Corpo sinistro

In matematica , un campo sinistro o un anello di divisione (a volte chiamato semplicemente un campo , vedi sotto) è una delle strutture algebriche utilizzate in algebra generale . È un insieme dotato di due operazioni binarie che rendono possibili alcuni tipi di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Più precisamente, un campo a sinistra è un anello in cui l'insieme di elementi diversi da zero è un gruppo per la moltiplicazione.

Secondo la definizione scelta di un campo che differisce a seconda degli autori (la commutatività della moltiplicazione non è sempre imposta), la nozione di campo sinistro è o strettamente equivalente a quella di campo (se la commutatività della moltiplicazione non è imposta) o costituisce una generalizzazione della nozione di corpo (se è imposta). Si rimanda all'articolo Body (matematica) per maggiori dettagli.

Definizione

Un corpo sinistro è un anello (unitario), non ridotto a un elemento, in cui ogni elemento diverso da zero ha un inverso per la moltiplicazione. In altre parole, è un anello unitario non ridotto a un elemento e in cui l'insieme di elementi diversi da zero è un gruppo per la moltiplicazione.

Esempi

Qualsiasi campo commutativo è un campo a sinistra.
L'esempio più famoso di campo sinistro non commutativo è quello dei quaternioni , scoperto da William Rowan Hamilton nel 1843 .
Sia un automorfismo dei corpi. Considera l'anello delle serie formali di Laurent con coefficienti complessi con la legge moltiplicativa definita come segue: invece di consentire semplicemente ai coefficienti di cambiare con l'indeterminato , per , posiamo per . Se è un automorfismo non banale del campo dei complessi (ad esempio la coniugazione ), allora l'anello della corrispondente serie formale di Laurent è un campo sinistro non commutativo. ${\ displaystyle \ sigma: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ((z, \ sigma))}$ $z$ $\ alpha \ in {\ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle z ^ {i} \ alpha: = \ sigma ^ {i} (\ alpha) z ^ {i}}$ ${\ displaystyle i \ in \ mathbb {Z}}$ $\ sigma$

Risultati

Un teorema di Wedderburn assicura che ogni campo sinistro finito sia commutativo.
Dato un modulo semplice su un anello (unitario) R , l'anello degli endomorfismi di questo modulo è un campo sinistro, a priori non commutativo anche se R lo è. È una delle tante forme del lemma di Schur .
Il centro di un corpo sinistro K è per definizione l'insieme Z ( K ) = { x ∈ K | ∀ y ∈ K , xy = yx }. È un campo commutativo. Di conseguenza, un campo sinistro è naturalmente dotato di una struttura algebrica associativa su un campo commutativo, questo è un caso particolare di algebra di divisione . Quando la dimensione di K al centro è finita, dimostriamo che è un quadrato .

Note e riferimenti

André Blanchard, Campi non commutativi , PUF,1972, p. 43
André Blanchard, op. cit. , p. 66

Corpo sinistro

Definizione

Esempi

Risultati

Note e riferimenti

Articoli Correlati