In matematica e più particolarmente in algebra generale , il nucleo di un morfismo misura la non iniettività di un morfismo.
In molti casi, il nucleo di un morfismo è un sottoinsieme dell'insieme di definizione del morfismo: l'insieme di elementi che vengono inviati all'elemento neutro dell'insieme di arrivo . In contesti più generali, il kernel viene interpretato come una relazione di equivalenza sull'insieme di definizioni: la relazione che collega gli elementi che vengono inviati sulla stessa immagine dal morfismo.
In una di queste situazioni, il kernel è banale se e solo se il morfismo è iniettivo. Nella prima situazione " banale " significa costituito solo dall'elemento neutro , mentre nella seconda significa che la relazione è l' uguaglianza .
Il nucleo di un morfismo f è indicato con ker ( f ) o Ker ( f ). Questa abbreviazione deriva dalla parola inglese kernel che significa "core" (in tutti i sensi del termine: l'analogia si è diffusa da una lingua all'altra).
Questo articolo presenta varie definizioni del nucleo, per i tipi di morfismi più comunemente usati.
Il nucleo di un gruppo morfismo f di un gruppo G di gruppo M è costituito da tutti gli elementi G inviati dal f sul elemento identità e H di H . Formalmente:
Il nucleo è un sottogruppo di G .
Uno dei teoremi dell'isomorfismo afferma che il gruppo quoziente G / ker ( f ) è isomorfo all'immagine di f . Questo isomorfismo è indotto da f stesso. Una proposizione leggermente più generale è il teorema di fattorizzazione dei morfismi.
Il morfismo dei gruppi f è iniettivo se e solo se il suo nucleo è il gruppo banale .
Secondo le proprietà dell'immagine reciproca , il nocciolo di un morfismo composto è uguale a:
Se f è una mappa lineare da uno spazio vettoriale V a uno spazio vettoriale W , allora il nucleo di f è definito da
Il kernel è un sottospazio dello spazio vettoriale V , e lo spazio vettoriale quoziente V / ker ( f ) è isomorfo all'immagine di f ; in particolare, il teorema dei ranghi mette in relazione le dimensioni :
La mappa lineare f è iniettiva se e solo se ker ( f ) = {0}.
Se V e W sono finito dimensionali spazi vettoriali su un campo commutativa K , rispettive dimensioni n e p , e se le basi sono dati di questi spazi, quindi F può essere rappresentata da una matrice , e il kernel può essere determinato risolvendo l' omogenea sistema di equazioni lineari M X = 0.
In questa rappresentazione, le soluzioni di questo sistema corrispondono alle coordinate del kernel vettori f , ma anche il nucleo del vettore della mappatura lineare canonicamente associato con la matrice M .
La dimensione del kernel è data dal numero di colonne di M almeno rango di M .
Risolvere equazioni differenziali omogenee spesso porta a determinare il nucleo di una certa mappa lineare .
Ad esempio, se vogliamo determinare le funzioni due volte differenziabili f da R a R tali che
dobbiamo considerare il nucleo della mappa lineare , dove V è lo spazio vettoriale di tutte le funzioni differenziabili due volte da R in R , W lo spazio vettoriale di tutte le funzioni da R in R , e l'immagine di d 'un elemento f di V definito dalla condizione
Il nocciolo di un morfismo di anello f da un anello A in un anello B è costituito da tutti gli elementi x di A per cui f ( x ) = 0. Formalmente:
Il nucleo è un ideale due lati di A .
Il teorema dell'isomorfismo sopra menzionato per gruppi e spazi vettoriali rimane valido nel caso degli anelli.
Il nocciolo di un morfismo corporeo (cioè un morfismo ad anello dove gli anelli considerati sono corpi ) è sempre ridotto all'elemento neutro 0, in modo che qualsiasi morfismo corporeo sia iniettivo.
Su uno spazio vettoriale reale E , una forma quadratica è una mappa polinomiale omogenea di grado 2. È associata alla forma bilineare simmetrica
.Il nucleo di q è il sottospazio vettoriale
La contrazione di B con v denota la mappa lineare e N appare come il nucleo della mappa lineare
L'immagine è un sottospazio dello spazio duale E * che è il cancellatore del nucleo N .
Tutte queste nozioni di kernel sono generalizzate nell'ambito della teoria delle categorie abeliane .
La funzione esponenziale complessa exp è un esempio di morfismo di gruppo , da (ℂ, +) a (ℂ *, ×). Il suo kernel è l'insieme di numeri complessi z tali che e z = 1 .
Notando , otteniamo
da dove