Poligono regolare

Nella geometria euclidea , un poligono regolare è un poligono che è sia equilatero (tutti i suoi lati hanno la stessa lunghezza) che equiangolo (tutti i suoi angoli hanno la stessa misura). Un poligono regolare può essere convesso o stella .

Tutti i poligoni convessi regolari con lo stesso numero di lati sono simili . Ogni poligono regolare stellato di n lati ha un inviluppo convesso di n lati, che è un poligono regolare. Un numero intero n maggiore o uguale a 3 poiché esiste un poligono regolare convesso di n lati.

In alcuni contesti, tutti i poligoni considerati saranno convessi e regolari. È quindi consuetudine implicare i due epiteti "convesso regolare". Ad esempio, tutte le facce dei poliedri uniformi devono essere convesse e regolari e le facce verranno descritte semplicemente come un triangolo , un quadrato , un pentagono ...

Le molteplici proprietà dei poligoni regolari hanno portato al loro studio matematico sin dall'antichità e a varie interpretazioni simboliche , religiose o magiche .

Proprietà generali

Caratterizzazioni

Un poligono è regolare se e solo se è sia equilatero che scrivibile (in un cerchio ).Il centro e il raggio di questo cerchio vengono quindi chiamati centro e raggio del poligono.

Un poligono è regolare se e solo se c'è una rotazione che invia ogni vertice al successivo.Questa (singola) rotazione quindi invia anche ciascun lato al successivo.

Qualsiasi poligono regolare è quindi non solo equilatero ed equiangolo (per definizione) ma anche isotossale e isogonale .

Un poligono con n lati è regolare se e solo se il suo gruppo di simmetria è "il più grande possibile": di ordine 2 n .Questo gruppo è quindi il gruppo diedro D n , formato dalle rotazioni di C n (il gruppo di simmetria rotazionale di ordine n - se n è pari, il poligono ha quindi un centro di simmetria) e di n simmetrie assiali i cui assi passano per il centro. Se n è pari, metà di questi assi passa per due vertici opposti e l'altra metà per i punti medi di due lati opposti. Se n è dispari, ogni asse passa per un vertice e il punto medio del lato opposto.

Proprietà aggiuntive

Qualsiasi poligono regolare è automatico .In effetti, la rotazione sopra menzionata caratterizza completamente il poligono (con stretta somiglianza diretta ).

I poligoni regolari con n vertici (considerati con stretta somiglianza) sono in biiezione con i primi interi con n e compresi tra 1 e n / 2
(quindi per n > 2, ci sono en ( n ) / 2, dove φ denota l' indicatore Eulero ) .Infatti, la rotazione è di ordine n, quindi il suo angolo misura $2 k π / n$ rad per un certo numero intero k primo con n . Inoltre, due angoli danno lo “stesso” poligono se e solo se sono uguali o opposti.

Righello e costruzione della bussola

Un poligono regolare (convesso o stella) con n bordi può essere costruito con il righello e il compasso se e solo se n è il prodotto di una potenza di 2 per distinti numeri primi di Fermat ( cfr. L'articolo " Teorema di Gauss-Wantzel " ). Gli unici numeri primi di Fermat noti sono 3, 5, 17, 257 e 65.537.

Poligoni convessi regolari

Il poligono convesso regolare con n lati corrisponde all'angolo di rotazione $2π / n$ .

Angoli

Per un poligono convesso regolare con n lati.

Angolo al centro:
Gli $n$ angoli al centro sono uguali e la loro somma è 360 °. Un angolo al centro ha quindi il valore: $2π / non$ radianti o $360 / non$ gradi .
Angolo esterno :
per lo stesso ragionamento vale anche un angolo esterno di 360 ° / n .
Angolo interno :
è aggiuntivo all'angolo esterno (o all'angolo al centro) e quindi ha il seguente valore: ${\ displaystyle 180 - {\ frac {360} {n}} = {\ frac {(n-2) \ times 180} {n}}}$ gradi o $( n - 2) π / non$ radianti o addirittura $( n - 2) / 2 n$ si trasforma .

Apotema e raggio

La distanza tra il centro del poligono e ciascuno dei lati è chiamata apotema (questo è il raggio del cerchio inscritto ).

Il dato di una delle tre lunghezze (lato $a$ , raggio $ρ$ o apotema $h$ ) permette di conoscere le altre due e quindi di caratterizzare il poligono.

Se indichiamo con $c = a / 2$ metà del lato $a$ di un poligono regolare con $n$ lati, queste lunghezze sono correlate dal teorema di Pitagora :

h ^ {2} + c ^ {2} = \ rho ^ {2}

e dalle seguenti formule trigonometriche (gli angoli sono espressi in radianti):

{\ Displaystyle h = \ rho \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right) \ quad {\ rm {et}} \ quad c = \ rho \ sin \ left ({\ frac { \ pi} {n}} \ right) \ quad {\ rm {quindi}} \ quad c = h \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right),}

da cui deduciamo rispettivamente:

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {h} {\ cos (\ pi / n)}}, \ quad \ rho = {\ frac {a} {2 \ sin (\ pi / n)}} \ quad { \ rm {e}} \ quad h = {\ frac {a} {2 \ tan (\ pi / n)}}.}

Perimetro e area

Il perimetro P di un poligono convesso regolare con $n$ lati ( n ≥ 3) di lunghezza $a$ è ovviamente uguale a na . Per quanto riguarda la sua area S , è la somma delle aree di n triangoli ( isoscele ) di altezza $h$ (l'apotema) e base $a$ , quindi:

{\ displaystyle P = na \ quad {\ text {et}} \ quad S = n {\ frac {ah} {2}} = {\ frac {Ph} {2}}}

Dalle precedenti relazioni tra $a$ , $he$ il raggio $ρ$ del poligono, si deduce quindi:

{\ Displaystyle P = 2n \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right) \ rho \ quad {\ text {et}} \ quad S = {\ frac {na ^ {2}} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}} = {\ frac {n} {2}} \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi} {n} } \ right) \ rho ^ {2}}

;

l'ultima uguaglianza utilizza anche un'identità trigonometrica : . ${\ Displaystyle \ sin x \ times \ cos x = {1 \ over 2} \ sin {2x}}$

Poiché $sin x$ è equivalente a $x$ quando $x$ tende a 0, il perimetro tende a $2π ρ$ come $n$ tende all'infinito e l'area a $π ρ 2$ . Troviamo la circonferenza del cerchio e l' area del disco .

I poligoni convessi regolari hanno una proprietà notevole, nota fin dai Greci . Tra tutti i poligoni con lo stesso numero di lati e lo stesso perimetro, quello convesso regolare ha l'area maggiore. Quest'area, sempre più piccola di quella del cerchio dello stesso raggio, si avvicina ad essa man mano che $n$ diventa più grande. Queste proprietà sono discusse nell'articolo " Isoperimetria ".

Valori numerici

Coste	Nome	Area esatta se $a$ = 1	Mezzo perimetro se $ρ = 1$
3	Triangolo equilatero	${\ displaystyle {\ frac {3} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {3}} \ right)}} = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}}}$	2.5980762
4	Quadrato o quadrata	${\ displaystyle {\ frac {4} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {4}} \ right)}} = 1 \;}$	2.8284271
5	Pentagono regolare	${\ displaystyle {\ frac {5} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {5}} \ right)}} = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}}}$	2.9389263
6	Esagono regolare	${\ displaystyle {\ frac {6} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {6}} \ right)}} = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} }$	3.000000
7	Eptagono regolare	${\ displaystyle {\ frac {7} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {7}} \ right)}}}$	3.0371862
8	Ottagono regolare	${\ displaystyle {\ frac {8} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {8}} \ right)}} = 2 + 2 {\ sqrt {2}}}$	3.0614675
9	Enneagone regolare	${\ displaystyle {\ frac {9} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {9}} \ right)}}}$	3.0781813
10	Decagono regolare	${\ displaystyle {\ frac {10} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {10}} \ right)}} = {\ frac {5} {2}} {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}}$	3.0901699
11	Endecagono regolare	${\ displaystyle {\ frac {11} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {11}} \ right)}}}$	3.0990581
12	Dodecagono regolare	${\ displaystyle {\ frac {12} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {12}} \ right)}} = 6 + 3 {\ sqrt {3}}}$	3,1058285
13	Tridecagono regolare	${\ displaystyle {\ frac {13} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {13}} \ right)}}}$	3,1111036
14	Tetradecagono regolare	${\ displaystyle {\ frac {14} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {14}} \ right)}}}$	3,1152931
15	Pentadecagono regolare	${\ displaystyle {\ frac {15} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {15}} \ right)}}}$	3,1186754
16	Esadecagono regolare	${\ displaystyle {\ frac {16} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {16}} \ right)}}}$	3.1214452
17	Eptadecagono regolare	${\ displaystyle {\ frac {17} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {17}} \ right)}}}$	3.1237418
18	Octadecagono regolare	${\ displaystyle {\ frac {18} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {18}} \ right)}}}$	3,1256672
19	Enneadecagon regolare	${\ displaystyle {\ frac {19} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {19}} \ right)}}}$	3.1272972
20	Icosagon regolare	${\ displaystyle {\ frac {20} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {20}} \ right)}} = 5 \ times {\ frac {1 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {10 - {\ sqrt {20}}}}} {1 + {\ sqrt {5}} - {\ sqrt {10 - {\ sqrt {20}}}}}}}$	3,1286893
30	Triacontagono regolare	${\ displaystyle {\ frac {30} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {30}} \ right)}} = {\ frac {15} {2}} \ times {\ frac {{ \ sqrt {15}} + {\ sqrt {3}} + {\ sqrt {10 - {\ sqrt {20}}}}} {{\ sqrt {30 - {\ sqrt {180}}}} - {\ sqrt {5}} - 1}}}$	3,1358539
100	Ettagono regolare	${\ displaystyle {\ frac {100} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {100}} \ right)}}}$	3.1410759
1000	Chiliagon regolare	${\ displaystyle {\ frac {1000} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {1000}} \ right)}}}$	3.1415875
10.000	Myriagone regolare	${\ displaystyle {\ frac {10000} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {10000}} \ right)}}}$	3.1415926

Nota che se il raggio è uguale a 1, il mezzo perimetro si avvicina sempre di più a $π$ .

Poligoni regolari non convessi

Un esempio di un poligono a stella regolare (che è equivalente a "regolare incrociato ", o "regolare non convesso") è il pentagramma , che ha gli stessi vertici del pentagono convesso regolare , ma che è collegato da vertici alternati.

I primi poligoni a stella sono:

Pentagramma - {5/2}
Eptagrammi - {7/2}, {7/3}
Octagram (en) - {8/3}
Enneagrammi - {9/2}, {9/4}
Decagramma - {10/3}

Poliedri

Un poliedro uniforme è un poliedro con poligoni regolari per facce tali che per ogni coppia di vertici c'è un'isometria che si applica uno sull'altro. La parola poligono deriva dalla parola poli (molti) e andato (angoli).

Note e riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Poligono regolare " ( vedere l'elenco degli autori ) .

È conveniente pensare al digon come un poligono convesso , sebbene non sia nemmeno semplice .
Glossario di matematica nei jeans .

Vedi anche

link esterno

(it) Descrizione del poligono regolare con animazione interattiva
( fr ) Cerchio inscritto di un poligono regolare con animazione interattiva
( fr ) Area di un poligono regolare Tre diverse formule, con animazione interattiva
Geometria dei fiori con un poligono regolare Corrispondenze tra le figure e il contorno dei fiori