Gruppo topologico

In matematica , un gruppo topologico è un gruppo dotato di una topologia compatibile con la struttura del gruppo, vale a dire tale che la legge di composizione interna del gruppo e il passaggio al contrario sono due applicazioni continue .

Lo studio dei gruppi topologici mescola quindi ragionamento di algebra e topologia. La struttura del gruppo topologico è una nozione essenziale nella topologia algebrica .

Definizione e proprietà caratteristica

Definizione : un gruppo topologico è un gruppo con una topologia per la quale le applicazioni $(G, \ stella)$

G ^ 2 \ to G, (x, y) \ mapsto x \ star y \ quad {\ rm e} \ quad G \ to G, x \ mapsto x ^ {- 1}

sono continui (il quadrato cartesiano $G 2$ essendo fornito con la topologia del prodotto ).

I due assiomi della definizione possono essere sostituiti da uno:

Teorema - Un gruppo con una topologia è un gruppo topologico se e solo se l'applicazione $(G, \ stella)$

Da G ^ 2 \ a G, (x, y) \ mapsto x \ star y ^ {- 1}

è continuo.

Un morfismo di gruppo topologico è un morfismo di gruppo continuo.

Misura di Haar

Su ogni gruppo topologico localmente compatto , esiste una e una sola misura di Borel non zero quasi regolare (fino a un coefficiente moltiplicatore) invariante per le traslazioni a sinistra ( x ↦ y ∗ x ): la misura di Haar .

Esempi di base

Teorema - Qualsiasi sottogruppo di (ℝ, +) è denso o della forma a ℤ , per un unico a ≥ 0.

Il cerchio S 1 , che può essere considerato come il gruppo moltiplicativo di numeri complessi di modulo 1 o come il gruppo di rotazioni con centro fissato in un piano euclideo . Qualsiasi sottogruppo di S 1 è finito o denso.

Un gruppo discreto (gruppo fornito con la topologia discreta ).

Qualsiasi gruppo di prodotti (fornito con la topologia del prodotto ) di una famiglia di gruppi topologici. Ad esempio ( lo spazio di Cantor , dotato della sua struttura naturale per gruppi di prodotti). $(\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) ^ {\ mathbb {N}}$

Alcune proprietà generali

In un gruppo topologico, le traduzioni $x \ longmapsto a \ star x \ quad {\ mathrm {e}} \ quad x \ longmapsto x \ star a$ sono omeomorfismi.
La topologia è determinata dai dati delle vicinanze dell'elemento neutro e .
Un gruppo topologico G viene separato se e solo se il singoletto { e } viene chiuso in G . Inoltre, G è separato se e solo se l'intersezione dei dintorni di e è ridotta a { e }.

Dimostrazione

Se G è separato allora è a fortiori uno spazio T1 , vale a dire che ogni singoletto è chiuso in G o, che è equivalente, che l'intersezione degli intorno di qualsiasi punto è ridotta a questo punto. Inoltre, poiché le traduzioni sono omeomorfismi, si può sostituire, in queste due condizioni, “per qualsiasi punto” con “per il punto e ”.
Viceversa, se { e } è chiuso allora G è separato poiché la diagonale di G × G è chiusa , come immagine reciproca di { e } dalla mappa continua che a tutti ( x , y ) associa x . y −1 .

Se $U$ è aperta e $A$ qualsiasi parte, allora $U * A$ è aperta (poiché è scritta ) e allo stesso modo $A$ $*$ $U$ è aperta. $\ cup_ {a \ in A} U \ star a$
Qualsiasi gruppo quoziente G / H di un gruppo topologico G da un normale sottogruppo H è ancora un gruppo topologico, quando G / H è dotato della topologia quoziente . Inoltre, G / H è separato se e solo se H è chiuso.
Un gruppo topologico è naturalmente provvisto di due strutture uniformi (a destra ea sinistra) che ne inducono la topologia, e che coincidono se il gruppo è commutativo. Un gruppo topologico separato è quindi completamente regolare . Qualsiasi morfismo di gruppi topologici è uniformemente continuo per le strutture uniformi associate a destra (risp. Sinistra).
Teorema Birkhoff - Kakutani : tutti i gruppi topologici separati con base numerabile di intorni sono metrizzabili da una distanza invariante sotto le traslazioni di sinistra. Più in generale, qualsiasi gruppo topologico (non necessariamente separato) con basi numerabili di intorni può essere pseudometrizzato da un invariante pseudometrico per traslazioni a sinistra.

Gruppi lineari

D'ora in poi ometteremo il segno $*$ .

Una classe importante di gruppi topologici è costituita dai sottogruppi del gruppo lineare $GL ( n , K )$ , con K = ℝ o ℂ. Sono provvisti della topologia indotta da quella di $End ( K n )$ .

Questi esempi sono esempi fondamentali di gruppi di Lie reali o complessi. Hanno in comune la seguente proprietà: esiste un open contenente l'elemento neutro e non contenente alcun sottogruppo non banale.

Topologia P-adica

If è un gruppo abeliano e if è una sequenza di sottogruppi di tale che: $(G, +)$ $(G_ {n})$ $G$

G = G_ {0} \ supset G_ {1} \ supset G_ {2} \ supset \ ldots \ supset G_ {n} \ supset \ ldots

quindi la sequenza induce una topologia in cui gli intorni di sono le parti che contengono uno degli insiemi . $(G_ {n})$ $G$ $X$ $G$ $x + G_ {n}$

Se inoltre l'intersezione di è ridotta a dove 0 è l'elemento neutro di , il gruppo viene separato. $G_ {n}$ $\ {0 \}$ $G$

Un caso particolare di un gruppo topologico di questa forma è il gruppo dotato di topologia p-adica : se è un intero naturale, la sequenza è definita (in notazione additiva ) da . $p$ $(G_ {n})$ $G_ {n} = p ^ {n} G$

Distanza indotta

Possiamo definire una distanza sul dotato della topologia indotta da se l'intersezione delle è infatti riduce a : $(G, +)$ $(G_ {n})$ $G_ {n}$ $\ {0 \}$

d (x, y) = {\ frac 1 {2 ^ {k}}}

dove è il primo numero intero tale che e $K$ $xy \ notin G_ {k}$

d (x, y) = 0 ~

se per tutti , appartiene a .

K

xy

G_k

Completato

Se è un gruppo abeliano separato con la topologia determinata dalla seguente , possiamo definire nelle sequenze Cauchy . Una successione è Cauchy se e solo se, per ogni intorno di 0, esiste un intero tale che $(G, +)$ $(G_ {n})$ $G$ $(x_ {n})$ $V$ $non$

\ forall m \ geq n, \ x_ {m} -x_ {n} \ in V.

Su questo insieme di note sequenze di Cauchy possiamo definire una relazione di equivalenza : $S_ {C} (G)$

(x_ {n}) R (y_ {n}) \ Longleftrightarrow \ lim (x_ {n} -y_ {n}) = 0.

Il gruppo quoziente è quindi uno spazio completo . Il gruppo è quindi isomorfo a un sottogruppo denso di . $S_ {C} (G)$ $G$ $S_ {C} (G)$

L'esempio più importante di una tale costruzione è quello dei numeri p-adici : facciamo questa costruzione dalla e dalla moltiplicazione per un numero primo . $\ mathbb {Z}$ $p$

Questa costruzione del complemento è generalizzata, nel quadro uniforme , a qualsiasi gruppo topologico abeliano separato.

Note e riferimenti

Per una dimostrazione, vedi ad esempio questo esercizio corretto dalla lezione di topologia su Wikiversità .
Per una dimostrazione, vedi ad esempio il seguente esercizio corretto della lezione di topologia su Wikiversità .
N. Bourbaki , Elementi di matematica, libro III: Topologia generale [ dettaglio delle edizioni ], p. 19-21 .
(in) Garrett Birkhoff , " A Note on Topological Groups " , Compositio Mathematica , vol. 3,1936, p. 427-430 ( leggi in linea ).
(de) Shizuo Kakutani , " Über die Metrisation der topologischen Gruppen " , Proc. Imp. Acad. , vol. 12, n o 4,1936, p. 82-84 ( leggi in linea ).
(in) Terence Tao , " The Birkhoff-Kakutani theorem " nel 2011.
(a) Lawrence Narici e Edward Beckenstein, Topological Vector Spaces , CRC Press ,2010, 2 ° ed. ( leggi in linea ) , p. 38.
Bourbaki , p. 26.

Vedi anche

Bibliografia

Rached Mneimné e Frédéric Testard, Introduzione alla teoria dei gruppi di Lie classici [ dettaglio delle edizioni ]
Jacques Lafontaine, Introduzione alle varietà differenziali [ dettaglio delle edizioni ], cap. 4
Roger Godement , Introduzione alla teoria dei gruppi di bugia , Springer, 2004 ( ISBN 978-3-540-20034-5 ) , cap. 1 e 2