Cerchio

Nella geometria euclidea , un cerchio è una curva piana chiusa composta da punti posti ad uguale distanza da un punto detto centro . Il valore di questa distanza si chiama raggio del cerchio.

Nel piano euclideo è il “tondo” che in francese è associato al termine cerchio. In un piano non euclideo o nel caso di definizione di una distanza non euclidea, la forma può essere più complessa. In uno spazio di qualsiasi dimensione, l'insieme dei punti posti a distanza costante da un centro è chiamato sfera .

Altre forme possono essere qualificate come “rotonde”: superfici e solidi di cui determinate sezioni piane sono cerchi ( cilindri , coni , toroidi , anelli , ecc.).

Usi

Il cerchio è un oggetto matematico astratto, che può essere utilizzato per modellare molti fenomeni. Un certo numero di manufatti hanno sezione circolare: cilindri (rulli, ruote, silos), sfere (palloncini, palline, biglie), coni (rulli, imbuti). Le proprietà dei cerchi consentono quindi di dedurre proprietà degli oggetti, come il loro volume che permette di dedurre la massa dell'oggetto (conoscendo la sua densità ) o la sua capacità. Gli oggetti a sezione circolare sono interessanti per diversi motivi principali:

• questi oggetti rotolano , il che permette di avere movimenti e spostamenti che richiedono poco sforzo ( ruote , cuscinetti meccanici );
• per definizione, tutti i punti sono equidistanti dal centro; ciò significa che occorre lo stesso tempo e la stessa energia per raggiungere ogni punto dal centro, che ha dato la nozione di emiciclo ( anfiteatro ) in cui il suono ha lo stesso volume per tutti coloro che sono seduti sulla stessa panca;
  questo è importante anche in termini di organizzazione territoriale e logistica  ; infatti, se lo spostamento avviene allo stesso modo in tutte le direzioni (idealmente terreno pianeggiante e orizzontale, senza ostacoli, o volo d'uccello senza vento), allora un cerchio rappresenta tutti i punti che possono essere da raggiungere per un dato tempo di percorrenza o un dato il consumo di energia dal centro, questa è la nozione di raggio d'azione , e l'interesse del problema del cerchio minimo  ;
  quando si soffia il vetro , il vetro si allontana dal punto di soffiatura con una velocità isotropa , che conferisce all'oggetto una forma naturalmente arrotondata;
• il cerchio è la curva piana che, per una data lunghezza ( perimetro ) è l' area più grande; Quindi, se costruiamo un silo o una bottiglia cilindrica, abbiamo la maggiore capacità per una data quantità di materiale (per fare il muro), se costruiamo una recinzione circolare, possiamo ospitare più persone per una data quantità di legno o pietra ; nello stesso ordine di idee, la difesa in circolo è una strategia militare che permette di difendere una popolazione o un ceppo con il minimo dei mezzi, di fronte a un attacco proveniente da tutte le parti, tattica nota appunto come di accerchiamento  ;
• questa forma non presenta asperità, quindi nessuna concentrazione di sollecitazioni  ; un oggetto avente questa forma ha una migliore resistenza meccanica;
• questa forma non ha una parte piatta, quindi un proiettile ha poche possibilità di colpirlo "dalla parte anteriore", gli trasmette meno energia e quindi rischia di danneggiarlo meno; se l'oggetto cade, è più probabile che rimbalzi senza rompersi; un oggetto arrotondato inoltre ha meno rischi di ferirsi in caso di impatto con una persona (palloncino, cofani arrotondati e paraurti delle auto moderne);
• ogni linea passante per il centro è un raggio, e quindi è perpendicolare al cerchio; questa proprietà è utilizzata in ottica e ha dato origine a controspecchi sferici , motivo per cui le lenti hanno superfici sferiche (possiamo facilmente prevedere il percorso della luce alle diottrie );
• un oggetto di sezione circolare e parete sottile può essere realizzato avvolgendo un filo ( molla elicoidale , bobina ) o arrotolando una lamina ( ghiera , tubo ); un oggetto di sezione circolare cava o massiccia può essere facilmente ottenuto anche mediante tornitura ( ceramica , tornitura meccanica );
• se mettiamo un oggetto in un contenitore circolare, ne imponiamo la posizione ma non ne imponiamo l'orientamento; se l'orientamento non ha importanza, ciò consente di risparmiare tempo poiché non è necessario ruotare l'oggetto prima di metterlo in posizione; questo è il principio del centraggio (lungo o corto) per il posizionamento (MiP).

Alcuni oggetti rispondono a più di uno di questi elementi. Ad esempio, il fatto che una canna sia cilindrica:

• consente una facile fabbricazione, soprattutto noiosa  ;
• conferisce resistenza meccanica (resistenza alla pressione di esplosione);
• facilita l'introduzione della munizione (non è necessario ruotarla attorno al proprio asse per introdurla);
• praticando un'elica nella canna, si può stampare un movimento rotatorio durante lo sparo che stabilizza la traiettoria.

Se un oggetto ha una superficie curva, può essere approssimato localmente da un cerchio. Quindi, se conosciamo le proprietà del cerchio, conosciamo le proprietà locali dell'oggetto. Questo è ciò che ha dato le nozioni di cerchio osculatore , raggio di curvatura e armonica sferica .

Se hai oggetti o persone in cerchio, sai che puoi raggiungerli con lo stesso sforzo dal centro, ma anche che puoi vederli allo stesso modo, il che può facilitare la sorveglianza. . Possono anche essere designati utilizzando un unico parametro, la direzione; questo è per esempio l'interesse dei quadranti ad ago. Questo dà anche le nozioni di coordinate cilindriche e sferiche .

Per sua definizione, il cerchio euclideo è molto facile da disegnare: basta avere un oggetto le cui due estremità abbiano una distanza costante, ad esempio una corda tesa o un ramo (anche attorcigliato), o più comunemente un compasso . È quindi facile disegnare un cerchio “perfetto”, il che lo rende uno strumento di studio privilegiato per la geometria.

Per problemi e forme più complessi, possiamo usare la nozione di ellisse .

Il cerchio può essere utilizzato per rappresentare simbolicamente oggetti "più o meno rotondi":

• dei corpi celesti ( pianeti , lune , stelle ) e delle loro orbite (che in realtà sono ellittiche);
• l'ovale di un viso ( testa di Totò , le faccine );
• un orifizio.

Da un punto di vista puramente simbolico, rappresenta:

• una certa forma di perfezione , in virtù della sua simmetria e della sua assenza di ruvidità, perché, secondo Ronsard , "nulla è eccellente al mondo se non è tondo"  ; fin dall'antica Grecia la sfericità è stata associata alla perfezione, e quindi alla divinità; per Keplero , il cerchio rappresenta la Santissima Trinità , "Il Padre al centro, il Figlio in superficie, lo Spirito Santo in eguaglianza di relazione dal centro alla periferia". E benché il centro, la superficie e l'intervallo siano evidentemente tre, tuttavia sono uno, al punto che non si può neppure concepire che manchi uno senza che il tutto sia distrutto”  ;
• un movimento continuo e infinito, la nozione di ciclo  ; è una delle rappresentazioni del ricominciamento ( ouroboros ), della continuità, dell'eternità e del tempo ciclico (vedi la ruota del tempo del Kalachakra Tantra ), con la variante della spirale  ;
• uguaglianza tra le persone, come la Tavola Rotonda di Re Artù .

Definizioni

Per molto tempo, il linguaggio quotidiano ha usato la parola "cerchio" tanto per denominare la curva ( circonferenza ) quanto la superficie che delimita. Al giorno d'oggi, in matematica , il cerchio designa esclusivamente la linea curva, la superficie essendo, a sua volta, chiamata disco .

Il rapporto tra la circonferenza del cerchio e il suo diametro definisce il numero pi .

Altri termini meritano di essere definiti:

• una corda è un segmento di linea le cui estremità sono sul cerchio;
• un arco è una porzione di cerchio delimitata da due punti;
• una freccia è il segmento che collega i punti medi di un arco di cerchio e una corda definita da due stessi punti del cerchio;
• un raggio è un segmento di linea che unisce il centro a un punto sul cerchio;
• un diametro è una corda passante per il centro; è un segmento di retta che delimita il disco in due parti uguali. Il diametro è composto da due raggi collineari  ; la sua lunghezza è 2 r  ;
• un disco è una regione del piano delimitata da un cerchio;
• un settore circolare è una parte del disco compresa tra due raggi;
• un segmento circolare è una porzione di un disco composta da una corda e dall'arco di cerchio che sottende;
• un angolo al centro è un angolo formato da due raggi del cerchio;
• la circonferenza è il perimetro del cerchio ed è uguale a 2π r .

Equazioni

Equazioni cartesiane e parametriche

In un piano provvisto di un sistema di coordinate ortonormale , l' equazione cartesiana della circonferenza di centro C ( a , b ) e raggio r è:

(X-a)2+(sì-b)2=r2{\ displaystyle (xa) ^ {2} + (yb) ^ {2} = r ^ {2} \,}, Sia per il cerchio unitario o cerchio trigonometrico (cerchio il cui centro è l'origine del sistema di coordinate e il cui raggio è 1 ): X2+sì2=1.{\ stile di visualizzazione x ^ {2} + y ^ {2} = 1.}

Questa equazione è infatti un'applicazione del teorema di Pitagora per il triangolo rettangolo formato dal punto del cerchio e dalla sua proiezione sui due raggi paralleli agli assi.

Evidenziando y , si ottiene la doppia equazione cartesiana del cerchio (infatti un'equazione per ogni semicerchio delimitato dal diametro orizzontale):

sì=b±r2-(X-a)2{\ displaystyle y = b \ pm {\ sqrt {r ^ {2} - (xa) ^ {2}}} \,}.

Possibili parametriche equazioni del cerchio (in funzione del parametro θ che qui esprime un angolo orientato del vettore che unisce il centro del cerchio di uno di questi punti con rispetto all'unità orizzontale vettore della trama di riferimento) sono date da:

X=a+rcos⁡θ;sì=b+rpeccato⁡θ{\ displaystyle x = a + r \ cos \ theta; \ qquad y = b + r \ sin \ theta}

cioè, per un cerchio centrato sull'origine (0; 0)  :

X=rcos⁡θ;sì=rpeccato⁡θ{\ displaystyle x = r \ cos \ theta; \ qquad y = r \ sin \ theta}

e per il cerchio unitario:

X=cos⁡θ;sì=peccato⁡θ{\ displaystyle x = \ cos \ theta; \ qquad y = \ sin \ theta}.

Grazie al teorema dell'angolo inscritto in un semicerchio e del suo reciproco , possiamo anche determinare un'equazione per il cerchio C di diametro [ AB ]  :

M∈VS⇔MA→⊥MB→⇔MA→⋅MB→=0⇔(X-XAsì-sìA)⋅(X-XBsì-sìB)=0⇔(X-XA)(X-XB)+(sì-sìA)(sì-sìB)=0⇔X2+sì2-(XA+XB)X-(sìA+sìB)sì+XAXB+sìAsìB=0.{\ displaystyle {\ begin {allineato} M \ in C & \ Leftrightarrow {\ overrightarrow {MA}} \ perp {\ overrightarrow {MB}} \\ & \ Leftrightarrow {\ overrightarrow {MA}} \ cdot {\ overrightarrow { MB }} = 0 \\ & \ Leftrightarrow {\ binom {x-x_ {A}} {y-y_ {A}}} \ cdot {\ binom {x-x_ {B}} {y-y_ {B} } } = 0 \\ & \ Leftrightarrow \ left (x-x_ {A} \ right) \ left (x-x_ {B} \ right) + \ left (y-y_ {A} \ right) \ left (y - y_ {B} \ destra) = 0 \\ & \ Leftrightarrow x ^ {2} + y ^ {2} - \ left (x_ {A} + x_ {B} \ destra) x- \ left (y_ {A } + y_ {B} \ destra) y + x_ {A} x_ {B} + y_ {A} y_ {B} = 0. \ end {allineato}}}

Punti di intersezione con una retta

La geometria analitica per determinare l'intersezione di un cerchio e una retta . Senza perdita di generalità , l' origine del sistema di coordinate è il centro del cerchio e l' asse delle ascisse è parallelo alla linea. Si tratta quindi di risolvere un sistema della forma:

X2+sì2=r2etsì=sì0{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2} \ quad {\ rm {e}} \ quad y = y_ {0}},

quindi cercare le soluzioni x di

X2=r2-sì02{\ displaystyle x ^ {2} = r ^ {2} -y_ {0} ^ {2}}.

Si presentano tre casi, a seconda che la distanza tra il centro del cerchio e la linea sia maggiore del raggio, uguale o minore:

• se , l'intersezione è vuota;|sì0|>r{\ displaystyle | y_ {0} |> r}
• se , la retta è tangente al cerchio nel punto  ;|sì0|=r{\ displaystyle | y_ {0} | = r}(0,sì0){\ stile di visualizzazione (0, y_ {0})}
• se ci sono due punti di intersezione: .|sì0|<r{\ displaystyle | y_ {0} | <r}(+r2-sì02,sì0) e (-r2-sì02,sì0){\ displaystyle (+ {\ sqrt {r ^ {2} -y_ {0} ^ {2}}}, y_ {0}) {\ text {e}} (- {\ sqrt {r ^ {2} - s_ {0} ^ {2}}}, s_ {0})}

Il cerchio visto come una sezione

Il cerchio è un'ellisse i cui fuochi coincidono con il centro del cerchio; la lunghezza dell'asse maggiore è uguale alla lunghezza dell'asse minore. È una sezione conica la cui eccentricità e è uguale a 0. Si può ottenere dall'intersezione di un piano con un cono di rivoluzione quando il piano è perpendicolare all'asse di rivoluzione del cono (si parla talvolta di "sezione destra" del cono).

Nel disegno industriale , un cerchio è più spesso rappresentato con il suo asse orizzontale e il suo asse verticale (in mezzeria: linea sottile composta da trattini lunghi e corti), o semplicemente con il suo centro materializzato da una croce diritta "+" in linee sottili. Una forma di rivoluzione, solida o cava ( cilindro , cono , sfera ) e vista lungo l'asse di rivoluzione è rappresentata da un cerchio.

Proprietà geometriche

Le misure

La lunghezza di un arco di raggio r sotteso da un angolo al centro α , espresso in radianti , è uguale ad αr . Quindi, per un angolo di 2π (un giro completo), la lunghezza del cerchio è 2π r .

L'area del disco delimitata da un cerchio di raggio r è π r 2  ; se prendiamo una corda di data lunghezza l e la usiamo per delimitare una superficie chiusa, la superficie con area maggiore è delimitata da un cerchio.

Secondo la leggenda della fondazione di Cartagine , il sovrano aveva permesso ai Fenici di fondare una città la cui periferia sarebbe stata delimitata da una pelle di vacca  ; Didone ne fece una larga striscia e scelse una forma circolare per avere la superficie maggiore.

Corda e freccia di un arco

La lunghezza di una corda sottesa da un angolo α è pari a 2 r sin ( α / 2) .

Possiamo esprimere il raggio r di un cerchio, la corda c e la freccia f di uno qualsiasi dei suoi archi, secondo due di essi, applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo formato da r - f , c / 2 ed r che è l'ipotenusa:

vs=2(2r-f)f;r=4f2+vs28f;f=r-r2-vs24{\ displaystyle c = 2 {\ sqrt {(2r-f) f}}; \ qquad r = {\ frac {4f ^ {2} + c ^ {2}} {8f}}; \ qquad f = r- {\ sqrt {r ^ {2} - {\ tfrac {c ^ {2}} {4}}}}}.

La sinuosità di due archi di cerchio opposti simili uniti nello stesso piano continuamente differenziabile è indipendente dal raggio del cerchio.

Tangente

La tangente in un punto della circonferenza è perpendicolare al raggio in quel punto.

Questa proprietà trova applicazioni in ottica geometrica  : un raggio di luce che passa per il centro di uno specchio sferico riparte in direzione opposta nella stessa direzione (abbiamo una riflessione perpendicolare allo specchio). Se mettiamo una lampadina al centro di uno specchio sferico, la luce viene restituita dall'altra parte, il che permette ad esempio di "piegare" la luce verso uno specchio parabolico (principio del controspecchio).

Considera una circonferenza di centro O e un punto A esterno a questa circonferenza. Cerchiamo una tangente a questo cerchio passante per A  ; il punto di tangenza si chiama T .

Usiamo il fatto che triangolo AOT è una T- rettangolare . Questo triangolo rettangolo è quindi inscritto in una circonferenza il cui centro è il punto medio di [ AO ] , o anche, che è equivalente, che l'ipotenusa ha una lunghezza doppia della mediana risultante dall'angolo retto.

Determiniamo quindi il punto medio I di [ AO ] , quindi tracciamo un arco di cerchio di centro I e raggio IO . Questo arco circolare interseca il cerchio nei punti di tangenza.

Mediatore

La bisettrice perpendicolare di una corda passa per il centro della circonferenza. Questo permette di trovare il centro di una circonferenza: basta disegnare due corde non parallele e trovare l'intersezione delle loro bisettrici perpendicolari.

Possiamo anche mostrare che le tre bisettrici perpendicolari di un triangolo sono concorrenti e che il punto di intersezione è il centro della circonferenza passante per i tre vertici, detta circonferenza circoscritta al triangolo.

Cerchio e triangolo rettangolo

Prendiamo su una circonferenza tre punti A , B e C , due dei quali - A e C - sono diametralmente opposti (cioè [ AC ] è un diametro). Allora il triangolo ABC è il rettangolo B .

Ciò deriva dal fatto che la mediana risultante dall'angolo retto vale la metà dell'ipotenusa (abbiamo un raggio e un diametro); questa è una proprietà del triangolo chiamato teorema dell'angolo di semicerchio, o teorema di Talete (in Germania e in alcuni paesi di lingua inglese).

Viceversa, siano A e C due punti diametralmente opposti di un cerchio. Oppure B un punto nel piano poiché ABC è il rettangolo B . Allora B appartiene al cerchio.

Angolo inscritto, angolo al centro

Prendiamo due punti distinti A e B del cerchio. O è il centro del cerchio e C è un altro punto del cerchio. Quindi abbiamo

AohB^=2×AVSB^{\ displaystyle {\ widehat {AOB}} = 2 \ volte {\ widehat {ACB}}}

Per l'angolo al centro , bisogna considerare il settore angolare che intercetta l'arco opposto dell'arco contenente C . AohB^{\ displaystyle {\ widehat {AOB}}}

Questa proprietà è utilizzata nei dispositivi di analisi spettrale della dispersione della lunghezza d' onda , è il concetto di cerchio di messa a fuoco o cerchio di Rowland .

Potenza di un punto rispetto a una circonferenza

Se M è un punto e Γ è un cerchio con centro O e raggio R , allora, per ogni linea che passa per M e soddisfare il cerchio in A e B , abbiamo

MA×MB=|ohM2-R2|{\ displaystyle MA \ volte MB = | OM ^ {2} -R ^ {2} |}.

Questo valore non dipende dalla linea scelta, ma solo dalla posizione di M rispetto al cerchio.

Possiamo notare che

• se M è fuori dal cerchio, MA×MB=ohM2-R2{\ displaystyle MA \ volte MB = OM ^ {2} -R ^ {2}} ;
• se M è all'interno del cerchio, ohM2-R2=-MA×MB{\ displaystyle OM ^ {2} -R ^ {2} = - MA \ volte MB} ;questo prodotto corrisponde al prodotto delle misure algebriche MA e MB .

La potenza del punto M rispetto alla circonferenza si chiama allora prodotto delle misure algebriche MA e MB . Questo prodotto è indipendente dalla linea scelta ed è sempre valido . ohM2-R2{\ displaystyle OM ^ {2} -R ^ {2}}

Quando il punto M è esterno al cerchio, è possibile creare tangenti al cerchio. Chiamando T il punto di contatto di una di queste tangenti, secondo il teorema di Pitagora nel triangolo OMT , la potenza di M è MT 2 .

Uguaglianza:

MA×MB=MT2{\ displaystyle MA \ volte MB = MT ^ {2}}

è sufficiente dire che la retta ( MT ) è tangente alla circonferenza.

La potenza di un punto permette di verificare che quattro punti sono cociclici: infatti, se

• A , B , C , D sono quattro punti tali che ( AB ) e ( CD ) si intersecano in M e
• MA × MB = MC × MD (in misure algebriche),

allora i quattro punti sono cociclici.

Rapporto cerchie registrate

Questa sezione può contenere lavori inediti o dichiarazioni non verificate  (30/08/2015) . Puoi aiutare aggiungendo riferimenti o rimuovendo contenuti non pubblicati.

• Raggio e area dei 2 cerchi maggiori inscritti nel cerchio di raggio R e area S  : R'{\ stile di visualizzazione R '}S'{\ stile di visualizzazione S '}R'=R2;2S'=S2{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {2}} \,; \ qquad 2 \, S' = {\ frac {S} {2}}}
• Raggio e area dei 3 cerchi inscritti più grandi: R'{\ stile di visualizzazione R '}S'{\ stile di visualizzazione S '}R'=R1+43;3S'=9S7+23{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {1 + {\ sqrt {\ frac {4} {3}}}}} \,; \ qquad 3 \, S' = {\ frac {9 \, S } {7 + 2 {\ sqrt {3}}}}}
• Raggio e area dei 4 cerchi inscritti più grandi: R'{\ stile di visualizzazione R '}S'{\ stile di visualizzazione S '}R'=R1+2=(2-1)R;4S'=4S3+8{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {1 + {\ sqrt {2}}}} = ({\ sqrt {2}} - 1) \, R \,; \ qquad 4 \, S' = {\ frac {4 \, S} {3 + {\ sqrt {8}}}}}
• Raggio dei 5 cerchi inscritti più grandi: R'{\ stile di visualizzazione R '}R'=R1+2+45{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {1 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {\ frac {4} {5}}}}}}}}}
• Raggio e area dei 7 (o 6) cerchi inscritti più grandi (1 cerchio al centro circondato da 6): R'{\ stile di visualizzazione R '}S'{\ stile di visualizzazione S '} R'=R3;7S'=7S9{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {3}} \,; \ qquad 7 \, S' = {\ frac {7 \, S} {9}}}.

Iscrizione di cerchi, dello stesso raggio, in un cerchio, un triangolo equilatero, un quadrato

Note e riferimenti

1. Vedi la definizione dell'aggettivo tondo sul sito del CNRTL .
2. Pierre de Ronsard , Risposta agli insulti e alle calunnie di non so quali predicatori e ministri di Ginevra ,1563.
3. "  progressi greche: Il cerchio e la sfera  " , sulle gallerie virtuali della Biblioteca Nazionale di Francia .
4. Johannes Kepler , Il mistero cosmografico ,1596.
5. Nell'enciclopedia di Diderot e d'Alembert, ad esempio, il cerchio è "lo spazio racchiuso dalla circonferenza" ( s: L'Encyclopédie / 1re edition / CERCLE ) e il dizionario Robert edition 1993, dà, come terzo significato di la parola cerchio: "per estensione attuale: superficie piana delimitata da un cerchio" .
6. Jean Dieudonné , Algebra lineare e geometria elementare , Paris, Hermann ,1964, ad esempio 2p.96
7. Trovare queste figure di iscrizione di cerchi nella pagina impilamento nel piano .

Vedi anche

• Cerchio generalizzato  (in)
• Libro III degli Elementi di Euclide
• Disco - Sfera - Sfera

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