Serie (matematica)

In matematica , la nozione di serie permette di generalizzare la nozione di somma finita .

Data una sequenza di termine generale $u n$ , per studiare la serie di termine generale $u n$ è studiare la sequenza ottenuta prendendo la somma dei primi termini della successione $( u n )$ , in altre parole la sequenza di termine generale $S n$ definito attraverso:

{\ displaystyle S_ {n} = u_ {0} + u_ {1} + \ cdots + u_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k}}

Lo studio di una serie può passare attraverso la ricerca di una scrittura semplificata delle somme finite coinvolte e attraverso l'eventuale ricerca di un limite finito quando $n$ tende all'infinito. Quando esiste questo limite, la serie si dice convergente, e il limite della successione $( S n )$ si chiama somma della serie e si nota . ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} u_ {k}}$

Poiché il calcolo di una somma finita non può sempre essere semplificato, un certo numero di metodi consente di determinare la natura ( convergenza o meno) di una serie senza eseguire i calcoli in modo esplicito. Tuttavia, alcune regole di calcolo sulle somme finite non sono necessariamente preservate da questa nozione di serie, come la commutatività o l'associatività , vale a dire la possibilità di permutare i termini della successione o di raggruppare determinati d' tra loro senza modificare né la convergenza o la somma della serie.

La nozione di serie può essere estesa a somme infinite i cui termini $u n$ non sono necessariamente numeri, ma ad esempio vettori , funzioni o matrici .

Serie digitale

Una serie di termini generali $x n$ può essere definita formalmente come la coppia formata da due suite e . Il termine di ordine n della seconda successione,, è la somma dei primi n +1 termini della successione , detta anche somma parziale di ordine $n$ . La successione è detta successione delle somme parziali della serie di termini $x$ $n$ . $\ left (x_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}$ $\ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n} x_ {k} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}$ $S_ {n} = \ somma _ {k = 0} ^ {n} x_ {k}$ $(x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}$ $\ sinistra (S_ {n} \ destra) _ {n \ in \ mathbb {N}}$

Quindi, la sequenza delle somme parziali associate alla serie del termine generale $x n$ può essere scritta:

{\ displaystyle \ left (x_ {0}, \ quad x_ {0} + x_ {1}, \ quad x_ {0} + x_ {1} + x_ {2}, \ quad \ cdots \ quad, \ quad x_ {0} + x_ {1} + \ cdots + x_ {n}, \ quad \ cdots \ quad \ right)}

Le serie numeriche sono le serie i cui termini $x n$ sono numeri reali o numeri complessi . Esistono anche serie vettoriali, i cui termini sono vettori di un certo spazio vettoriale . È così possibile studiare, ad esempio, serie di matrici o serie di funzioni . Indichiamo la serie di termini generali $x n$ : $\ somma x_ {n}$ o ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} x_ {n}}$ .

Convergenza

Dire che la serie numerica è convergente significa, per definizione, che la successione delle somme parziali è convergente; il suo limite S si chiama allora somma della serie, si nota , e il suo calcolo è la somma della serie. Altrimenti, la serie si dice divergente . $\ somma x_ {n}$ $(S_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}$ $\ somma _ {k = 0} ^ {+ \ infty} x_ {k}$

Due serie si dicono della stessa natura se sono entrambe convergenti o entrambe divergenti.

Si parla di serie assolutamente convergente quando il termine generale serie $| x k |$ è esso stesso convergente ( $| x | che$ significa qui " valore assoluto di x " se x è un numero reale, " modulo di x " se x è un numero complesso , norma se è un elemento di uno spazio vettoriale normalizzato). Se la serie è convergente senza essere assolutamente convergente, allora si parla di serie semiconvergente .

Il fatto che una serie possa essere convergente risolve molti problemi, come alcuni paradossi di Zenone . D'altra parte, è raro che si sappia calcolare esplicitamente la somma di una serie. A parte alcuni calcoli classici, la teoria delle serie mira a determinare la natura di una serie senza calcolare la sequenza delle somme parziali, ed eventualmente procedere ad un calcolo approssimativo della somma.

Se la serie converge, il suo termine generale tende a zero. Falso è il viceversa (esempio della serie armonica , il cui termine generale tende a zero pur essendo divergente). Se una serie non soddisfa questa condizione, si dice che devia grossolanamente .

Serie di campioni

La serie del termine generale (1/2) n è convergente e la sua somma è uguale a: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + = 2.

È possibile "visualizzare" la sua convergenza sulla retta reale: si può immaginare un segmento di lunghezza 2, che viene tagliato in segmenti successivi di lunghezze 1, 1/2, 1/4, ecc. C'è sempre spazio sufficiente per contrassegnare il segmento successivo, perché la lunghezza rimanente è costantemente uguale alla lunghezza del segmento appena contrassegnato. Quando abbiamo segnato 1/2, rimane un pezzo di 1/2 lunghezza non segnato, quindi possiamo certamente ancora segnare il prossimo 1/4. Questo argomento non può in alcun modo servire a dimostrare che la somma di tutte le lunghezze dei segmenti sia uguale a 2, ma permette di intuire che tale somma rimarrà minore di 2 e quindi che la successione delle somme parziali è crescente ed incrementata .

Questa serie è una serie geometrica ; dimostriamo la sua convergenza scrivendo per ogni numero naturale n , la sua somma parziale di rango n che è uguale a:

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ sinistra ({\ frac {1} {2}} \ destra) ^ {k} = {\ frac {1- (1/2) ^ {n +1}} {1- (1/2)}} = 2- (1/2) ^ {n}}

La successione geometrica della ragione 1/2 è convergente e di limite zero quindi $\ sinistra (\ sinistra ({\ frac {1} {2}} \ destra) ^ {n} \ destra) _ {n \ in \ mathbb {N}}$

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {k} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} 2 ^ {- n} = 2.}

Resto di una serie convergente

Se la serie è convergente, allora per ogni numero naturale n , la somma esiste, e . Il termine $R$ $n è$ detto resto di ordine n della serie . $\ somma x_ {n}$ $R_ {n} = \ somma _ {k = n + 1} ^ {\ infty} x_ {k}$ $\ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} R_ {n} = 0$ $\ somma x_ {n}$

È facile, mediante un processo iterativo , calcolare un termine della sequenza di somme parziali. Per una serie convergente, e per ogni n naturale , si scrive la relazione tra la somma, la somma parziale di ordine n e il resto di ordine n $S = S_ {n} + R_ {n}.$ Quindi, se sappiamo limitare il resto, la somma parziale può essere vista come un valore approssimativo della somma, con un'incertezza nota.

Serie e continuazione delle condizioni generali

È possibile trovare il termine generale dalla sequenza delle somme parziali mediante le formule ${\ displaystyle a_ {0} = S_ {0} \ qquad \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad a_ {n} = S_ {n} -S_ {n-1}.}$

Pertanto, qualsiasi somma parziale è una sequenza, ma qualsiasi sequenza è anche una somma parziale (associata alla serie di differenze di termini consecutivi, con un primo termine zero). A seconda dei casi, sarà vantaggioso considerare una sequenza come una somma parziale, o viceversa, a seconda della facilità di analisi dei termini.

Inoltre, se la serie è convergente, allora la successione converge a 0. Infatti, se assumiamo che la serie converge e abbia la somma di S , allora abbiamo . Il contrario è falso (possiamo prendere la serie armonica come controesempio). Quando il termine generale di una serie non tende a 0, si dice che è banalmente o grossolanamente divergente . $\ somma un_ {n}$ $(a_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle a_ {n} = S_ {n} -S_ {n-1} \ longrightarrow _ {n \ a + \ infty} SS = 0}$

Esempi: è una serie grossolanamente divergente ; d'altra parte, per , sebbene il termine generale tenda allo zero, non si può decidere senza altri teoremi. ${\ displaystyle \ sum (-1) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum {\ frac {\ ln n} {n}}}$

Aspetti storici

Strettamente connesso alla questione del superamento del limite è la considerazione delle vere somme infinite . La persistente assenza di concetti soddisfacenti ha generato molte domande e speculazioni, come i paradossi di Zenone . Tuttavia, troviamo già in Archimede ( La quadrature de la parabole ) le prime sommazioni esplicite, con progressioni geometriche come 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ .

In Inghilterra, Richard Suiseth ( XIV ° sec ) calcola la somma della serie con termine generale n / 2 n contemporanei e Nicole Oresme stati che la serie armonica (termine generale 1 / n ) diverge. Allo stesso tempo, il matematico e astronomo indiano Madhava fu il primo a considerare gli sviluppi delle funzioni trigonometriche , sotto forma di serie, serie di Taylor, serie trigonometriche. Utilizza questi concetti per calcoli di approssimazione (in particolare per stimare il numero $π$ ) e fa stime dell'errore commesso. Introduce inoltre i primi criteri di convergenza. Il suo lavoro fu continuato dai suoi successori della scuola del Kerala , regione dell'India meridionale, e ci sono noti dal libro Yuktibhasa .

Nel XVII ° secolo , James Gregory riscoperto molti di questi risultati, compreso lo sviluppo di funzioni trigonometriche per serie Taylor e quello della funzione tangente per calcolare $π$ . Nel 1715 Brook Taylor , dando la costruzione generale della serie che porta il suo nome, stabilì un fecondo legame con il calcolo differenziale. Nel XVIII ° secolo bene, Leonhard Euler stabilito molti rapporti in essere sulla serie e introduce la serie ipergeometrica .

Studio della natura delle serie digitali

Calcoli espliciti

È raro poter calcolare esplicitamente tutti i termini della sequenza delle somme parziali.

Le serie geometriche sono quelle in cui ogni termine si ottiene moltiplicando il termine precedente per un numero costante (motivo noto). La serie del termine generale z n è convergente se e solo se il numero (reale o complesso) z soddisfa: | z | < 1.
Esempi: ed entrambi convergenti. ${\ displaystyle \ sum \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum {\ frac {1} {(1+ \ mathrm {i}) ^ {n}}}}$
alcune serie possono essere messe nella forma ${\ displaystyle \ sum \ left (b_ {n + 1} -b_ {n} \ right)}$ dove la sequenza $( b n ) stessa$ ha un'espressione semplice. Le somme parziali delle serie, talvolta chiamate allora in questo contesto serie telescopiche , sono semplificate in $( b n - b 0 )$ . Lo studio della serie si riduce quindi a quello della successione $( b n )$ , il cui limite, se esiste ed è finito, permette di calcolare la somma della serie.

Principi di studio

Ci sono un gran numero di regole per le serie con termini positivi. Sono tutti basati sul principio del confronto: se, per qualsiasi intero n , abbiamo , allora $0 \ leq u_ {n} \ leq v_ {n}$

se la serie converge, converge anche la serie ; $\ somma v_ {n}$ $\ somma u_ {n}$
se la serie diverge, diverge anche la serie . $\ somma u_ {n}$ $\ somma v_ {n}$

Questo rimane vero se abbiamo le disuguaglianze precedenti non più per tutti gli interi n , ma per tutti gli interi n "abbastanza grandi" (cioè da un certo rango), e porta al seguente risultato:

se le successioni e tendono a zero e se , le serie e sono contemporaneamente convergenti o divergenti. $(un})$ $(v_n)$ $\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {u_ {n}} {v_ {n}}} = 1$ $\ somma u_ {n}$ $\ somma v_ {n}$

Per queste serie con termini positivi, è quindi necessario determinare la natura di alcune serie di riferimenti (come serie geometriche o serie di Riemann), quindi confrontare con queste serie.

Lo studio delle serie in termini reali o complessi, senza alcuna ipotesi particolare, può porre più problemi. Una condizione sufficiente è di grande importanza: se le serie dei valori assoluti (serie con termini reali) o dei moduli (serie con termini complessi) convergono, allora converge anche la serie . Si dice allora che è assolutamente convergente . ${\ displaystyle \ sum \ left | a_ {n} \ right |}$ $\ somma un_ {n}$

Ci sono serie che convergono senza essere assolutamente convergenti, come la serie armonica alternata . I metodi di studio più tecnici per questo tipo di serie ( criterio di convergenza delle serie alternate , teorema di Abele , ecc.) sono presentati nell'articolo dettagliato Serie convergenti . $\ sum {\ frac {(-1) ^ {n}} {n}}$

Esempi di riferimento

La serie armonica è la serie: . Questa serie è divergente. Mostriamo anche che quando , dove è la costante di Eulero . ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {1} {n}}}$ ${\ displaystyle n \ a + \ infty}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} = \ ln n + \ gamma + o (1)}$ $\gamma$
La serie del fattore inverso è la serie: . Questa serie ha per somma il numero $e$ ( vedi sotto ). ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} {\ frac {1} {n!}}}$
Serie della forma: dove α è qualsiasi reale, sono convergenti se e solo se α> 1. Le serie di questo tipo sono serie di Riemann . Sono definiti anche per complessi α e convergenti se e solo se . La funzione zeta di Riemann è la funzione che, al complesso α, associa la somma di questa serie.
$\ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {1} {n ^ {\ alpha}}}$
$\ Re e \ (\ alfa)> 1$
Le serie della forma:, con , sono convergenti se e solo se (α> 1) o (α = 1 e β> 1). Queste serie sono la serie Bertrand .
$\ sum _ {n \ geq 2} {\ frac {1} {n ^ {\ alpha} \ ln ^ {\ beta} n}}$ $\ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}$

Riferimento controesempio

Nota: i criteri di convergenza relativi alle serie con termini positivi potrebbero non applicarsi nel caso generale. Un tipico esempio è quello della serie . $\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {\ sqrt {n}}}$

È convergente, perché è una serie alternata il cui termine generale tende allo zero decrescente in valore assoluto, ma non assolutamente convergente: la serie dei valori assoluti è una serie di Riemann divergente.

Al contrario, la serie è divergente . Questo esempio illustra due fenomeni: $\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {{\ sqrt {n}} + (- 1) ^ {n + 1}}}$

se il valore assoluto del termine generale di una serie alternata non è decrescente, può esserci divergenza.
due serie con termini positivi i cui termini generali sono equivalenti sono della stessa natura, ma questo è falso per serie con termini qualsiasi: e sono equivalenti quando n tende all'infinito. ${\ frac {(-1) ^ {n}} {\ sqrt {n}}}$ ${\ frac {(-1) ^ {n}} {{\ sqrt {n}} + (- 1) ^ {n + 1}}}$

Serie e integrali

Il criterio di confronto tra serie e integrale è molto utile, è esso che permette di determinare in particolare la convergenza o la divergenza della serie di Riemann e Bertrand.

Sia una funzione decrescente e positiva. Allora la serie e l'integrale sono simultaneamente convergenti o divergenti. ${\ displaystyle f: [1, + \ infty [\ a \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)}$ ${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} f (t) \, \ mathrm {d} t}$

Serie a valori vettoriali

Se E è uno spazio vettoriale normalizzato, una serie i cui termini hanno valori in E si dice convergente quando la successione delle somme parziali converge per la norma scelta. Se E è di dimensione finita, tutte le scelte di norme daranno la stessa nozione di convergenza.

Nel caso degli spazi di Banach si possono enunciare molti criteri di convergenza, poiché basta dimostrare la convergenza assoluta della serie per dimostrare che essa converge (in questo caso si parla di convergenza normale ). Questo permette spesso di concludere con la serie di strumenti di studio con termini positivi.

Più in generale, la nozione di serie può essere definita in qualsiasi gruppo abeliano topologico .

Serie di funzioni

Formalmente, le serie di funzioni sono semplicemente serie il cui termine generale appartiene a uno spazio vettoriale di funzioni . Quindi la funzione esponenziale è la somma di una serie di funzioni di potenza poiché

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C} \ qquad \ mathrm {e} ^ {z} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {z ^ {n}} { non!}}}

Esistono molti modi non equivalenti per definire la convergenza di tale serie, come nel caso delle successioni di funzioni . Le più classiche sono senza dubbio la convergenza semplice e la convergenza uniforme . Esistono numerosi teoremi che specificano, a seconda del tipo di convergenza, se è possibile eseguire calcoli come la derivazione o l'integrazione della funzione somma di una serie.

Serie trigonometriche e serie di Fourier

Le serie trigonometriche si ottengono sommando funzioni sinusoidali di frequenza nf dove f è una data frequenza di riferimento. Una questione fondamentale nell'analisi armonica è la possibilità di mostrare una data funzione periodica come somma di una serie trigonometrica: la sua serie di Fourier .

Intera serie

La maggior parte delle funzioni usuali in matematica possono essere rappresentate localmente da una serie di Taylor . Sono serie il cui termine generale si scrive con una potenza di una variabile; si chiamano serie intere . Ma solo in determinati casi.

Esempi

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} z ^ {n} = {\ frac {1} {1-z}}}$ . Questa serie è convergente se e solo se il numero (reale o complesso) z soddisfa: $| z | <1$ .
${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}} = \ mathrm {e} ^ {z}}$ . Questa serie è convergente per qualsiasi numero reale o complesso z .

Storicamente, matematici come Leonhard Euler lavoravano liberamente con le serie, anche se non convergenti. Quando le basi di calcolo sono stati saldamente posati nel XIX ° secolo, sono stati richiesti rigorose prove della convergenza di serie. Tuttavia, i calcoli formali con serie (non necessariamente convergenti) sono all'origine delle serie formali negli anelli, nell'algebra in generale, ma anche nell'algebra combinatoria per descrivere e studiare determinate successioni grazie alle loro funzioni generatrici .

serie Dirichlet

Concetto di somme infinite

Le serie sono solo l'esempio più semplice di formalizzazione della nozione di somma infinita. Ci sono altre definizioni, più esigenti o al contrario più flessibili.

Le serie non sono davvero delle somme

Nella definizione delle somme di serie convergenti, c'è un calcolo a somma finita, seguito da un passaggio al limite. Questo secondo passaggio del passaggio al limite significa che l'espressione “somma infinita” non è corretta per qualificare la serie. Tale "somma" infatti non è né commutativa né associativa . Non è inoltre possibile, in generale, derivare tale somma termine per termine rispetto ad un parametro.

Le famiglie sommabili hanno proprietà che danno loro molti più titoli per essere chiamate "somme infinite". Mentre, nel caso di serie, si aggiungono i termini nell'ordine di successione degli indici $u 0 , u 1$ , ... quindi $u n$ , la nozione di famiglia sommabile richiede di ottenere lo stesso risultato qualunque sia l'ordine in cui le somme vengono effettuati . Quindi, per le famiglie sommabili, la proprietà commutativa è vera per definizione stessa.

Procedure di somma di serie divergenti

I metodi di sommatoria sono tipi di convergenza più deboli che consentono di definire la somma di alcune serie divergenti. Ad esempio, il processo di sommatoria di Cesàro dà il risultato 1/2 quando sommiamo la serie di Grandi

1-1 + 1-1 + \ puntini \,

Si definisce calcolando successivamente le medie dei primi n termini della successione delle somme parziali e passando al limite.

Gli altri metodi di sommatoria più classici sono la sommatoria di Abel e la sommatoria di Borel .

Note e riferimenti

Jean Combes, Suites e serie , PUF ,1982, 206 pag. ( ISBN 978-2-13-037347-6 ) , pag. 35.
Vi sono inoltre serie convergenti per le quali si può dire ben poco della loro somma, a parte la loro esistenza. Vedi ad esempio l'articolo sul Teorema di Apéry .
Edmond Ramis , Claude Deschamps e Jacques Odoux , Corso speciale di matematica: serie, equazioni differenziali , t. 4, Parigi/Milano/Barcellona, Masson,1993( 1 ° ed. 1977), 326 p. ( ISBN 2-225-84067-9 ) , pag. 1, definisce una serie in modo equivalente, nell'ambito delle serie su spazi vettoriali normati, come la successione di coppie formate dal termine della successione di ordine n e dalla somma parziale di ordine n . Altri autori come Combes 1982 non danno una definizione formale ma si accontentano di definire cosa significhi studiare una serie, o studiare la sequenza delle sue somme parziali, cfr. riassunto introduttivo.
Secondo Y. Chevallard, Theory of Series , vol. 1 / Serie digitale, Cédic / Nathan,1979, "Storia e metodo", p. 30.