Ottagono

Ottagono regolare


genere	Poligono regolare
Bordi	8
Vertici	8

Simbolo Schläfli	{8}
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetria	Gruppo diedro D 16
Angolo interno	135 °
Proprietà	Edificabile

Un ottagono (dal greco ὀκτάγωνον oktágōnon , cfr. Ὀκτώ oktṓ "otto" e γωνία gōnía "angolo") è un poligono con otto vertici , quindi otto lati e venti diagonali .

La somma degli angoli interni di un ottagono non incrociato è uguale a $6 π rad$ o 1.080 ° .

Ottagono regolare

Un ottagono regolare è un ottagono i cui otto lati hanno la stessa lunghezza e i cui angoli interni hanno lo stesso valore.

C'è una stella ottagonale regolare (l' ottagramma (in) regolare, annotato {8/3} ) ma di solito "ottagono" si riferisce implicitamente a un ottagono regolare convesso , annotato {8}.

Proprietà

Per un ottagono regolare con lato $a$ :

l' angolo interno è $3π / 4 rad$ , ovvero 135 °;
il raggio del cerchio circoscritto è ${\ displaystyle R = {\ tfrac {a} {2 \ sin \ left ({\ tfrac {\ pi} {8}} {\ text {(rad)}} \ right)}} = {\ tfrac {a} {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}}} \ simeq 1 {,} 3066 ~ a ~;}$
il raggio del cerchio inscritto e quindi la lunghezza dell'apotema è ${\ displaystyle r = {\ tfrac {a} {2}} \ cot {\ tfrac {\ pi} {8}} = {\ tfrac {a} {2}} (1 + {\ sqrt {2}}) \ simeq 1 {,} 2071 ~ a}$ ( $cot$ è qui la funzione cotangente );
il perimetro è pari a $8 a$ ;
l' area è pari a ${\ displaystyle 2a ^ {2} \ cot {\ tfrac {\ pi} {8}} = 2 (1 + {\ sqrt {2}}) ~ a ^ {2} \ simeq 4 {,} 82843 ~ a ^ {2}.}$ Vale anche la pena ${\ displaystyle 2R ^ {2} {\ sqrt {2}} = 8r ^ {2} {({\ sqrt {2}} - 1)}.}$

Costruzione

Secondo il teorema di Gauss-Wantzel e poiché 8 è una potenza di 2 , l'ottagono regolare è costruibile con un righello e un compasso . È possibile la seguente costruzione:

1: traccia una linea.
2: disegna un cerchio il cui centro si trova a destra.
3: disegna un arco di cerchio il cui centro si trova all'intersezione della linea e del cerchio precedente, con lo stesso raggio di questo.
4: traccia una linea passante per i due punti in cui i cerchi si intersecano.
5: disegna un arco con l'intersezione delle due linee come centro e passante per il centro del primo cerchio.
6: traccia una linea che passa per l'intersezione dell'ultima linea e dell'ultimo cerchio e per il centro del cerchio tracciato in 2.
7: l'intersezione con il cerchio dà la distanza da riportare per ogni lato dell'ottagono
8-10: trasferire i lati.
Da 11 a 18: disegna l'ottagono.

O più semplicemente:

Disegna un quadrato , disegna le diagonali.
Riporta la metà diagonale ai lati del quadrato da ogni angolo.
Traccia l'ottagono tagliando gli angoli del quadrato.

Architettura

Nella regione del Mediterraneo, vari monumenti e stagni sono stati costruiti su una forma ottagonale: Diversi monumenti sono stati costruiti in base alla pianta ottagonale, tra cui la Torre dei Venti a Atene ( I ° e II ° secolo aC. La) Cupola della Roccia a Gerusalemme ( VII ° secolo ) o Castel del Monte in Puglia , progettato dall'imperatore Federico II di Svevia nel XIII ° secolo . Castel del Monte offre la particolarità di presentarsi come un castello ottagonale affiancato da otto torri ottagonali.

La Torre dei Venti di Atene ha ispirato gli altri monumenti: la Torre del Marzocco a Livorno ( XV ° secolo ), l' Osservatorio Radcliffe a Oxford ( XVIII ° secolo ), il mausoleo di Panayis Vagliano (de) , fondatore della Biblioteca Nazionale di Grecia ( West Norwood Cemetery , Londra ), o la Sevastopol Tower of the Winds , costruita nel 1849 .

I bacini ottagonali si trovano occasionalmente in alcuni monumenti antichi come chiese o hammam nel Palazzo Imperiale di Roma , nel Battistero Lateranense o nell'hammam di Amir Ahmad .

Per gli alchimisti , l'ottagono è il mix perfetto tra il quadrato (l'Umano) e il cerchio (il Divino).

Ottagono

Ottagono regolare

Proprietà

Costruzione

Architettura

Note e riferimenti

Vedi anche

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