Nella geometria euclidea , un poligono (dal greco polus , molti, e gônia , angolo ) è una figura geometrica piana formata da una linea spezzata (detta anche linea poligonale ) chiusa, cioè una sequenza ciclica di segmenti consecutivi.
I segmenti sono chiamati bordi o lati e le estremità dei lati sono chiamate vertici o angoli del poligono.
Un poligono si dice incrociato se almeno due lati non consecutivi si intersecano, e semplice se l' intersezione di due lati è vuota o ridotta a un vertice per due lati consecutivi. La somma degli angoli di un poligono semplice ( convesso o meno) dipende solo dal suo numero di vertici.
Nel caso dei poligoni semplici , spesso confondiamo il poligono con il suo interno chiamando superficie del poligono delimitata dalla linea poligonale chiusa.
La nozione di poligono è generalizzata:
Un poligono è composto:
Un poligono è generalmente designato dalla giustapposizione delle lettere che designano i vertici, nell'ordine seguente.
La designazione di un poligono in ogni generalità si scrive quindi A 1 A 2 A 3 ··· A n , composto da n vertici e n segmenti [A 1 , A 2 ], [A 2 , A 3 ],… , [ A n –1 , A n ] e [A n , A 1 ].
Ad ogni vertice distinto dai suoi due vicini è associato un angolo interno : è l' angolo tra i due lati che terminano al vertice.
Il perimetro di un poligono è la somma delle lunghezze dei suoi lati.
L' ordine di un poligono è il numero dei suoi lati. Ovviamente è anche il numero dei suoi vertici o quello dei suoi angoli.
Le linee che portano i lati di un poligono sono chiamate lati estesi di quel poligono.
Una diagonale di un poligono è un segmento che unisce due vertici non consecutivi, ovvero un segmento che unisce due vertici e che non è un lato del poligono.
Un poligono di n lati ha quindi diagonali.
Ci sono molti modi per classificare i poligoni: in base alla loro convessità , alle loro simmetrie , ai loro angoli ... Ma prima li classifichiamo in base al loro numero di lati.
I poligoni possono essere classificati tra loro in base al loro ordine .
I poligoni di ordine 1 e 2 si dicono degeneri: corrispondono rispettivamente ad un punto e ad un segmento , e quindi hanno in particolare area nulla .
Il poligono non degenere più elementare è il triangolo .
Segue il quadrilatero , di ordine 4.
Dall'ordine 5, ogni nome di poligono è formato da una radice greca corrispondente all'ordine del poligono seguita dal suffisso -gone .
Per orientarsi nella denominazione dei poligoni, va ricordato che -kai- significa "e" in greco e che -conta- significa "dieci". Ad esempio, la parola triacontakaiheptagon significa tre ( tria- ) decine ( -conta- ) e ( -kai- ) sette ( -hepta- ) unità, e quindi corrisponde a un poligono di trentasette lati, "e" essendo qui interpretato come "di più ".
Oltre i 12 lati, si usa parlare di un poligono con n lati .
Tuttavia, ci sono diversi nomi antichi per numeri "rotondi" come un poligono con venti lati (icosa-), cento lati (hecto-), mille lati (chilio-) e diecimila lati (myria-).
Denominazioni poligonalid'Alembert, Le Blond, L'Encyclopédie, 1a ed. , t. Volume 12,1751( leggi su Wikisource ) , p. 941-943
L'Enciclopedia dà il principio, al quale va aggiunta la numerazione del greco antico.
Gli stessi principi si applicano ai poliedri , dove è sufficiente sostituire il suffisso -go con il suffisso -èdre .
Un poligono si dice incrociato se almeno due dei suoi lati si intersecano , cioè se almeno due dei suoi lati non consecutivi si intersecano. Questo è il caso del pentagono ABCDE opposto.
Poligono sempliceUn poligono si dice semplice se due lati non consecutivi non si incontrano e due lati consecutivi hanno in comune solo uno dei loro vertici. Un poligono semplice è sempre non incrociato.
Quindi forma una curva di Jordan , che delimita una parte delimitata del piano, chiamata suo interno . L' area di un poligono semplice è chiamata area del suo interno.
Poligono non convessoUn poligono semplice si dice non convesso se il suo interno non è convesso , ovvero se una delle sue diagonali non è interamente al suo interno.
Ad esempio, il singolo pentagono opposto ACDBE è non convesso perché le diagonali [B, C] e [C, E] non sono all'interno del poligono. Il segmento aperto ] B, C [è addirittura completamente esterno. L'esistenza di una tale "bocca" è una proprietà generale dei semplici poligoni non convessi.
poligono convessoUn poligono si dice convesso se è semplice e se il suo interno è convesso . Pertanto, l' esagono MNOPQR opposto è convesso.
Le simmetrie di un poligono di ordine n sono le isometrie del piano euclideo che permutano sia i suoi n vertici che i suoi n bordi. Una tale mappa affine fissa necessariamente l' isobaricentro G dei vertici quindi può essere solo di due tipi:
L'insieme delle simmetrie di qualsiasi figura piana è un sottogruppo del gruppo delle isometrie piane. Infatti, quando componiamo due di queste simmetrie o quando prendiamo la reciproca biiezione di una di esse, il risultato è ancora una simmetria della figura.
Le simmetrie di un poligono di ordine n formano anche un gruppo finito , che è uguale, per qualche divisore d di n :
Un poligono di ordine n si dice regolare se è equilatero (lati uguali) ed equiangolo (angoli uguali), oppure se è “il più simmetrico possibile”, cioè se il suo gruppo di simmetria è D n . Per questo basta che il poligono abbia n assi di simmetria, oppure: una rotazione di ordine n . Quando diciamo “ il poligono regolare di ordine n ”, è il poligono convesso “ unico ” di questa famiglia (possiamo facilmente calcolare il suo perimetro e la sua area ).Si dice che gli altri siano recitati .
Alcuni esempi e controesempiIl gruppo di simmetria è diedro se e solo se il poligono ha un asse di simmetria. Se il poligono non è incrociato , tale asse passa necessariamente per un vertice o per il punto medio di un lato .
Più precisamente :
In un poligono di ordine n , affinché l'isobaricentro sia un centro di simmetria - cioè che il gruppo di simmetria C d o D d contenga la rotazione dell'angolo π - è necessario e sufficiente che d sia pari, quindi n deve essere pari. I lati opposti sono quindi paralleli e della stessa lunghezza.
I quadrilateri non incrociati con simmetria centrale sono i parallelogrammi.
Un poligono si dice equiangolo quando tutti i suoi angoli interni sono uguali. In un poligono convesso equiangolo di n lati, ogni angolo interno misura (1 - 2 / n ) × 180 ° (cfr. § “Somma degli angoli” sotto ).
Qualche esempioUn triangolo rettangolo ha un angolo retto e due angoli acuti .
I quadrilateri convessi con almeno due angoli retti sono i trapezi ad angolo retto e gli aquiloni con due angoli retti (in) (costituiti da due triangoli rettangoli uniti dalla loro ipotenusa).
I quadrilateri con almeno tre angoli retti sono i rettangoli.
Un poligono convesso non può avere più di quattro angoli retti.
Un poligono si dice scrivibile quando tutti i suoi vertici si trovano sullo stesso cerchio , detto cerchio circoscritto al poligono . I suoi lati sono quindi le stringhe di questo cerchio .
Tra i quadrilateri scrivibili ci sono i trapezi isosceli , gli antiparallelogrammi e gli aquiloni ad angolo retto .
Poligono circoscritto (con un cerchio)Un poligono si dice circoscritto quando tutti i suoi lati sono tangenti allo stesso cerchio, detto cerchio inscritto nel poligono . Anglofoni e germanofoni hanno battezzato questo tipo di poligono "poligono tangente".
Esempi di circoscrivere quadrilateriUn poligono che è sia inscrivibile che circoscrivibile si dice bicentrico (in) . Triangoli e poligoni regolari sono bicentrici.
Vedi anche: " Grande teorema di Poncelet " e " Quadrilatero bicentrico (in) ".
La somma degli angoli interni di un poligono semplice di ordine n non dipende dalla sua forma. Vale (in radianti e in gradi ):
Infatti questa formula, ben nota per n = 3 , si generalizza dividendo il poligono in n -2 triangoli contigui a due a due per un lato comune, che è una diagonale di questo poligono (nel caso particolare di un poligono convesso, si basti considerare tutti i segmenti che congiungono un certo vertice a tutti gli altri).
Un altro modo per dimostrare questa formula è notare che (per angoli opportunamente orientati ) la somma degli n angoli esterni è pari a 360° e gli angoli esterni ed interni associati allo stesso vertice hanno la somma di 180° .
Due poligoni si dicono equivalenti se possono essere ottenuti per rotazione o riflessione l'uno dall'altro.
Così per ci sono poligoni non equivalenti (seguito A000940 della OEIS ).
Tra questi alcuni sono chirali ( poligoni chirali per i lati). Il numero di poligoni non equivalenti per rotazione è solo quindi la pena (seguito A000939 del OEIS ).