Numero

Un numero è un concetto che permette di valutare e confrontare quantità o rapporti di grandezze , ma anche di ordinare gli elementi per numerazione. Spesso scritti utilizzando una o più cifre , i numeri interagiscono attraverso operazioni che sono riassunte da regole di calcolo . Le proprietà di queste relazioni tra numeri sono oggetto di studio dell'aritmetica , che si estende con la teoria dei numeri .

In assenza di una definizione generale soddisfacente di questa nozione, la matematica propone diversi tipi di numeri per esprimere misure fisiche , per risolvere equazioni , anche per comprendere l' infinito .

In fisica , le quantità adimensionali sono spesso chiamate "numeri", come il numero di Reynolds nella meccanica dei fluidi oi numeri quantici .

Oltre al loro uso scientifico, alcuni numeri hanno anche acquisito una forte carica simbolica nelle diverse culture. È ad esempio il caso del numero tre per i cristiani o del numero dieci per i pitagorici .

Design

Principio

Il concetto di numero trova la sua origine nell'idea di accoppiamento , cioè della messa in corrispondenza di insiemi (ad esempio esseri umani da una parte e cavalli dall'altra). Se proviamo a dividere tutti gli elementi in coppie comprendenti un elemento di ogni insieme, è possibile che alcuni elementi di un insieme siano rimasti troppo, o che ne manchino alcuni, o che ce ne siano, quanto basta. L'esperienza mostra che il modo di fare la distribuzione non cambia il risultato, da qui la nozione di quantità , carattere intrinseco e comparabile.

Questa quantità non è ancora un numero, ma a volte viene chiamata "numero di". Il numero in quanto tale non ha unità di misura . È secondo Euclide "un insieme composto di unità", dove "l'unità è quella secondo cui ciascuna delle cose esistenti è detta essere una. "

Accanto alla nozione di quantità, legata all'aspetto “cardinale”, la nozione di identificazione in un elenco porta alla definizione del numero “ordinale”: al primo numero segue un secondo, a sua volta seguito da un altro e così via "all'infinito".

Estensione progressiva

Senza calcolo, i numeri sono limitati alla quantità di simboli utilizzabili. La scoperta di operazioni numeriche elementari (addizioni e moltiplicazioni in particolare) consentirà alla matematica di facilitare la descrizione di numeri molto più grandi utilizzando vari sistemi di numerazione . La civiltà babilonese scopre di includere la notazione posizionale al III ° millennio aC per poi praticare il calcolo con numeri con parte frazionaria .

Le frazioni sono progettate nell'antico Egitto sotto forma di "numeri giornalieri", vale a dire inversi di numeri interi. La loro gestione è quindi soggetta a determinati vincoli che saranno superati solo dall'interpretazione geometrica come il rapporto delle lunghezze (interi). Tuttavia, né le frazioni né altre proporzioni geometriche come il pi greco , il rapporto aureo o la diagonale del quadrato saranno realmente considerate come numeri dai matematici dell'antica Grecia , per i quali gli unici numeri sono i numeri interi .

Anche se il numero di viene utilizzato "0" in alcuni sistemi di numerazione posizionale da diverse antiche civiltà, il numero a zero viene visualizzato come tali al VII °  secolo, in matematica indiana . Si è ripreso dalla civiltà dell'Islam e importata in Europa nel X °  secolo. Sotto la qualificazione di "assurdo", i numeri negativi sono già studiati nel XVI E  secolo, ma le loro proprietà aritmetiche sono ancora controversi agli inizi del XIX E  secolo.

I numeri algebrici reali positivi sono studiati con lo sviluppo dell'algebra dai matematici arabi . Questi in calcolano valori approssimativi in notazione decimale dal XII °  secolo. Questa stessa algebra portato alcuni matematici italiani hanno inventato il XVI °  numeri secolo "immaginario" primo approccio di numeri complessi che saranno definiti in modo soddisfacente al XVIII °  secolo. La loro costruzione geometrica sarà presto seguita anche da quella dei quaternioni e poi da altri numeri ipercomplessi nel corso del secolo successivo.

Paradossalmente, non è stato fino al XIX °  secolo, che ha riconosciuto l'esistenza di numeri trascendenti , subito prima o formalizzato il concetto di reale indipendentemente dalla geometria. La procedura di completamento numeri razionali saranno imitati nei primi anni del XX °  secolo per costruire il numero p -adic .

I numeri transfiniti vengono introdotti in vari modi dalla fine del XIX °  secolo, quando Georg Cantor definisce l' ordinale e cardinale . Nella seconda metà del XX °  secolo, le analisi non standard fa uso del numero iperreale poi superréels mentre Conway ha i numeri e surreale pseudo-reale .

Pedagogia

Vari esperimenti esplorano le abilità digitali dei bambini piccoli.

In ambito educativo, l'apprendimento della numerazione inizia con l'acquisizione della "  catena digitale  ", in particolare con l'ausilio delle filastrocche  : "uno, due, tre..." Tale elenco verrà progressivamente ampliato per consentire al bambino di '' enumerare oggetti che manipola per contarli (associando questa quantità all'ultimo termine dell'enumerazione), ma anche per localizzare una posizione in una serie ordinata.

Durante la scolarizzazione, il bambino è portato a considerare vari tipi di numeri disposti in una sequenza crescente di insiemi:

Numerazione

Origine

L'idea di quantità e la sua codificazione visiva probabilmente precedono la comparsa della scrittura. Diversi metodi di conteggio vengono gradualmente sviluppati per descrivere le dimensioni di una mandria e controllarne lo sviluppo, seguire un calendario o misurare i raccolti.

Nel IV ° millennio aC, le civiltà mesopotamiche e palline di argilla uso cave contenenti gettoni e ripiani argillosi con marchi. Un sistema di notazione (noto come "sistema S") viene utilizzato per la designazione di quantità discrete, mentre le aree e le altre quantità sono rappresentate ciascuna secondo il proprio sistema di notazione. Non è stato fino alla fusione di questi sistemi, alla fine del III ° millennio aC, per vedere se veramente formare il concetto di numero astratto, indipendente dalle sue realizzazioni concrete.

Dal segno al numero

Nei sistemi di numerazione additiva, alcuni simboli (variabili a seconda del raccolto) rappresentano quantità precise e sono giustapposti per designare tutti i numeri utili.

I sistemi alfabetici associano l'elenco delle lettere dell'alfabeto (rinforzando le lettere insolite, obsolete o inventate) con nove, nove decine e nove centinaia per scrivere ogni numero compreso tra 1 e 999 in un massimo di tre caratteri. Per scrivere valori più alti, a sinistra viene posizionato un nuovo gruppo di massimo tre lettere che designano migliaia, separati da un apostrofo.

Questo sistema è vicino alla scrittura posizionale crittografata, in cui ogni posizione contiene (al massimo) una sola cifra.

Le cifre del numero decimale corrispondono ai primi dieci numeri interi: zero , uno , due , tre , quattro , cinque , sei , sette , otto e nove .

Aritmetica

Operazioni

Poiché le quantità sono rappresentate da simboli, la manipolazione delle quantità deve essere tradotta da operazioni sui numeri. Quindi, l'unione di due quantità definisce l'operazione di addizione e la ripetizione di una certa quantità dà luogo alla moltiplicazione . Queste due operazioni dirette ammettono operazioni reciproche  : sottrazione e divisione , che permettono di trovare uno degli operandi dal risultato e l'altro operando.

Ognuna di queste operazioni viene eseguita utilizzando diverse tecniche di calcolo . Ma a differenza delle operazioni dirette che sono definite senza restrizioni, le operazioni reciproche riescono solo a determinate condizioni. Pertanto, prima di utilizzare numeri negativi , un numero può essere sottratto solo da un numero più grande. Allo stesso modo, la nozione di divisibilità descrive la fattibilità di una divisione. Tuttavia, il processo di divisione euclidea ha il vantaggio di fornire un risultato anche senza l'ipotesi di divisibilità. Quest'ultimo è poi espresso dall'assenza di resto .

Dal momento in cui la moltiplicazione appare come un'operazione puramente numerica, la sua ripetizione definisce le potenze di un numero, le cui operazioni reciproche sono chiamate radici . Altre operazioni come il fattoriale sono sviluppate nell'ambito della combinatoria .

Multiplo e divisore

In questo paragrafo i numeri considerati sono numeri interi naturali diversi da zero.

Dato un numero, l'insieme dei suoi multipli è infinito ma regolarmente distribuito e facilmente descrivibile da una sequenza aritmetica . Ad esempio, multipli di 2 sono anche numeri , che si alternano con i numeri dispari tra tutti gli interi.

Al contrario, l'insieme dei divisori di un numero è sempre finito e la sua distribuzione non ha affatto lo stesso tipo di regolarità. Certamente contiene sempre il numero da dividere e il numero 1, eventuali altri divisori che si trovano tra questi due estremi. Ma in generale è difficile elencare questi altri divisori da una scrittura del numero in una data base .

Questo problema è in parte dovuto alla scarsità di criteri semplici per determinare senza calcolo se un numero è divisibile per un altro. In un sistema numerico posizionale decimale , sono noti diversi criteri di divisibilità per i divisori piccoli (soprattutto per 2, 3, 5, 9 e 10), ma a parte questi pochi casi, è essenzialmente la divisione euclidea che ci permette di rispondere a questa domanda.

numero primo

A parte il numero 1, che è il suo unico divisore, ogni numero ammette quindi almeno due divisori distinti. Quelli che ammettono esattamente due sono detti numeri primi . Sono gli unici in grado di ridurre altri numeri per divisione, senza essere essi stessi scomponibili in prodotti di numeri strettamente minori. Ce n'è un'infinità e ogni numero è scomposto in modo univoco in un prodotto di numeri primi. Questa scomposizione permette, tra l'altro, di comprendere la struttura dell'insieme dei divisori.

Verso la teoria dei numeri

L' aritmetica è letteralmente scienza degli interi, comprendente la definizione delle operazioni elementari di addizione e moltiplicazione , le loro operazioni inverse, la relazione di divisibilità e le proprietà che se ne deducono, consentendo la trattazione delle equazioni diofantee . Dal XIX °  secolo, la teoria dei numeri si estende questi concetti utilizzando gli strumenti di algebra e l' analisi delle serie di numeri reali , complessi o p -adic .

Geometria

Numero figurato

La valutazione di una quantità di oggetti avviene più o meno rapidamente a seconda del modo in cui gli oggetti sono immagazzinati. Ad esempio, sedici pedine sono molto più facili da contare se sono disposte in un quadrato che se vengono lanciate in disordine su un tavolo. Allo stesso modo, il tetraktys dei pitagorici è la disposizione di dieci punti in un triangolo . Altre forme sono studiate da questo angolo nel piano ( esagoni per esempio) o nello spazio da pile di figure.

Questa visione dei numeri come configurazioni geometriche permette, tra l'altro, di interpretare il prodotto di due numeri come il rettangolo i cui lati sono descritti da questi due numeri, da cui la necessaria commutatività della moltiplicazione, vale a dire che l'ordine in quale viene eseguita la moltiplicazione non ha alcuna influenza sul risultato. Altre proprietà aritmetiche possono essere enunciate geometricamente. Quindi un numero è pari se è rappresentabile da un rettangolo su due righe; è primo se l'unico modo per rappresentarlo come un rettangolo è una linea di più punti.

Rapporto di grandezza

Alcuni numeri derivano da rapporti geometrici come il pi greco , rapporto tra la circonferenza del cerchio e il suo diametro, o il rapporto aureo , nato dal problema della divisione "in ragione estrema e media".

Note e riferimenti

  1. Definizioni lessicografiche ed etimologiche di "Nombre" (che significa Numero Ordinale) della tesoreria informatizzata della lingua francese , sul sito del Centro Nazionale delle Risorse Testuale e Lessicale
  2. Le Petit Robert de la langue française e le Trésor de la Langue Française Informatisé riportano che “il numero è una delle nozioni fondamentali della comprensione […] che non può essere definita. "Le Petit Larousse illustrato sostiene che il numero "non può essere definito in modo stretto".
  3. Espressione usata da Stella Baruk nel suo Dizionario di Matematica Elementare .
  4. Elementi , libro VII.
  5. Il primo intero detto "naturale" è il numero prima del riconoscimento dello zero ma ancora dopo nel linguaggio comune e ancora oggi nella matematica anglosassone.
  6. particolare è trovato nei numeri greci del II °  secolo aC e numeri Maya nel I ° millennio.
  7. Questa è la sequenza dei primi interi, generalmente a partire da 1, si veda a questo proposito i nuovi programmi della scuola primaria in Francia p.  7 .
  8. La stessa parola "rima" deriva tardivamente dal verbo "contare" secondo il dizionario storico della lingua francese .
  9. In molti altri paesi, la virgola è sostituito da un periodo .
  10. L' osso di Ishango viene quindi interpretato come un manufatto antecedente alla comparsa della scrittura e rappresentativo di valori numerici.
  11. Georges Ifrah, introduzione alla Storia Universale delle Figure .
  12. Catherine Goldstein , “La nascita dei numeri in Mesopotamia”, Storia dei numeri , edizioni Tallandier, 2007.
  13. Christian Houzel, “Cos'è un numero? », Storia dei numeri , edizioni Tallandier, 2007.
  14. Il sistema di numerazione dell'antico Egitto si ferma così al simbolo della milioni , assimilati ai all'infinito .
  15. Vedi ad esempio la numerazione greca .
  16. posizione zero viene inventata per la prima volta per indicare l'assenza di una cifra in una posizione.
  17. Anche ammettendo l'uso di numeri negativi, per sottrarre un numero positivo da un numero positivo minore, eseguiamo la sottrazione opposta e cambiamo segno al risultato.

Vedi anche

Articoli Correlati

Bibliografia

Filmografia

L'impero dei numeri , DVD edito da Arte edition.

Link esterno

Jean-Pierre Dedieu, “  Le parole dei numeri  ” ( Archivio • Wikiwix • Archive.is • Google • Cosa fare? ) ,7 febbraio 2007