Cerchio circoscritto

In geometria , un cerchio circoscritto a un poligono è un cerchio che passa per tutti i vertici del poligono. Si dice quindi che il poligono sia inscritto nel cerchio: si parla di poligono scrivibile . I vertici sono quindi ciclici , situati sullo stesso cerchio. Questo cerchio è unico e il suo centro è il punto di intersezione delle bisettrici perpendicolari dei lati .

Casi speciali

Triangolo

Qualsiasi triangolo è scrivibile.

Raggio del cerchio

Consideriamo un triangolo ABC non piatto , dove gli angoli sono designati dal greco minuscolo ei lati opposti agli angoli dal corrispondente latino minuscolo:

• a = BC e α , l'angolo formato da [ AB ] e [ AC ];
• b = AC e β , l'angolo formato da [ BA ] e [ BC ];
• c = BA e γ , l'angolo formato da [ CA ] e [ CB ].

R è il raggio del cerchio circoscritto.

Quindi, secondo la legge del seno , abbiamo:

apeccato⁡α=bpeccato⁡β=vspeccato⁡γ=abvs2S=2R.{\ displaystyle \, {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {abc} {2S}} = 2R.}

Ciò consente di determinare il raggio del cerchio circoscritto:

R=a2peccato⁡α=BVS2peccato⁡BAVS^.{\ displaystyle R = {\ frac {a} {2 \ sin \ alpha}} = {\ frac {BC} {2 \ sin {\ widehat {BAC}}}}.}

• Il cerchio circoscritto a un triangolo rettangolo ha la particolarità di ammettere come diametro l' ipotenusa di questo triangolo rettangolo. Il centro del cerchio circoscritto è quindi al centro dell'ipotenusa. Il suo raggio è:

R=ipotenusa2=lato opposto2+lato adiacente22.{\ displaystyle R = {{\ text {ipotenusa}} \ over 2} = {{\ sqrt {{\ text {lato opposto}} ^ {2} + {\ text {lato adiacente}} ^ {2}}} \ oltre 2}.}

• Ogni triangolo inscritto in un cerchio e il cui lato più lungo è un diametro di questo cerchio è un triangolo rettangolo, secondo il teorema di Talete sul cerchio .

Nota: con queste notazioni, un'equazione baricentrica del cerchio circoscritto a questo triangolo è

a2YZ+b2ZX+vs2XY=0{\ displaystyle a ^ {2} YZ + b ^ {2} ZX + c ^ {2} XY = 0}

Per un triangolo ABC, con un cerchio circoscritto (c), le tangenti a (c) in A , B , C formano un triangolo T 1 T 2 T 3 chiamato tangenziale di ABC.

I simboli che uniscono i vertici del triangolo ai vertici del triangolo tangenziale.
Sono concorrenti e il loro punto di concordanza è il punto Lemoine .

Quadrilatero

Un quadrilatero è scrivibile se, e solo se, due angoli opposti sono uguali o addizionali:

• un quadrilatero incrociato è scrivibile se, e solo se, due angoli opposti sono uguali.
• un quadrilatero convesso è scrivibile se, e solo se, due angoli opposti sono addizionali.

Teorema di Tolomeo  : un quadrilatero convesso è scrivibile se, e solo se, il prodotto delle lunghezze delle diagonali è uguale alla somma dei prodotti delle lunghezze dei lati opposti

Qualsiasi rettangolo (e quindi qualsiasi quadrato ) ha un cerchio circoscritto il cui centro è all'intersezione delle sue diagonali, e il cui raggio è uguale, come per il triangolo rettangolo:

R=Lunghezza2+larghezza22{\ displaystyle R = {{\ sqrt {{\ text {Length}} ^ {2} + {\ text {width}} ^ {2}}} \ over 2} \,}

Per il caso del quadrato, Lunghezza = larghezza dà:

R=Lunghezza2+Lunghezza22=Lunghezza⋅22{\ displaystyle R = {{\ sqrt {{\ text {Length}} ^ {2} + {\ text {Length}} ^ {2}}} \ over 2} = {\ text {Length}} \ cdot { {\ sqrt {2}} \ oltre 2} \,}

Questa proprietà deriva da quella del triangolo, per simmetria.

Un rombo che non è un quadrato non ha un cerchio circoscritto.