Arc coseno

Funzione dell'arco coseno Rappresentazione grafica (in un sistema di coordinate non standard ).

Valutazione	${\ displaystyle \ arccos (x)}$
Reciproco	$\ cos (x)$ su [0; π]
Derivato	${\ displaystyle {\ frac {-1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$
Primitivi	${\ displaystyle x \, \ arccos (x) - {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}$

Caratteristiche principali

Set di definizione	[−1; 1]
Set di immagini	[0; π]

In matematica , l' arcocoseno di un numero reale compreso in senso lato tra −1 e 1 è l'unica misura dell'angolo il cui coseno è uguale a questo numero, tra l' angolo zero e l' angolo piatto .

La funzione che associa a qualsiasi numero reale compreso in senso lato tra −1 e 1 il valore del suo arcocoseno in radianti è annotata arccos (Arccos o Acos in notazione francese, e cos −1 , a volte acos o acs, in notazione inglese . Sassone).

È quindi il reciproco della funzione coseno trigonometrica sull'intervallo [0, π ] quindi, in un sistema di coordinate cartesiane ortonormale al piano, la curva rappresentativa dell'arcocoseno è ottenuta dalla curva della restrizione del .coseno per asse simmetria la retta di equazione y = x .

Definizione

La funzione è definita come la funzione reciproca di on , cioè è l'unica funzione tale che: ${\ displaystyle \ arccos: [- 1,1] \ rightarrow [0, \ pi]}$ $\ cos$ $[0, \ pi]$

∀X∈[0,π],arccos⁡(cos⁡(X))=X.{\ displaystyle \ forall x \ in [0, \ pi], \ arccos (\ cos (x)) = x.} ${\ displaystyle \ forall x \ in [0, \ pi], \ arccos (\ cos (x)) = x.}$

Proprietà

Relazioni trigonometriche

Nessuna parità

A differenza delle funzioni Arco seno e Arco tangente , la funzione non ammette alcuna parità. Tuttavia, ha la seguente proprietà: $\ arccos$

∀X∈[-1,1],arccos⁡(-X)=π-arccos⁡(X).{\ displaystyle \ forall x \ in [-1,1], \ arccos (-x) = \ pi - \ arccos (x).}

{\ displaystyle \ forall x \ in [-1,1], \ arccos (-x) = \ pi - \ arccos (x).}

Relazione con il seno

È sufficiente utilizzare la relazione con per ottenere la seguente relazione: ${\ displaystyle \ cos (X) ^ {2} + \ sin (X) ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle X = \ arccos (x)}$

peccato⁡(arccos⁡(X))=1-X2.{\ displaystyle \ sin (\ arccos (x)) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}.}

{\ displaystyle \ sin (\ arccos (x)) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}.}

"Inversione" di formule trigonometriche

Partendo da una qualunque formula trigonometrica, possiamo "invertirla", ottenendo una relazione tra valori di funzioni reciproche, ma che molto spesso sarà valida solo ad intervalli ristretti. Ad esempio, da allora , avremo , ma solo per ${\ displaystyle \ cos 2x = 2 \ cos ^ {2} x-1}$ ${\ displaystyle \ arccos (2X ^ {2} -1) = 2 \ arccos X}$ ${\ displaystyle X \ in [0,1].}$

Derivato

In quanto derivata di una funzione reciproca , è derivabile e soddisfa $\ arccos$ $] -1,1 [$

{\ displaystyle \ arccos '(x) = {\ frac {-1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}.}

Questa formula si ottiene grazie al teorema sulla derivata di una funzione reciproca.

Forma integrale indefinita

Questa funzione può essere scritta sotto forma di integrale indefinito:

{\ displaystyle \ arccos (x) = \ int _ {1} ^ {x} - {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} t.}

Primitivi

Le primitive della funzione arccos sono ottenute per integrazione per parti :

{\ displaystyle \ int \ arccos (x) ~ \ mathrm {d} x = x \, \ arccos (x) - {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C.}

Relazione tra arcocoseno e arcoseno

{\ displaystyle \ arccos x + \ arcsin x = {\ frac {\ pi} {2}}}

In effeti, $π / 2$ - $arccos x$ è tra - $π / 2$ e $π / 2$ e il suo seno è uguale al coseno di $arccos x$ cioè $ax$ , quindi $π / 2$ - $archi x$ = $arcsin x$ .