La formula di Leibniz

In matematica , diverse identità portano il nome della formula di Leibniz , dal nome del matematico Gottfried Wilhelm Leibniz :

in analisi reale :
- La formula di Leibniz è la formula che fornisce le derivate successive di un prodotto di funzioni reali di una variabile reale o, in un quadro più generale, il differenziale del prodotto di due funzioni differenziabili con valori in un'algebra di norma ,
- può anche denotare la formula per derivare integrali con parametri (o integrali parametrici );
per estensione, la formula di Leibniz, chiamata anche identità di Leibniz , designa un'identità che definisce la nozione di derivazione , ovvero: $d ( ab ) = (d a ) b + a (d b )$ ;
in algebra lineare , la formula di Leibniz fornisce una definizione del determinante di una matrice come somma alternata sui suoi “serpenti”;
infine, la formula di Leibniz designa anche la somma delle serie alternate di inversi di interi dispari.

Derivato da un prodotto

Sia $n$ un numero intero positivo . Il prodotto di due funzioni di una variabile reale $f$ e $g$ definita e differenziabile fino all'ordine $n$ su un intervallo è differenziabile fino all'ordine $n$ . La formula di Leibniz fornisce la sua derivata di ordine $n$ data da:

(fg) ^ {{(n)}} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {\ binom nk} \ f ^ {{{(k)}} \ g ^ {{(nk) }}

dove gli interi sono i coefficienti binomiali , e dove siamo d'accordo che la "derivata zero" di $f$ , indicata con $f$ $(0)$ , è la funzione $f$ stessa. ${\ tbinom nk}$

Questa formula è dimostrata per induzione sull'intero $n$ . La dimostrazione è paragonabile a quella della formula binomiale di Newton . Quest'ultimo può inoltre essere dedotto da esso.

Una dimostrazione è offerta nell'articolo dettagliato " Regola prodotto ".

Serie alternativa

La "Quadratura aritmetica" per π, trovata da Leibniz nel 1674, è un esempio di una serie alternata :

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} - \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} { 2n + 1}}.}

Corrisponde all'espansione in serie di Taylor della funzione arctan , valutata al punto 1.

Fu scoperto in Occidente nel XVII secolo , ma compare già in Madhava , un matematico indiano della provincia del Kerala , intorno al 1400. Lo usa per calcolare un'approssimazione di $π$ . La teoria più comune è che i lavori matematici indiani di questo periodo saranno resi noti in Occidente alla fine del XIX ° secolo, durante la colonizzazione dell'India dalla Gran Bretagna .

Determinante di una matrice quadrata

Il determinante di una matrice quadrata di ordine $n$ è il numero: $A = (a _ {{ij}})$

{\ Displaystyle \ det (A): = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ varepsilon (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, \ sigma (i) }}

dove $S n$ è il gruppo di permutazioni di ${1, 2,\dots, n }$ e per una permutazione σ di $S n$ , ε (σ) denota la sua firma , uguale a 1 se la permutazione è pari e –1 altrimenti.

Note e riferimenti

Lettera di Christian Huygens a Leibniz del 7 novembre 1674 ( leggi online ) .
(La) Leibniz, "De vera proporzionione circuli ad quadratum circumscriptum in numeris razionalibus expressa", Acta Eruditorum , febbraio 1682.
Leibniz, "Lettera a M. de La Roque, direttore del Journal des sçavans ", 1678, Leibnizens matematica Schriften , vol. 5, p. 88-92 .
Marc Parmentier, La nascita del calcolo differenziale , Vrin , 1989, p. 61-81 .
(in) L. Berggren, J. Borwein e P. Borwein , P, A Source Book , Springer , 1997 "Madhava, the power series for arctan and ft (~ 1400)," p. 45-50 .