In matematica , più precisamente in algebra lineare , uno spazio vettoriale è un insieme di oggetti, chiamati vettori , che possiamo sommare e che possiamo moltiplicare per uno scalare (per allungarli o rimpicciolirli, ruotarli, ecc.). In altre parole, è un set dotato di una struttura che consente di eseguire combinazioni lineari . Gli scalari sono generalmente numeri reali o complessi o presi da qualsiasi campo .
Dato un campo K , uno spazio vettoriale E su K è un gruppo commutativo (la cui legge è indicata con +) dotato di un'azione “compatibile” di K (ai sensi della definizione che segue).
Sia K un campo commutativo, come il campo commutativo ℚ dei razionali , quello, ℝ, dei reali o quello, ℂ, dei complessi (parleremo in questi casi di spazio vettoriale razionale, reale o complesso).
Uno spazio vettoriale su K , o K-spazio vettoriale , è un insieme E , i cui elementi sono chiamati vettori (o - più raramente - punti) provvisti di due leggi:
in modo tale che le seguenti proprietà siano verificate.
1. ( E , +) è un gruppo abeliano , in altre parole:u + v | = | v + u | u + ( v + w ) | = | ( u + v ) + w |
0 E + v | = | v | u + (- u ) | = | 0 E |
λ • ( u + v ) | = | (λ • u ) + (λ • v ) | (λ + µ) • u | = | (λ • u ) + (µ • u ) |
(λμ) • u | = | λ • (µ • u ) | 1 • u | = | u |
Questi assiomi implicano che E è non vuoto e per ogni vettore u di E e qualsiasi λ scalare:
λ • u = 0 E | ⇔ | (λ = 0 K oppure u = 0 E ) | (–Λ) • u = - (λ • u ) = λ • (- u ) |
I vettori (elementi di E ) erano qui scritti con lettere in corsivo latino, ma alcuni autori li annotano in grassetto o li sormontano con una freccia.
Di seguito sono riportati alcuni esempi di spazi vettoriali utilizzati, tra le altre cose, nell'analisi o nella geometria:
La definizione di cui sopra è che su vettoriale spazi lasciati su K . Gli spazi vettoriali destra su K sono spazi vettoriali lasciati il il corpo opposto a K . Se il campo K è commutativo, le nozioni di spazi vettoriali a sinistra ea destra coincidono, e possiamo quindi notare a sinistra oa destra (a piacere) la moltiplicazione per uno scalare.
Le nozioni della teoria degli spazi vettoriali che sono valide, con le usuali definizioni, solo quando il campo è commutativo sono in particolare quelle relative alla multilinearità ( determinante , traccia , prodotti tensoriali , algebra esterna , algebra su un campo commutativo) o al polinomio funzioni . Anche se non si utilizzano queste nozioni, è necessario prestare attenzione a vari dettagli quando si presume che il campo base non sia commutativo. Ad esempio, le dilatazioni esistono (come mappe lineari ) solo se il fattore scalare è centrale nel campo, e la moltiplicazione scalare deve essere scritta sul lato opposto delle mappe lineari (quindi con lo scalare a destra se le mappe lineari sono annotate a sinistra dei loro argomenti).
Le due operazioni su uno spazio vettoriale permettono di definire combinazioni lineari , cioè somme finite di vettori influenzati da coefficienti (scalari). La combinazione lineare di una famiglia ( v i ) i ∈ I di vettori aventi per coefficienti ( λ i ) i ∈ I è il vettore ∑ i ∈ I λ i v i . Quando l'insieme di indicizzazione I è infinito , è necessario assumere che la famiglia ( λ i ) i ∈ I abbia supporto finito , cioè che vi sia un solo insieme finito di indici i per cui λ i è diverso da zero.
Un sottospazio del vettore E è una porzione non vuota F di E combinazioni lineari stabili. Dotato delle leggi indotte, F è quindi uno spazio vettoriale. L' intersezione di una famiglia non vuota (finita o infinita) di sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale ma l' unione , anche finita , non lo è in generale.
Una famiglia ( v i ) i ∈ I di vettori di E si dice libera (su K ) oppure si dice che i vettori di questa famiglia sono linearmente indipendenti , se l'unica combinazione lineare di v i uguale al vettore zero è quella di cui tutti i coefficienti sono zero. Altrimenti, si dice che la famiglia sia collegata e che v i sia linearmente dipendente.
Una famiglia composta da un unico vettore è libera se e solo se questo vettore è diverso da zero. Una coppia di vettori è collegata se e solo se i due vettori sono collineari . Se ( u , v ) è una coppia di vettori linearmente indipendenti, allora ( u , v ), ( u + v , v ) e ( u , u + v ) sono anche coppie di vettori non collineari, ma la famiglia ( u , v , u + v ) è sempre collegato.
Il sottospazio vettoriale generato da una famiglia ( v i ) i ∈ I di vettori, indicato con Vect (( v i ) i ∈ I ), è il sottospazio più piccolo (nel senso di inclusione) contenente tutti i vettori di questa famiglia. Allo stesso modo, è l'insieme delle combinazioni lineari dei vettori v i . La famiglia genera E , o è anche un generatore , se il sottospazio che genera è interamente E.
Una famiglia B vettore E è una base di di E se è libero e generatore o, il che è equivalente, se ogni vettore E è espresso unicamente come combinazione lineare degli elementi B . L'esistenza di una base per ogni K- spazio vettoriale E è dedotta dal teorema della base incompleta .
Dato un vettore di spazio e su un campo K , tutte le basi che hanno la stessa cardinalità , chiamato dimensione E .
Due spazi vettoriali su K sono isomorfi (cioè collegati da un isomorfismo ) se e solo se sono della stessa dimensione.
Lasciare E e F due spazi vettoriali nello stesso corpo K . Una mappa f da E a F si dice lineare se è additiva e commuta alla moltiplicazione per gli scalari: In altre parole, f preserva le combinazioni lineari .
L'insieme delle mappe lineari da E a F è spesso indicato con L ( E , F ). Se K è commutativo, L ( E , F ) è un sottospazio lineare dello spazio delle funzioni di E a F . Qualsiasi composto di mappe lineari è lineare. L'insieme L ( E , E ) degli endomorfismi di E è indicato con L ( E ). Un isomorfismo di spazi vettoriali è un biettivo lineare . Un automorfismo è un endomorfismo biettivo. L'insieme degli automorfismi di E è il gruppo lineare GL ( E ).
Per qualsiasi mappa lineare f da E a F ,
Il grafico di f è un sottospazio vettoriale di E × F , la cui intersezione con E × {0} è Ker ( f ) × {0}.
Una forma lineare su un K spazio-vettore E è una mappatura lineare di E in K . Se K è commutativo, le forme lineari su E formano uno spazio K- vettore chiamato spazio duale di E e indicato con E *. I nuclei di nonzero forme lineari su E sono le iperpiani di E .
La somma F + G di due sottospazi vettoriali F e G , definita da coincide con lo spazio sub-vettore attraversato da F ⋃ G . Questa costruzione generalizza a qualsiasi famiglia (non vuota) di sottospazi vettoriali.
La formula Grassmann collega le dimensioni F e G come quelle della loro somma e della loro intersezione:
I due sottospazi F e G di E sono detti " in somma diretta " quando la decomposizione di un qualsiasi vettore della loro somma F + G in una somma di due vettori, uno appartenente a F e l'altro a G , è unica (è basta per questo che la scomposizione di 0 E sia unica, vale a dire che F ∩ G = {0 E }). Questa definizione generalizza alla somma di una famiglia arbitraria (non vuota) ( F i ) i ∈ I di sottospazi. Se questa somma è diretta allora la F i ha zero intersezione due per due ma il contrario è falso.
Una somma F + G , quando è diretta, è denotato F ⊕ G . Sottospazi F e G sono chiamati addizionale (tra loro) in E se sono in somma diretta ed inoltre, questa somma è pari a E . Il teorema di base incompleta garantisce che ogni sottospazio vettoriale ne abbia almeno uno aggiuntivo.
Sia una famiglia ( E i ) i ∈ I di K -spazi vettoriali. Il prodotto cartesiano ∏ i ∈ I E i eredita naturalmente da una struttura di K- spazio vettoriale , chiamata spazio vettoriale del prodotto .
Le famiglie a sostegno finito formano un sottospazio vettoriale di ∏ i ∈ I E i , chiamato somma diretta degli spazi E i e indicato con ⊕ i ∈ I E i .
Quando tutti gli E i sono uguali a K , questo prodotto e questa somma sono rispettivamente denotati K I (lo spazio delle funzioni da I in K ) e K ( I ) (il sottospazio delle funzioni a supporto finito, la cui dimensione è uguale alla cardinalità di I ). Per I = N , costruiamo quindi lo spazio K N delle sequenze in K e il sottospazio K ( N ) delle sequenze a supporto finito.
Lasciate che F sia un sottospazio vettore di E . Lo spazio quoziente E / F (cioè l'insieme delle classi di equivalenza di E per la relazione " u ~ v se e solo se u - v appartiene a F ", fornito con le operazioni definite naturalmente sulla classe) è uno spazio vettoriale tale che la proiezione E → E / F (che associa u sua classe di equivalenza) è il nucleo lineare F .
Tutti i sottospazi supplementari di F in E sono isomorfi a E / F . La loro dimensione comune, una volta terminato, è chiamata la codimensione di F in E .
Sia E uno spazio vettoriale generato da un numero finito m di elementi.
La nozione di spazio vettoriale nasce concettualmente dalla geometria affine con l'introduzione di coordinate in un sistema di riferimento nel piano o nello spazio abituale. Intorno al 1636, Descartes e Fermat diedero le basi della geometria analitica associando la risoluzione di un'equazione con due incognite alla determinazione grafica di una curva del piano.
Per ottenere una risoluzione geometrica senza utilizzare la nozione di coordinate, Bolzano introduce nel 1804 operazioni su punti, rette e piani, che sono i precursori dei vettori. Questo lavoro trova un'eco nella concezione delle coordinate baricentriche di Möbius nel 1827. La fase fondante della definizione dei vettori fu la definizione da parte di Bellavitis del bipoint, che è un segmento orientato (un'estremità è un'origine e l'altra una meta. ). La relazione di equipollenza, che rende equivalenti due bipoint quando determinano un parallelogramma, completa così la definizione dei vettori.
La nozione di vettore viene ripresa con la presentazione dei numeri complessi da Argand e Hamilton , poi quella dei quaternioni da parte di quest'ultimo, come elementi dei rispettivi spazi ℝ 2 e ℝ 4 . Il trattamento per combinazione lineare si trova nei sistemi di equazioni lineari , definiti da Laguerre già nel 1867.
Nel 1857, Cayley introdusse la notazione a matrice , che armonizzava le notazioni e semplificava la scrittura di mappature lineari tra spazi vettoriali. Ha anche abbozzato le operazioni su questi oggetti.
Più o meno nello stesso periodo, Grassmann riprese il calcolo baricentrico avviato da Möbius considerando insiemi di oggetti astratti dotati di operazioni. Il suo lavoro è andato oltre la struttura degli spazi vettoriali perché, definendo anche la moltiplicazione, è arrivato alla nozione di algebra . Tuttavia, vi troviamo i concetti di dimensione e indipendenza lineare , così come il prodotto scalare apparso nel 1844. Il primato di queste scoperte è contestato a Cauchy con la pubblicazione di Sur les clefs algebrique nei Comptes Rendus .
Peano , un contributo significativo è stato rigoroso assiomatizzazione esistente concetti - compresa la costruzione di set convenzionali - è stato uno dei primi a dare una definizione contemporanea del concetto di spazio vettoriale alla fine del XIX ° secolo.
Un importante sviluppo di questo concetto è dovuto alla costruzione di spazi funzioni da Lebesgue , la costruzione è stata formalizzata nel corso del XX ° secolo da Hilbert e Banach , nella sua tesi di dottorato nel 1920.
Fu in questo momento che l'interazione tra la nascente analisi funzionale e l' algebra si fece sentire, in particolare con l'introduzione di concetti chiave come spazi di funzioni p- integrabili o anche spazi di Hilbert . Fu in questo periodo che apparvero i primi studi sugli spazi vettoriali a dimensione infinita.
Senza avere una definizione di spazi vettoriali, un approccio possibile geometria piana si basa sullo studio di un piano affine Desargues P . Comprende punti e rette, con una relazione di appartenenza chiamata incidenza, le cui proprietà danno significato all'allineamento dei punti e al parallelismo delle rette. Chiamiamo homothety-traduzione qualsiasi trasformazione di P che preserva l'allineamento e invia qualsiasi linea su una linea parallela. A parte l'identità (considerata sia come omotetia che come traduzione), una tale trasformazione fissa al massimo un punto; si chiama omotetia se fissa un punto O, che è allora il suo centro; altrimenti si chiama traduzione . L'insieme delle omotee a centri fissi O forma un gruppo abeliano alla legge di composizione, indipendente dall'isomorfismo O vicino , indicato con K *. È possibile aggiungere un elemento 0 a formare un corpo K , la legge aggiunta è ulteriormente definita da P . Ogni scalare diverso da zero corrisponde a una omotetia unica con centro O, e diciamo che è il suo rapporto. L'insieme delle traduzioni di P forma uno spazio K- vettoriale, le cui leggi sono le seguenti:
Il vettore nullo è l'identità. L'opposto di un vettore rappresentato da una traslazione t è il vettore definito da t −1 .
Tutto questo generalizza a spazi di incidenza affini (o sintetici) di dimensioni (finite o infinite) maggiori o uguali a 3 (sono quindi di Desargues). Ma in questo caso, se il numero degli elementi delle rette è uguale a 2, la relazione di parallelismo tra le rette deve essere inclusa nella definizione degli spazi affini. Quindi esiste intrinsecamente uno spazio vettoriale "sottostante" a qualsiasi piano di Desargues affine e ogni spazio di incidenza affine.
Queste considerazioni rendono possibile il collegamento tra un moderno approccio alla geometria basato sull'algebra lineare e un approccio assiomatico.
(en) John J. O'Connor e Edmund F. Robertson , "Spazi lineari astratti" , in MacTutor History of Mathematics archive , University of St Andrews ( leggi online ).