .
Questa linea ha 13 sillabe.

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Vedi anche

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link esterno

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Molte informazioni storiche e matematiche su pi314.net
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I decimali di pi greco , su immagini di matematica
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