Formula dietetica

In matematica , la formula di Viète è il prodotto infinito che segue i radicali nidificati che rappresentano il numero $π$ :

{\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \; {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} { 2}} \; {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} {2}} \ cdots}

Prende il nome da François Viète , che lo pubblicò nel 1593 nel suo Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII .

Senso

Nel momento in cui Viète pubblicò la sua formula, i metodi di approssimazione di $π$ erano noti da molto tempo. Il metodo di Viète può essere interpretato come una variazione di un'idea di Archimede di approssimare il perimetro di un cerchio a quello di un poligono, utilizzato da Archimede per trovare l'approssimazione

{\ displaystyle {\ frac {223} {71}} <\ pi <{\ frac {22} {7}}}

Tuttavia, nella pubblicazione del suo metodo come una formula matematica, Viète formulato la prima occorrenza nota di un prodotto infinito in matematica, e il primo esempio di una formula esplicita per il valore esatto di $π$ . Essendo la prima formula che rappresenta un numero risultante da un processo infinito piuttosto che da un calcolo finito, la formula di Viète è stata considerata come l'inizio dell'analisi matematica e, più in generale, come "l'alba della matematica moderna". .

Usando la sua formula, Viète calcolò $π$ con una precisione di nove decimali. Tuttavia, questo non era il più approssimazione precisa $π$ noto al momento. Infatti, il matematico persiano Al-Kashi aveva calcolato $π$ con una precisione di nove cifre sessagesimali , o 16 cifre decimali, nel 1424. Poco dopo la pubblicazione della formula da parte di Viète, Ludolph van Ceulen utilizzò un metodo simile per calcolare 35 cifre decimali di $π$ , che furono pubblicati solo dopo la morte di van Ceulen nel 1610.

Interpretazione e convergenza

La formula di Viète può essere riscritta e intesa come l'espressione di un limite

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ prod _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {a_ {i}} {2}} = {\ frac {2} {\ pi}} }

dove , con . Il concetto di limite e le prove rigorose di convergenza sono state sviluppate in matematica molto tempo dopo il lavoro di Viète; la prima prova dell'esistenza di questo limite fu data nel 1891 da Ferdinando Rudio (in) . ${\ displaystyle a_ {n + 1} = {\ sqrt {2 + a_ {n}}}}$ ${\ displaystyle a_ {1} = {\ sqrt {2}}}$

La velocità di convergenza di una successione determina il numero di termini dell'espressione necessari per raggiungere un dato numero di cifre decimali. Nel caso della formula di Viète esiste una relazione lineare tra il numero di termini e il numero di decimali: il prodotto dei primi $n$ fattori dà un'espressione di $π$ precisa a circa $0,6 n$ decimali. Questo grafico confronta i tassi di convergenza di diversi metodi e mostra la supremazia del prodotto di Wallis , un prodotto infinito successivo per calcolare $π$ . Anche se Viète stesso ha usato solo la sua formula per calcolare 9 cifre decimali di $π$ , una versione modificata della sua formula è stata utilizzata per centinaia di migliaia di Calcolare cifre decimali di $π$ .

Formule simili

La formula di Viète può essere ottenuta come caso speciale di una formula data più di un secolo dopo da Leonhard Euler . Eulero lo scoprì

{\ displaystyle {\ frac {\ sin x} {x}} = \ cos {\ frac {x} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {x} {4}} \ cdot \ cos {\ frac { x} {8}} \ cdots}

Impostando $x = π / 2$ poi calcolando ogni fattore del prodotto si ottiene la formula di Viète.

Possiamo anche derivare la formula di Viète dalla seguente formula per $π$ , che implica sempre radici quadrate annidate di 2, ma usa solo una moltiplicazione:

{\ displaystyle \ pi = \ lim _ {k \ a \ infty} 2 ^ {k} \ underbrace {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2+ \ cdots + {\ sqrt {2}}}}}}}}}}}} _ {k \ \ mathrm {simboli} \ \ mathrm {radice}}}

Oggigiorno, molti Viète simile formule che coinvolgono radicale doppio o prodotto infinito di funzioni trigonometriche sono noti per $π$ , nonché per altre costanti come il rapporto aureo .

Dimostrazione

Viète ottenne la sua formula confrontando le aree dei poligoni regolari con $2 n$ e $2 n + 1$ lati inscritti in un cerchio. Il primo termine del prodotto,, è il rapporto tra le aree di un quadrato e un ottagono , il secondo termine è il rapporto tra le aree di un ottagono e un esadecagono , ecc. Pertanto, il prodotto si telescopio per dare il rapporto tra le aree di un quadrato e un cerchio. I fattori prodotto possono essere interpretati anche come i rapporti dei perimetri della stessa serie di poligoni, partendo dal rapporto dei perimetri di un digono (il diametro del cerchio, contato due volte) e di un quadrato, il rapporto dei perimetri di un quadrato e un ottagono, ecc. ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}$

Un'altra dimostrazione è possibile utilizzando, come spiegato sopra, la formula di Eulero.

Riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " La formula di Viète " ( vedi elenco degli autori ) .

Seconda metà di p. 30 : anteprima su Google Libri .
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Per una dimostrazione, vedi ad esempio questo esercizio corretto su Wikiversità .
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