Matrice (matematica)

Per ogni intero n indichiamo con I n la matrice quadrata di dimensione n i cui coefficienti diagonali sono uguali a 1 e gli altri coefficienti sono zero; è detta matrice identità di dimensione n.

io1=(1)io2=(1001)io3=(100010001)ionon=(δio,J)1≤io≤non,1≤J≤non{\ displaystyle I_ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 \ end {pmatrix}} \ quad I_ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ quad I_ {3} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ quad I_ {n} = (\ delta _ {i, j}) _ {1 \ leq i \ leq n, 1 \ leq j \ leq n}}

dove δ i, j denotano il simbolo di Kronecker .

In base alla compatibilità delle dimensioni, le matrici I n sono neutre a sinistra e a destra per la moltiplicazione.

∀A∈mm,non(K), iomA=Aionon=A.{\ displaystyle \ forall A \ in M_ {m, n} (K), \ I_ {m} \, A = A \, I_ {n} = A.}

Sia A una matrice di dimensione ( m , n ). Diciamo che A è invertibile a destra (rispettivamente a sinistra) se esiste una matrice B di dimensione ( n , m ) tale che AB = I m (rispettivamente BA = I n ). Si dice semplicemente che è invertibile se è sia destro che sinistro. Il sottoinsieme di M n ( K ) costituito dalle matrici invertibili ha una struttura a gruppi per il prodotto matriciale; è chiamato un gruppo lineare e denotato GL n ( K ) .

Per una matrice quadrata con coefficienti in un anello commutativo K , essendo invertibile a destra o a sinistra o avente un determinante invertibile in K (cioè diverso da zero se K è un campo) sono tre proprietà equivalenti.

Algebra delle matrici quadrate

Quando l'anello K è commutativo, l'insieme M n ( K ) di matrici quadrate di dimensione n è quindi dotato di una struttura di K - algebra associativa e unitaria con l'addizione matriciale, il prodotto per uno scalare e la matrice prodotto.

Chiamata matrice scalare una matrice della forma I n λ dove λ è un membro dell'anello K .

ionona=(a0...00a...0⋮⋮⋱⋮00...a){\ displaystyle I_ {n} a = {\ begin {pmatrix} a & 0 & \ punti & 0 \\ 0 & a & \ punti & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ punti & a \ fine {pmatrix}} }

Queste matrici sono chiamate matrici scalari perché si comportano come scalari, rispetto alla moltiplicazione:

∀λ∈K, ∀A∈mnon(K), A(iononλ)=Aλ .{\ displaystyle \ forall \ lambda \ in K, \ \ forall A \ in M_ {n} (K), \ A (I_ {n} \ lambda) = A \ lambda ~.}

Quando K è commutativo, o, altrimenti, quando λ è centrale in K , cioè quando lambda commuta con tutti gli elementi di K , abbiamo anche:

∀λ∈K, ∀A∈mnon(K),(λionon) A=Aλ .{\ displaystyle \ forall \ lambda \ in K, \ \ forall A \ in M_ {n} (K), (\ lambda I_ {n}) \ A = A \ lambda ~.}

Viceversa, qualsiasi matrice B di M n ( K ) tale che ∀ A ∈ M n ( K ), AB = BA è una matrice scalare I n λ dove λ è centrale in K (ciò si dimostra prendendo per A le matrici dei base canonica ).

Una matrice della forma:

(a10...00a2...0⋮⋮⋱⋮00...anon){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a_ {1} & 0 & \ punti & 0 \\ 0 & a_ {2} & \ punti & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ punti & a_ {n} \ fine {pmatrix}}}

si chiamerà matrice diagonale .

Oltre al determinante, un'altra funzione degna di nota è la traccia . Entrambi compaiono in un oggetto più generale, il polinomio caratteristico , che a sua volta fornisce alcune caratterizzazioni di matrici diagonalizzabili (cioè simili a una matrice diagonale), o di trigonalizzazione .

Azioni di gruppo lineari

Esistono diversi modi per far agire il gruppo lineare GL n ( K ) sugli spazi delle matrici, in particolare:

• azione per moltiplicazione a sinistra di GL m ( K ) su M m , n ( K ) , che con P e A , associa PA ,
• azione (a sinistra) per moltiplicazione a destra di GL n ( K ) su M m , n ( K ) , che con Q ∈ GL n ( K ) e A ∈ M m , n ( K ) , associa AQ −1 ,
• azione mediante coniugazione di GL n ( K ) su M n ( K ) , che con P ∈ GL n ( K ) e A ∈ M n ( K ) , collegate PAP -1 .

Descriviamo ora i risultati classici su queste azioni, quando gli scalari formano un campo commutativo. Le prime due azioni sono spesso considerate contemporaneamente; ci interessa quindi la domanda: date due matrici A e B di dimensione ( m , n ) , esistono matrici P ∈ GL m ( K ) e Q ∈ GL m ( K ) tali che A = PBQ −1  ? In tal caso le due matrici A e B si dicono equivalenti . Il risultato principale è che due matrici sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango , il che si esprime ancora dicendo che il rango è un invariante completo per le classi doppie definite dalle due azioni di moltiplicazione a sinistra e a destra . Inoltre, data una matrice, si possono trovare altre matrici privilegiate (le matrici scalate ) nella stessa orbita per una di queste azioni con il metodo del pivot gaussiano .

Per l'azione per coniugazione, due matrici quadrate A e B di dimensione n nella stessa orbita ammettono una relazione della forma A = PBP −1 , per una certa matrice invertibile P di dimensione n  ; due di queste matrici si dicono simili . Più delicata è la descrizione di un sistema completo di invarianti (che caratterizzano matrici simili). Chiamiamo questi invarianti gli invarianti di similarità . Da un punto di vista algoritmico, la riduzione di una matrice arbitraria a matrice in forma privilegiata viene effettuata da un algoritmo ispirato a quello del pivot gaussiano, vedi teorema dei fattori invarianti .

Interpretazioni lineari

Uno dei principali vantaggi delle matrici è che permettono di scrivere convenientemente , con una certa canonicità, le consuete operazioni di algebra lineare .

Dettagli del contatto

Il primo punto è notare che il K -modulo K n è canonicamente identificato con lo spazio delle matrici colonna M n , 1 ( K )  : se e i è l' n -gruppo di K n i cui coefficienti sono zero, eccetto i - th che vale 1, le associamo la i - esima matrice di colonna E i , 1 della base canonica di M n , 1 ( K ) (quella i cui coefficienti sono zero tranne la i -esima che vale 1 ), ed estendiamo l'identificazione per linearità; la matrice associata ad ogni n- uplet sarà chiamata matrice di coordinate canoniche .

Altre identificazioni sono comunque possibili; quando si può parlare di una base (se l'anello degli scalari è un campo, per esempio), si possono associare le matrici elementari delle colonne a qualsiasi base dello spazio K n (o più in generale di un modulo K - libero), quindi estendere di nuovo per linearità; le matrici associate saranno chiamate matrici coordinate nella base considerata.

Si possono giustapporre le matrici di coordinate, in una base fissa, di più n -uple. Otteniamo così la matrice di coordinate di una famiglia di vettori. Il rango della matrice è quindi definito come la dimensione della famiglia di questi vettori. In particolare, la matrice di una base in un'altra base è detta matrice di passaggio tra queste due basi, o matrice di cambio di base. Se X e X ' sono le matrici coordinate dello stesso vettore in due basi B e C , e che P è la matrice di passaggio dalla base C alla base B , si ha la relazione (una matrice di passaggio è sempre invertibile):

X=PX'X'=P-1X{\ displaystyle X = PX '\ quad X' = P ^ {- 1} X}

Applicazioni lineari

Siano E ed F due spazi vettoriali di rispettive dimensioni n e m su un campo K , B una base E , C una base F e φ una mappatura lineare di E in F .

Chiamiamo la matrice di φ nella coppia di basi ( B , C ) la matrice mat B , C ( φ ) di M m , n ( K ) tale che per qualsiasi vettore x di E , se indichiamo y = φ ( x ) , X = mat B ( x ) e Y = mat C ( y ) , quindi:

sì=alberoB,VS(φ)×X.{\ displaystyle Y = {\ textrm {mat}} _ {B, C} (\ varphi) \ volte X.}

Se è una seconda mappa lineare, di F in un terzo spazio vettoriale G di base D , allora, rispetto alle basi B , C , D , la matrice del composto ψ ∘ φ è uguale al prodotto delle matrici di ψ e Phi . Più precisamente :

alberoB,D(ψ∘φ)=alberoVS,D(ψ)×alberoB,VS(φ).{\ displaystyle {\ textrm {mat}} _ {B, D} (\ psi \ circ \ varphi) = {\ textrm {mat}} _ {C, D} (\ psi) \ times {\ textrm {mat} } _ {B, C} (\varphi).}

L'applicazione di L ( E , F ) in M m , n ( K ) che ad ogni φ associa la sua matrice in ( B , C ) è un isomorfismo degli spazi vettoriali .

Per ogni matrice M di M m , n ( K ) , la mappa X ↦ MX del K - spazio vettoriale M n , 1 ( K ) nel K - spazio vettoriale M m , 1 ( K ) è lineare. Questo è un punto chiave nel collegamento tra algebra lineare e matrici. Di conseguenza, spesso accade che la matrice M si identifichi con questa mappa lineare. Parleremo poi del nucleo della matrice, degli autospazi della matrice, dell'immagine della matrice, ecc.

Se B e B ' sono due basi di E , C e C' due basi di F , P = mat B ( B ' ) la matrice di passaggio da B a B' e Q la matrice di passaggio da C a C ' , allora le due matrici M ed M ' della stessa mappa lineare di E in F , nelle coppie di basi ( B , C ) e ( B' , C ' ), sono legate da: M' = Q −1 MP . Si nota quindi che due matrici equivalenti sono due matrici che rappresentano la stessa mappa lineare in basi diverse. In particolare, nel caso di un endomorfismo , se imponiamo B = C e B ' = C' , la formula precedente diventa: M '= P −1 MP e due matrici simili sono due matrici che rappresentano lo stesso endomorfismo in basi diverse .

Sono ancora E ed F due vettori di K- spazi di dimensioni finite, rispettive basi B e C , e φ una mappatura lineare di E in F . L'applicazione lineare trasposta t φ: F * → E * tra i loro duali è definita da

∀sì*∈F*,∀X∈E,⟨Tφ(sì*),X⟩=⟨sì*,φ(X)⟩.{\ displaystyle \ forall y ^ {*} \ in F ^ {*}, \ forall x \ in E, \ quad \ left \ langle ^ {\ operatorname {t}} \! \ varphi \ left (y ^ {* } \ right), x \ right \ rangle = \ left \ langle y ^ {*}, \ varphi \ left (x \ right) \ right \ rangle.}

La sua matrice nella coppia di basi duali ( C *, B *) è legata a quella di φ in ( B , C ) da:

alberoVS*,B*(Tφ)=T(alberoB,VS(φ)).{\ displaystyle {\ textrm {mat}} _ {C ^ {*}, B ^ {*}} (^ {\ operatorname {t}} \! \ varphi) = {} ^ {\ operatorname {t}} \ ! ({\ textrm {mat}} _ {B, C} (\ varphi)).}

Quando l'anello non è commutativo, se i vettori sono rappresentati da matrici colonna, l'algebra lineare è compatibile con il calcolo matriciale solo se i moduli o gli spazi vettoriali considerati sono a destra , come negli articoli sopra dettagliati, una mappa lineare corrispondente a sinistra moltiplicazione di un vettore colonna per la matrice che lo rappresenta. Se vogliamo avere moduli o spazi vettoriali a sinistra , dobbiamo rappresentare i vettori per matrici riga , una mappa lineare questa volta rappresentata dalla moltiplicazione a destra di un vettore riga per la matrice che lo rappresenta.

Sistemi di equazioni lineari

In generale, un sistema di m equazioni lineari con n incognite può essere scritto nella forma seguente:

{a1,1X1+a1,2X2+...+a1,nonXnon=B1a2,1X1+a2,2X2+...+a2,nonXnon=B2⋮⋮am,1X1+am,2X2+...+am,nonXnon=Bm{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} a_ {1,1} x_ {1} + a_ {1,2} x_ {2} + ... + a_ {1, n} x_ {n} = b_ {1} \\ a_ {2,1} x_ {1} + a_ {2,2} x_ {2} + ... + a_ {2, n} x_ {n} = b_ {2} \\\ vdots \\\ vdots \\ a_ {m, 1} x_ {1} + a_ {m, 2} x_ {2} + ... + a_ {m, n} x_ {n} = b_ {m} \ fine {matrice}} \ destra.}

dove x 1 , ..., x n sono le incognite ei numeri a i , j sono i coefficienti del sistema.

Questo sistema può essere scritto in forma matriciale:

AX=B{\ stile di visualizzazione Ax = b}

insieme a :

A=(a1,1a1,2⋯a1,nona2,1a2,2⋯a2,non⋮⋮⋱⋮am,1am,2⋯am,non);X=(X1X2⋮Xnon)eB=(B1B2⋮Bm);{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} a_ {1,1} & a_ {1,2} & \ cdots & a_ {1, n} \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} & \ cdots & a_ {2, n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m, 1} & a_ {m, 2} & \ cdots & a_ {m, n} \ end { pmatrix}}; \ qquad x = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {e}} \ quad b = {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \\\ vdots \\ b_ {m} \ end {pmatrix}};}

la teoria della risoluzione dei sistemi utilizza gli invarianti legati alla matrice A (detta matrice del sistema ), ad esempio il suo rango, e, nel caso in cui A sia invertibile, il suo determinante (si veda l'articolo Regola di Cramer ).

Interpretazioni bilineari

In questo paragrafo si assumerà che l'anello K degli scalari sia commutativo. Nella maggior parte delle applicazioni, questo sarà un campo commutativo.

Esiste anche il caso non commutativo, ma vanno prese alcune precauzioni e le notazioni diventano troppo pesanti per questo articolo.

Matrice di una forma bilineare

Sia E un K -modulo e B = ( e 1 , ..., e n ) una base E .

Sia una forma bilineare . Definiamo la matrice di in base B con la seguente formula: F:E×E→K{\ displaystyle f: E \ volte da E \ a K}F{\ stile di visualizzazione f}

alberoBF=(F(eio,eJ))1≤io≤non, 1≤J≤non=(F(e1,e1)F(e1,e2)...F(e1,enon)F(e2,e1)F(e2,e2)...F(e2,enon)⋮⋮⋱⋮F(enon,e1)F(enon,e2)...F(enon,enon)){\ displaystyle {\ textrm {mat}} _ {B} \, f = (f (e_ {i}, e_ {j})) _ {1 \ leq i \ leq n, \ 1 \ leq j \ leq n } = {\ begin {pmatrix} f (e_ {1}, e_ {1}) & f (e_ {1}, e_ {2}) & \ punti & f (e_ {1}, e_ {n}) \ \ f (e_ {2}, e_ {1}) & f (e_ {2}, e_ {2}) & \ punti & f (e_ {2}, e_ {n}) \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ f (e_ {n}, e_ {1}) & f (e_ {n}, e_ {2}) & \ punti & f (e_ {n}, e_ {n}) \\ \ end {pmatrix}} }

Nel caso particolare in cui K = ℝ e f è un prodotto scalare, questa matrice è chiamata matrice di Gram .

La matrice mat B f è simmetrica (rispettivamente antisimmetrica ) se e solo se la forma bilineare è simmetrica (rispettivamente antisimmetrica ). F{\ stile di visualizzazione f}

Lasciare x ed y due vettori di E . Indichiamo con X e Y le loro coordinate nella base B e A = mat B f . Abbiamo quindi la formula . F(X,sì)=TX A sì{\ displaystyle f (x, y) = {} ^ {\ nomeoperatore {t}} \! X ~ A ~ Y}

Due forme bilineari sono uguali se e solo se hanno la stessa matrice in una data base.

Matrice di una forma quadratica

Quando K è un campo di caratteristica diverso da 2, si chiama matrice di forma quadratica la matrice della forma bilineare simmetrica da cui risulta la forma quadratica.

Formula di cambio base

Sia E un K -modulo libero e B, C due basi di E . Considera una forma bilineare. F:E×E→K{\ displaystyle f: E \ volte da E \ a K}

Nota M = mat B f la matrice f in base B e M ' = matt C f la matrice f in base C . Indichiamo con P = mat B C la matrice del passaggio. Abbiamo quindi la formula di cambio base per una forma bilineare (da non confondere con quella per un'applicazione lineare ):

m'=TP m P{\ displaystyle M '= {} ^ {\ nomeoperatore {t}} \! P ~ M ~ P}

matrici congruenti

Due matrici quadrate A e B si dicono congruenti se esiste una matrice P invertibile tale che

A=TP B P .{\ displaystyle A = {} ^ {\ nomeoperatore {t}} \! P ~ B ~ P ~.}

Due matrici congruenti sono due matrici che rappresentano la stessa forma bilineare in due basi diverse.

Quando K è un campo di caratteristica diversa da 2, qualsiasi matrice simmetrica è congruente a una matrice diagonale. L'algoritmo utilizzato è chiamato riduzione gaussiana da non confondere con il pivot gaussiano .

Catalogo parziale

Una matrice si dice simmetrica se è uguale alla sua trasposta e antisimmetrica se è opposta alla sua trasposta.

Una matrice A con coefficienti complessi è detta hermitiana se è uguale alla trasposta del coniugato di matrice A .

Si dice una matrice A

• ortogonale se ha coefficienti reali e se t A A = A t A = I ,
• unitario se ha coefficienti complessi e se t A A = A t A = I

(Per ulteriori esempi, vedere in fondo alla pagina: palette "Articoli correlati" e "Matrici")

Decomposizione di una matrice

Usiamo male il termine decomposizione di una matrice, sia che si tratti di una vera decomposizione (in somma) come nella scomposizione di Dunford o di una fattorizzazione come nella maggior parte delle altre decomposizioni.

Riduzione di una matrice quadrata

• Ridurre una matrice è trovare una matrice simile ad essa che sia il più semplice possibile.
• Una matrice diagonalizzabile è una matrice simile a una matrice diagonale: A è diagonalizzabile se esiste una matrice invertibile P e una matrice diagonale D tale che A = P −1 DP .
• Su un campo algebricamente chiuso abbiamo la riduzione di Jordan che è ottima e ci sono decomposizioni intermedie come la decomposizione di Dunford che usa i sottospazi caratteristici o quella di Frobenius che usa i sottospazi ciclici .
• I polinomi di endomorfismo giocano un ruolo cruciale nelle tecniche di riduzione.

LU decomposizione

• È una fattorizzazione del prodotto di due matrici triangolari.
• In connessione con il pivot di Gauss, è un metodo che permette di invertire una matrice.

Decomposizione QR

• È un risultato su matrici con coefficienti reali o con coefficienti complessi.
• È una fattorizzazione del prodotto di una matrice ortogonale e una matrice triangolare.
• È una traduzione matriciale del processo di Gram-Schmidt .

decomposizione polare

• È un risultato su matrici con coefficienti reali o con coefficienti complessi.
• E' una fattorizzazione in prodotto di una matrice ortogonale e di una matrice simmetrica definita positiva nel caso reale, in prodotto di una matrice unitaria e di una matrice hermitiana definita positiva nel caso complesso.
• Possiamo decomporre a destra oa sinistra.
• Si ha unicità della fattorizzazione per le matrici invertibili.

Standard

Norme algebriche

In tutto questo paragrafo, K = ℝ o ℂ .

Una norma matriciale è una norma algebra sulla algebra M n ( K ) , che è uno spazio vettoriale norma che è inoltre sub-moltiplicativa.

Il raggio spettrale di una matrice quadrata A con coefficienti complessi è il modulo più grande dei suoi autovalori . È uguale al limite inferiore delle norme matriciali di A .

Su M n ( K ) , ogni norma N subordinata a una norma su K n è una norma algebrica che soddisfa inoltre N ( I n ) = 1 (falso è il contrario).

Struttura spaziale vettoriale euclidea

Lo spazio vettoriale M m , n (ℝ ) , canonicamente isomorfo a ℝ mn , eredita la sua struttura euclidea . Il prodotto scalare si trascrive come

(A,B)∈mm,non(R)×mm,non(R)↦⟨A,B⟩: =vero⁡(TA B)=Σ1≤io≤m1≤J≤nonaioJBioJ∈R,{\ displaystyle (A, B) \ in M_ {m, n} (\ mathbb {R}) \ times M_ {m, n} (\ mathbb {R}) \ mapsto \ langle A, B \ rangle: = \ operatorname {tr} ({} ^ {\ operatorname {t}} \! A ~ B) = \ sum _ {\ scriptstyle 1 \ leq i \ leq m \ atop \ scriptstyle 1 \ leq j \ leq n} a_ {ij } b_ {ij} \ in \ mathbb {R},}

dove denota la traccia (ie, ) e a i , j (resp. b i , j ) denotano gli elementi di A (resp. B ). Lo standard associato a questo prodotto scalare è lo standard di Frobenius o lo standard Hilbert-Schmidt  : vero{\ displaystyle \ nomeoperatore {tr}}verom=Σio=1nonmioio{\ displaystyle \ textstyle \ operatorname {tr} \, M = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {ii}}

‖A‖F=(Σ1≤io≤m1≤J≤nonaio,J2)12=‖σ(A)‖2,{\ displaystyle \ | A \ | _ {F} = \ left (\ sum _ {1 \ leq i \ leq m \ atop 1 \ leq j \ leq n} a_ {i, j} ^ {2} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} = \ | \ sigma (A) \ | _ {2},}

dove σ ( A ) è il vettore dei valori singolari di A ed è la norma euclidea . ‖⋅‖2{\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {2}}

Se m = n > 1 , non è una norma subordinata, poiché‖ionon‖F=non≠1.{\ displaystyle \ | I_ {n} \ | _ {F} = {\ sqrt {n}} \ neq 1.}

La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è scritta (come per qualsiasi prodotto scalare):

∀A,B∈Rm×non,⟨A,B⟩⩽‖A‖F‖B‖F.{\ displaystyle \ forall A, B \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times n}, \ langle A, B \ rangle \ leqslant \ | A \ | _ {F} \, \ | B \ | _ { F}.}

Questa disuguaglianza può essere rafforzata dalla disuguaglianza della traccia di von Neumann  :

∀A,B∈Rm×non,⟨A,B⟩⩽σ(A)Tσ(B),{\ displaystyle \ forall A, B \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times n}, \ langle A, B \ rangle \ leqslant \ sigma (A) ^ {\ mathsf {T}} \ sigma (B) ,}

dove σ ( A ) è il vettore dei valori singolari di A , disposti in ordine decrescente . Ha la stessa struttura della disuguaglianza Ky Fan , che assume che le matrici siano quadrate e simmetriche (possiamo quindi sostituire σ (•) con il vettore degli autovalori).

Lo spazio vettoriale M m, n (ℂ) è dotato di una struttura simile allo spazio hermitiano .

Esponenziale di una matrice

Sia A ∈ M n (ℂ) o N algebra standard e tutta una serie di raggi di convergenza R . Σanonznon{\ displaystyle \ sum a_ {n} z ^ {n}}

Allora se N ( A ) < R , la serie è assolutamente convergente . (Lo mostriamo usando che N ( A n ) ≤ N ( A ) n .) ΣanonAnon{\ displaystyle \ sum a_ {n} A ^ {n}}

In particolare, si può definire, per qualsiasi matrice quadrata complessa, la quantità

esp⁡(A)=ΣK=0+∞1K!AK{\ displaystyle \ exp (A) = \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {k!}} A ^ {k}}

Il calcolo effettivo di questo esponenziale avviene per riduzione della matrice .

L'esponenziale gioca un ruolo centrale nello studio dei sistemi lineari di equazioni differenziali .

Note e riferimenti

1. Capitolo 8: Fang cheng - La disposizione rettangolare  : problemi con più incognite, risolti secondo un principio simile all'eliminazione di Gauss .
2. (en) Discrete Mathematics 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Addison Wesley, 10 ottobre 2001, ( ISBN  978-0321079121 ) (pagine 564-565).
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5. Molte fonti affermano che lo fece nel 1848, ma Sylvester non pubblicò nulla quell'anno. (vedi The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester (Cambridge, England: Cambridge University Press, 1904), vol. 1. ). Il suo primo uso del termine matrice , nel 1850, appare in Aggiunte agli articoli nel numero di settembre di questa rivista, "On a new class of theorems", e sul teorema di Pascal , The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine e Journal of Scienza , 37  : 363-370. (1850), pagina 369  : “  A questo scopo dobbiamo cominciare, non con un quadrato, ma con una disposizione oblunga di termini consistente, supponiamo, di m righe e n colonne. Questo non rappresenterà di per sé un determinante, ma è, per così dire, una Matrice dalla quale possiamo formare vari sistemi di determinanti […]  ” .
6. “  In articoli precedenti ho definito una “Matrice” come un insieme rettangolare di termini, da cui diversi sistemi di determinanti possono essere generati dal grembo di un genitore comune  ” in The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837– 1853 , articolo 37 , pag. 247.
7. Phil. Trans. 1858, vol. 148, pagg. 17-37 Matematica. Carte II 475-496.
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15. "Diamo il nome di matrice a qualsiasi funzione, di tante variabili comunque, che non coinvolga nessuna variabile apparente. Quindi qualsiasi funzione possibile diversa da una matrice è derivata da una matrice mediante generalizzazione, cioè considerando la proposizione che asserisce che la funzione in questione è vera con tutti i valori possibili o con qualche valore di uno degli argomenti , l'altro argomento o gli altri argomenti rimangono indeterminati”. Alfred North Whitehead e Bertrand Russell, Principia Mathematica to * 56 , Cambridge at the University Press, Cambridge UK (ristampa del 1913, 1962) vedi p. 162.
16. (in) Alfred Tarski, Introduzione alla logica e alla metodologia delle scienze deduttive , Dover Publications, Inc., New York, NY, 1946 ( ISBN  0-486-28462-X ) . ( leggi in linea )
17. Cfr. N. Bourbaki , Algebra, capitoli da 1 a 3 , Springer ,2006, 2 °  ed. ( leggi online ) , A II.139, che parla anche di "matrice vuota" nel caso in cui I o J sia l' insieme vuoto .
18. Possiamo notare che questo prodotto è dato da una formula simile a quella che dà il consueto prodotto scalare ; questa osservazione verrà utilizzata in seguito .
19. Nel caso più generale di insiemi di indici possibilmente infiniti, possiamo chiedere a K di avere una topologia , per definire il prodotto come somma di una serie (convergente). Senza topologia si può anche chiedere alle colonne (o righe) delle matrici di contenere solo un numero finito di elementi diversi da zero; questo è sempre il caso anche quando queste matrici rappresentano mappe lineari tra spazi vettoriali provvisti di basi, anche infinite. Paul Halmos , che dà queste varie definizioni, aggiunge tuttavia che “  Non molto della teoria delle matrici si trasferisce negli spazi a dimensione infinita, e ciò che fa non è così utile, ma a volte aiuta.  " (La teoria delle matrici si estende ad alcuni spazi dimensionali infiniti, che estende non è utile, ma a volte può aiutare ) in P. Halmos, A Hilbert space problem book 1982, p.  23 .
20. Questa definizione e le proprietà associate generalizzare liberi destra K -moduli di tipo finito su un anello (non necessariamente commutativa ).
21. Cfr. ad esempio: (en) Henri Bourlès e Bogdan Marinescu , Sistemi lineari variabili nel tempo: approccio algebrico-analitico , Springer,2011, 638  pag. ( ISBN  978-3-642-19726-0 e 3-642-19726-4 , leggi online ), §§ 2.2.4-2.2.6; questa formulazione è molto comune nella teoria dei D- moduli .
22. J. von Neumann (1937). Alcune disuguaglianze matriciali e metrizzazione dello spazio-matrice. Rassegna dell'Università di Tomsk , 1, 286-300. Opere complete , Pergamon, Oxford, 1962, Volume IV, 205-218

Vedi anche

Bibliografia

• J.-M. Arnaudiès e H. Fraysse, Corso di matematica , Dunod, 1980
• Rached Mneimné, Riduzione degli endomorfismi , Calvage e Mounet, Paris, 2006 ( ISBN  978-2-916352-01-5 )
• P. Wira, Un promemoria sulle matrici , materiale didattico, University of Haute Alsace, Mulhouse, 2000

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link esterno

• Frédéric Brechenmacher, Le matrici: forme di rappresentazione e pratiche operative (1850-1930)