Applicazione (matematica)

In matematica , un'applicazione è una relazione tra due insiemi per cui ogni elemento del primo (chiamato insieme iniziale o sorgente ) è collegato a un singolo elemento del secondo (l' insieme finale o obiettivo ). Il termine è in concorrenza con quello di funzione , anche se quest'ultima talvolta designa in modo più specifico applicazioni il cui scopo è un insieme di numeri e talvolta, al contrario, racchiude in modo più ampio le relazioni per le quali ogni elemento dell'insieme di partenza è connesso al massimo un elemento dell'assemblea di arrivo.

Un'applicazione può avere valori non numerici, come quello che associa ogni studente di una classe con il proprio giorno di nascita, o l'applicazione che associa ogni carta in un set di 32 carte con il suo colore .

Un'applicazione è quindi un oggetto derivante dalla teoria degli insiemi , definito dal suo grafo e associato alle nozioni di immagine e antecedente . Può essere iniettiva o suriettiva a seconda dell'unicità o dell'esistenza di un antecedente per ogni elemento dell'insieme di arrivo. Una mappa con queste due proprietà è una biiezione , che ammette quindi una mappa reciproca . Le applicazioni possono anche essere composte o limitate a un sottoinsieme del loro set iniziale.

Al di fuori del contesto dell'analisi, il termine è specificato tra l'altro in geometria affine , algebra lineare , topologia e teoria dei sistemi dinamici . A volte è sostituito da quello di operatore o morfismo , o anche freccia, in particolare nella teoria delle categorie .

Funzione e applicazione

La nozione di funzione come corrispondenza tra due tipi di oggetti è relativamente vecchia. Ma le appare termine alla fine del XVII ° secolo negli scritti di Leibniz nel 1694, è poi funzione associata con una curva geometrica, Leibniz dice, e l'asse x, y o il raggio di curvatura di una curva un punto M è una funzione del punto M . Allo stesso tempo, Newton parla fluentemente per quantità dipendenti da una variabile che chiama tempo (pur specificando che il ruolo svolto dal tempo può essere svolto da un'altra quantità). La notazione nella forma f non è andata a posto immediatamente. Jean Bernoulli propone nel 1698 di chiamare X una funzione di x , poi fx nel 1718. Leibniz inventa una notazione che permette di lavorare su più funzioni differenti: e sono quindi due funzioni dipendenti da x . Eulero usa la notazione fx nel 1734. Le funzioni sono quindi sempre con valori numerici (reali o complessi) e hanno anche proprietà restrittive (legate ad un'equazione algebrica, continuità euleriana, espandibili in intere serie ...). $\ overline x | \ underline 1$ $\ overline x | \ underline 2$

Allo stesso tempo, in geometria, si sviluppa la nozione di applicazione per corrispondenze puntuali.

La nozione di funzione (o applicazione) è generalizzata prima a diverse variabili numeriche, a una variabile che è una curva ( Vito Volterra ), poi Maurice Fréchet nel 1904 ed Eliakim Hastings Moore prendono l'argomento in un insieme arbitrario, e Fréchet nel 1909 il anche il valore della funzione.

Durante tutto il XX ° secolo in molte opere accademiche, i termini di funzionalità e di applicazione sono sinonimi. A volte vengono introdotte alcune sfumature: il termine funzione viene utilizzato maggiormente nel caso in cui il set di arrivo sia digitale, e talvolta quando il set di definizione non è uguale al set di partenza.

Negli anni '50, la scuola Bourbaki ha tentato di definire con precisione i due concetti. Così possiamo leggere in una stesura del Libro I, Capitolo II degli Elementi del 1954, le seguenti definizioni:

La relazione R ( x , y ) è detta relazione funzionale di tipo (T × U) se soddisfa la seguente condizione: qualunque x , esiste al massimo uno y tale R ( x , y ). A qualsiasi relazione funzionale, alleghiamo un nuovo oggetto che chiamiamo funzione;
Chiamiamo il campo di definizione della funzione f l'insieme degli elementi x di E per cui esiste y tale che R (x, y). Questo fa parte I di E . Diciamo che f è definito su E e in E .
Invece di parlare di una funzione definita su E ed a valori in F , si parla di una richiesta di E in F .

Anche se, nella redazione finale degli Elementi del 1970, la funzione è sempre definita al suo punto di partenza, questa distinzione si ripete nell'istruzione secondaria francese, primo e secondo ciclo, quando, a seguito della Commissione Lichnerowicz , attua nuovi programmi dal 1968. Così vediamo dal 6 ° , illustrato da diagrammi a freccia, le seguenti definizioni:

le relazioni tali che, da ogni elemento dell'insieme di partenza, ci sia al massimo una freccia, sono dette funzioni;
le relazioni tali che, da ogni elemento dell'insieme di partenza, lasci esattamente una freccia, sono chiamate mappature.

In pratica, il fatto che sia sufficiente ridurre l'insieme di partenza di una funzione al suo insieme di definizioni per trasformarlo in un'applicazione rende questa distinzione di scarsa utilità.

Questa distinzione non inizia a scomparire dai libri di scuola fino al 1985, con l'adozione di nuovi programmi, ma ci sono ancora libri recenti in cui questa distinzione è presente.

Definizione

La definizione usuale in matematica di una funzione è quindi fissata e presuppone essenzialmente quella di coppia e prodotto cartesiano . Un'applicazione o una funzione è una tripletta f = ( E , F , G ) con una relazione binaria G ⊂ E × F , e che verifica che per tutti x di E vi esiste un unico y di F tale che la coppia ( x , y ) appartiene a G . Proprio in questo caso, una mappa f G data come relazione binaria G ⊂ E × F si dice ben definita . L'ordine delle serie della terzina è arbitrario e troviamo inoltre variazioni a seconda delle opere. La proprietà caratteristica può essere scomposta in due clausole:

Esistenza . ∀ x ∈ E ∃ y ∈ F ( x , y ) ∈ G ; Unicità . ∀ x ∈ E ∀ y ∈ F ∀ y ' ∈ F ([( x , y ) ∈ G and ( x , y' ) ∈ G ] ⇒ y = y ' ).

In altre parole, ciò significa che G interseca ogni sottoinsieme { x } × F , in un punto unico, la cui esistenza è data dalla prima clausola e l'unicità dalla seconda. Questo punto, elemento di F , è chiamato immagine di x dalla mappa f ed è indicato con f ( x ). Per distinguere chiaramente l'immagine di un elemento di E , che è un elemento di F , dall'immagine di f , che è un sottoinsieme di F , a volte parliamo in quest'ultimo caso di un insieme di immagini di f .

Si dice anche che f associa x elemento f ( x ), o che f invia x di f ( x ). Vengono utilizzate anche le forme passive " x è inviata da f su f ( x )", " f ( x ) è associata a x da f ".

Se x , elemento di E , soddisfa f ( x ) = y , diciamo che x è un antecedente di y . Un elemento y di F può benissimo avere più di un antecedente o addirittura nessuno.

Per una funzione di E in F che a x associa f ( x ) notiamo:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & E & \ longrightarrow & F \\ & x & \ longmapsto & f (x) \ end {matrix}}}

ad esempio per la funzione della variabile reale che associa il suo quadrato a un numero:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & \ mathbb {R} & \ longrightarrow & \ mathbb {R} \\ & x & \ longmapsto & x ^ {2} \ end {matrix}}}

Nell'esempio precedente abbiamo utilizzato la struttura dei numeri reali per definire la funzione. Per ogni insieme E possiamo sempre definire l' identità o la mappatura identica , che associa a qualsiasi elemento x di E l'elemento x stesso. Il suo grafico è la diagonale del prodotto cartesiano E × E , il sottoinsieme definito dalla relazione x = y .

Se F non è vuoto, allora possiamo associare a qualsiasi elemento b di F , una cosiddetta mappa costante di E in F , che associa a qualsiasi elemento di E l'elemento b . Il suo grafico è quindi E × { b }.

A volte vengono utilizzate altre terminologie e notazioni. Le funzioni definite sull'insieme N di interi naturali (o una parte di esso) sono spesso chiamate sequenze , ad esempio le sequenze reali sono le funzioni di N nell'insieme R dei reali. Usiamo quindi la notazione indice: ( u n ) n ∈ N designa la sequenza, la scrittura che può essere abbreviata come ( u n ) e u n designa l'immagine con questa sequenza dell'intero n .

Questa notazione è esteso a famiglie , indicizzato da I elementi di un insieme F trovati, che sono, con un'altra notazione e un'altra terminologia, funzioni che in F .

Set di applicazioni tra due set

Tutte le applicazioni E in F è spesso notato F E . Il suo cardinale dipende solo dai rispettivi cardinali di E ed F : | F E | = | F | | E | .

Operazioni applicative

Restrizione sia $f$ ad un'applicazione di $E$ a $E$ , e lasciate $Un$ un sottoinsieme di $E$ . La restrizione di $f$ di $A$ , indicato, è l'applicazione di $A$ a $F$ che ogni elemento $è$ di $A$ combina l'elemento $f$ $($ $a$ $)$ di $F$ . In altre parole, se indichiamo con $G$ il grafico di $f$ ,è la mappa di $A$ in $F$ del grafico $G$ $\cap ($ $A$ $\times$ $F$ $)$ . ${\ displaystyle f_ {| A}}$ ${\ displaystyle f_ {| A}}$
Corestriction : corestriction è l'operazione analoga su un sottoinsieme dell'insieme di arrivo, ma se vogliamo che rimanga un'applicazione, non possiamo limitare l'insieme di arrivo F con f qu 'a un sottoinsieme F' di F contenente l'insieme di immagini di f . Otteniamo quindi un'applicazione che ha lo stesso insieme iniziale e lo stesso grafico, ma non lo stesso insieme finale.
Estensione : siano f due mappe da E a F del grafo G , e f ' da E' a F ' del grafo G' . Diciamo che f ' è un'estensione di f quando:E ⊂ E ' e F ⊂ F' e G ⊂ G ' .(Per un caso speciale in matematica elementare , vedere Set di definizioni # Estensione .)
Composizione :viene scrittala composizione di due domande f diine g diin. È un'applicazione di indefinita, per qualsiasi elemento x di, da: $E_2$ $E_ {3}$ $E_1$ $E_2$ $f \ circ g$ $E_1$ $E_ {3}$ $E_1$ $f \ circ g (x) = f (g (x)).$ Se il grafico di f è e il grafico di g è , il grafico di è: $G_f$ $G_ {g}$ $f \ circ g$ $G_ {f \ circ g} = \ {(x, z) \ in E_1 \ times E_3 \ mid \ esiste y \ in E_2, (x, y) \ in G_g \ wedge (y, z) \ in G_f \} .$

Iniettività e suriettività

Una mappa f da E a F si dice iniettiva , o anche un'iniezione , quando qualsiasi elemento dell'insieme di arrivo di f ha al massimo un antecedente nell'insieme di partenza da f , che può essere scritto:

\ forall x_ {1}, x_ {2} \ in E \ left [f (x_ {1}) = f (x_ {2}) \ Rightarrow x_ {1} = x_ {2} \ right]

. o per contraposée :

\ forall x_ {1}, x_ {2} \ in E \ left [x_ {1} \ neq x_ {2} \ Rightarrow f (x_ {1}) \ neq f (x_ {2}) \ right]

. Il composto di due iniezioni è un'iniezione e, al contrario, se per una certa funzione , o è un'iniezione, allora è un'iniezione.

g

g

f

f

Si dice che una mappatura di in sia suriettiva , o ancora è una suriezione , quando qualsiasi elemento dell'insieme di arrivo è rappresentato da f di almeno un elemento dell'insieme iniziale, che è scritto: $f$ $E$ $F$ $\ forall y \ in F, \ esiste x \ in E, \ f (x) = y.$ In altre parole, è suriettivo se e solo se il suo insieme di immagini è l'intero insieme di destinazione. Il composto di due suriezioni è una suriezione e, al contrario, se è una suriezione, allora è una suriezione. $f$
$g \ circ f$ $g$
Una mappa f si dice biiettiva , o ancora è una biiezione , quando questa mappa è sia iniettiva che suriettiva, vale a dire che ogni elemento del suo insieme di arrivo ha un antecedente e solo uno per f nell'insieme di partenza, che è scritto: ${\ displaystyle \ forall y \ in F, \ exist! x \ in E, \ f (x) = y.}$ Il composto di due biiezioni è una biiezione ma, al contrario, se il composto di due mappe è una biiezione, possiamo solo dedurre che una è un'iniezione e l'altra una suriezione.

Applicazione reciproca

Se una mappa f : E → F è biiettiva, ad ogni elemento di F è associato un unico antecedente di f in E , che esiste poiché f è suriettiva e che è unico poiché f è iniettiva. Questo definisce quindi una mappa, che chiamiamo mappa reciproca di f , e che, in questo caso, è anche una biiezione, detta anche biiezione reciproca di f .

Lo notiamo . Il suo grafico è il simmetrico del grafico di f , cioè se G è il grafico di f , il grafico di è {( y , x ) | ( x , y ) ∈ G }. Nel caso in cui E = F = R , l'insieme dei numeri reali, il grafico di è, nel piano R ², simmetrico di quello di f rispetto alla prima bisettrice . Quindi la funzione dei reali positivi in se stessi che con x associa x ² è una biiezione, il suo reciproco è la radice quadrata, e un grafo di uno è dedotto dall'altro per simmetria rispetto alla retta di equazione y = x . $f ^ {- 1}$ $f ^ {- 1}$ $f ^ {- 1}$

Nel caso ad esempio di una funzione numerica, quando si può parlare dell'inverso di un elemento a di F , questo può essere scritto a -1 . In questo caso designa l'inverso dell'elemento . Questa è la funzione 1 / f inversa (se esiste). La notazione è riservata alla reciproca biiezione di f (se esiste). $f (x) ^ {{- 1}}$ $f (x)$ $f ^ {- 1}$

L'applicazione f : E → F è iniettiva, se e solo se esiste un surjection g : F → E reciproca fianco di f , vale a dire che g ∘ f è l'identità di E . Quando f è iniettiva, è sufficiente prendere per g un'applicazione che ad un elemento dell'immagine di f associ il suo antecedente con f , e che sia definita arbitrariamente sugli altri elementi. Questa funzione non è univoca, a meno che f non sia anche biiettiva. Il contrario deriva direttamente dal fatto che g è una mappa.
L'applicazione f : E → F è su se e solo se v'è un'iniezione g : F → E reciproca destra di f , cioè f ∘ g è l'identità di F . Supponiamo che f sia suriettiva, nel caso in cui l'insieme di immagini di f sia infinito, l'esistenza di questa iniezione riposa in tutta generalità sull'assioma della scelta (dichiarato per ogni suriezione, è addirittura equivalente all'assioma della scelta). L'applicazione di g è infatti una funzione di scelta su tutti i set una storia di un elemento F , si sceglie una buona storia per ogni elemento F . Questa funzione non è unica, a meno che f sia anche biiettiva (caso in cui, essendo unico l'antecedente, l'assioma della scelta non è necessario). L'esistenza di una funzione g reciproco diritto di f fornisce direttamente da un antecedente f per ogni elemento F .

Decomposizione canonica

Chiamiamo relazione binaria canonicamente associata alla mappa f la corrispondenza ℛ definita in E da:

x è in relazione con y se e solo se x ed y hanno un'immagine comune f .

Questa relazione è sempre simmetrica e transitiva , per l'unicità dell'immagine, ed è anche riflessiva per la sua esistenza, è quindi una relazione di equivalenza .

Possiamo quindi definire l'insieme dei quozienti E / ℛ e la corrispondente suriezione canonica s , associata alla mappa f . Questa suriezione associa a qualsiasi elemento x di E la sua classe di equivalenza per ℛ, che non è altro che f −1 ({ f ( x )}), l'insieme degli antecedenti di f ( x ).

Considera quindi la corrispondenza i di E / ℛ in F definita da:

A è in relazione a y se e solo se A è l'insieme degli antecedenti di y per f .

Questa corrispondenza è un'iniezione, l' iniezione canonica associata all'applicazione f . Mostriamo facilmente che f = i ∘ s .

Conclusione : qualsiasi applicazione può essere suddivisa in modo univoco in sovraiezione e iniezione.

Questa scomposizione è la scomposizione canonica dell'applicazione. In questa scomposizione:

la suriezione s è una biiezione se e solo se f è un'iniezione, cioè se f −1 ∘ f = id E ;
iniezione i è una biiezione se e solo se f è un surjection è dire che se f ∘ f -1 = id F .

Insiemistica

La nozione di funzione non è primitiva nelle teorie degli insiemi di Zermelo o di Zermelo-Fraenkel, ed è definita grazie alle nozioni di coppia e prodotto cartesiano , anch'esse primitive. La nozione può svilupparsi nella teoria di Zermelo (senza l' assioma dell'infinito ), con l' assioma dell'estensionalità , l' assioma della coppia , l' assioma della riunione , l' assioma delle parti dell'insieme e lo schema degli assiomi della comprensione . In un'occasione abbiamo avuto bisogno di mostrare in generale l'esistenza di un giusto reciproco di una funzione suriettiva, l' assioma della scelta .

Accade spesso nella teoria degli insiemi che una funzione sia identificata con quello che in precedenza veniva chiamato il suo grafico. Vale a dire che una funzione è definita come un insieme di coppie che verificano le proprietà di esistenza e unicità dell'immagine, che si verifica facilmente che non mettono realmente in gioco i set di partenza e di arrivo: con questa definizione, G è un funzione quando si tratta di una relazione, nel senso di un insieme di coppie, con unicità dell'immagine, più precisamente:

∀ x ∀ y ∀ y ' ([( x , y ) ∈ G and ( x , y' ) ∈ G ] ⇒ y = y ' ).

L'insieme di partenza della funzione è l'insieme delle prime proiezioni di G , che è definito in comprensione , proprio come l'immagine della funzione che è l'insieme delle seconde proiezioni di G (si veda l'articolo del prodotto cartesiano per i dettagli dipendenti dal rappresentazione di coppie). Non c'è più un set arrivo intrinseco, cioè f è una funzione di E in F diventa una proprietà di f : E è l'insieme dei primi risalti di f , e quadro generale l ', tutte le seconde sporgenze include F . L'iniettività è una proprietà che dipende solo dal grafico della funzione. D'altra parte, in questo contesto, la suriettività o la biiettività diventano una proprietà di f e dell'insieme di arrivo scelto ( f è suriettiva di E in F ).

Si può avere da interessare classi funzionali, che sono coppie di classi che soddisfano le due caratteristiche indicate all'inizio del paragrafo, ma su una classe anziché l'intero G . Lo schema dell'assioma di sostituzione , che completa la teoria degli insiemi di Zermelo per dare quella di Zermelo-Fraenkel, afferma che l' immagine di un insieme da una classe funzionale è un insieme, e quindi la restrizione di una classe funzionale a un insieme è una funzione (come un insieme di coppie).

Note e riferimenti

Lucien Chambadal, Dizionario della matematica moderna , articolo "funzione", Larousse, 1969.
Jacques Bouveresse , Jean Itard e Émile Sallé, Storia della matematica [ dettaglio delle edizioni ], p. 33 .
“Funzione (nozione di)” , in Dizionario della matematica - algebra, analisi, geometria , Parigi, Encyclopædia Universalis e Albin Michel,1997, p. 359-360.
(de) Bartel Eckmann L. Van der Waerden Moderne Algebra, p.6 su Google Books , Volume I, 1930
Per Rudin, ( Analisi reale e complessa , Rudin, Masson, 1978, p. 7), i termini funzione, applicazione e trasformazione sono sinonimi
Per Roger Godement ( Mathematical Analysis I , Springer, 1998, p.21), possiamo dire indifferentemente "Sia f una funzione definita su X con valori in Y" oppure "Sia f un'applicazione di X in Y"
Nomenclatura redazioni Boubaki , sugli archivi dell'associazione, Archivio 53
Redazione del Libro I, Capitolo II di Elements Archive 53 , p. 25
Capitolo II , p. 26
Redazione del Libro I, Capitolo II di Elements Archive 53 , p. 26
Bourbaki, Elementi di matematica: Teoria degli insiemi, Hermann, 1970, ristampa 2006, EII13- Definizione 9
Collezione Cossart e Théron, Matematica , 6a elementare , Bordas, 1969, p.28
Sandie Ferrigno, Aurélie Muller-Gueudin, Didier Marx, Frédéric Bertrand, Myriam Maumy-Bertrand, Matematica per le scienze ingegneristiche, p. 18 su Google Libri , Dunod, 2013
Alain Droguet, Algebra e analisi 1 ° anno - opzione economica, p. 6 e 12 su Google Libri , Bréal, 2003
Catherine Berdonneau, Françoise Cerquetti-Aberkane, Teaching Mathematics in Kindergarten, p. 45 su Google Libri Hachette Education, 2007
Introduzione alla teoria degli insiemi [ dettaglio delle edizioni ], p. 40.
Jean-Louis Krivine , Teoria degli insiemi [ dettaglio delle edizioni ], p. 13 (relazione funzionale) e p. 17 (funzione o applicazione), o Paul Halmos , Introduzione alla teoria degli insiemi [ dettaglio delle edizioni ], p. 40 (ed. 1970).