Legge sulla composizione interna

In matematica , precisamente in algebra generale , una legge di composizione interna viene applicata , che in due elementi di un insieme E , combina un elemento E . In altre parole, è un'operazione binaria per cui E è stabile .

L' addizione e la moltiplicazione nell'insieme dei numeri naturali sono esempi classici di legge di composizione interna.

Le leggi di composizione interna ed esterna servono a definire le strutture algebriche , che occupano un posto privilegiato nell'algebra generale .

Presentazione

Abbiamo tutti fin dalla scuola elementare un'idea abbastanza buona del concetto di operazioni come addizione, sottrazione, moltiplicazione o divisione. Un'operazione (interna) in un insieme è una relazione interna in questo insieme, che, con due elementi qualsiasi di questo insieme, chiamati operandi , associa possibilmente un terzo, unico, risultato chiamato , sempre in questo stesso insieme.

Affinché l' operazione considerata sia effettivamente una legge di composizione interna , deve avere un significato qualunque siano i due elementi dell'insieme scelto (diciamo formalmente che l'operazione deve essere definita ovunque). In tal modo :

• la divisione non è una legge di composizione interna in ℝ , perché non possiamo dividere per zero: ad esempio, "3/0" non ha senso. Ma questa stessa divisione è una legge di composizione interna in ℝ * (insieme di numeri reali privato di 0). Infine questa stessa operazione non è una legge interna di composizione in ℤ * perché 2/3 non è un numero intero relativo .
• la sottrazione può o meno essere una legge di composizione interna a seconda dell'insieme di numeri considerato:
  • se si tratta dell'insieme dei soliti numeri, noti come interi naturali {0, 1, 2, 3, ...}, non è uno, poiché "3 - 5", ad esempio, n non restituisce alcun di questi soliti numeri.
  • se, al contrario, scegliamo l'insieme degli interi relativi, che oltre agli interi naturali, contiene gli interi negativi {..., –3, –2, –1}, allora la sottrazione è appunto una legge di composizione interna .

Fondamentalmente una legge di composizione interna in un insieme E , o semplicemente una legge in E , è un processo che dà un risultato in E per tutte le possibili coppie di elementi E .

Esempi

Nell'insieme degli interi relativi, l' addizione è una legge di composizione interna avente tra le altre le seguenti proprietà, che saranno definite più formalmente nella seconda parte dell'articolo:

• 0 è un elemento neutro per questa legge: aggiungendolo a qualsiasi numero si ottiene di nuovo questo numero: ad esempio, 5 + 0 = 5 e 0 + 8 = 8;
• per ogni intero, esiste un altro numero, il suo opposto (il termine generale è elemento simmetrico ), come aggiunto al primo, restituisce l'elemento neutro a 0. L' opposto è notato come il segno intero iniziale cambiato. Quindi: 3 + (–3) = 0;
• possiamo scambiare i due elementi attorno al segno "   ": 3 + 5 = 5 + 3 = 8. Diciamo che l'operazione è commutativa  ;+{\ displaystyle +}
• possiamo raggruppare gli elementi a piacere aggiungendone più di due: 3 + 5 + 4 possono essere calcolati in due modi:
  • calcolando prima 3 + 5 = 8 e poi aggiungendo 4 al risultato,
  • oppure calcolando 5 + 4 = 9 prima di calcolare 3 + 9.

Questi due metodi portano allo stesso risultato, che notiamo: (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4). Diciamo che l'operazione è associativa .

Queste quattro proprietà, esistenza di un elemento neutro , esistenza di simmetria , commutatività , associatività , possono essere trovate per altri insiemi e altre leggi. Possiamo così studiare tutte le traslazioni (cioè gli spostamenti in linea retta: per esempio, per spostarci di 3 metri a sinistra e 2 metri in alto), e una legge di composizione interna su questo set, la composizione  : di due traslazioni consistenti semplicemente nel fare il primo spostamento, poi il secondo. Le stesse proprietà si riscontrano per la composizione come per l'aggiunta:

• il neutro è traslazione zero, consistente nel non muoversi;
• la simmetria di una traslazione consiste nel fare lo stesso spostamento nell'altra direzione (3 metri a destra e 2 metri più in basso per l'esempio precedente): se facciamo entrambe le cose in successione, è come se stessimo facendo lo spostamento zero;
• possiamo fare gli spostamenti nell'ordine che vogliamo, troviamo la commutatività e l' associatività .

L'insieme di interi relativi con addizione e l'insieme di traduzioni con composizione hanno queste semplici proprietà in comune. Un insieme e una legge che hanno queste quattro proprietà particolari sono chiamati in algebra gruppo abeliano . L' algebra generale cercherà quindi di cercare proprietà più complesse che derivano da queste prime quattro. Queste nuove proprietà sarà quindi valido anche per l'insieme degli interi relativi come per quella delle traduzioni, e per qualsiasi altro set e qualsiasi altra legge di composizione interna avente la struttura di un gruppo abeliano, senza che sia necessario farlo. Restart per ciascuno.

Definizione formale

Detta legge composizione interna su un insieme E qualsiasi attuazione del prodotto cartesiano E × E in E . ∗{\ displaystyle * \,}

Un insieme E dotato di una legge di composizione interna costituisce una struttura algebrica chiamata magma e annotata “( E , )”. ∗{\ displaystyle * \,} ∗{\ displaystyle * \,}

Alcuni esempi banali, per un insieme non vuoto E :

• mappe costanti: se c appartiene a E  : ∀ x ∈ E , ∀ y ∈ E ,   x y   = c  ;∗{\ displaystyle \, *}
• l'applicazione selezionando il termine a sinistra: ∀ x ∈ E , ∀ y ∈ E ,   x y   = x  ;∗{\ displaystyle \, *}
• l'applicazione selezionando il termine a destra: ∀ x ∈ E , ∀ y ∈ E ,   x y   = y .∗{\ displaystyle \, *}

Elementi speciali

Quadrati e derivati

• un elemento si dice quadrato se:   vs{\ displaystyle c \,}∃ X∈E, X∗X=vs{\ displaystyle \ esiste \ x \ in E, \ x * x = c \,}

Al contrario, ogni elemento x   ha un quadrato unico, solitamente indicato con "  x 2  ". Se la legge viene annotata in modo additivo, il termine di doppio sarà usato preferibilmente a quello di quadrato . Esempio: in ℤ, il doppio di 3 (per l'addizione) è 6 e il suo quadrato (per la moltiplicazione) è 9.

• un elemento si dice idempotente (di ordine 2) o proiettore se:   S{\ displaystyle s \,}S∗S=S{\ displaystyle s * s = s \,}

In altre parole, questo elemento è il suo quadrato . Esempi:

• ogni elemento neutro di una legge è idempotente per quella legge;
• in ogni insieme numerico che li contiene, 0 e 1 sono gli unici elementi idempotenti per la moltiplicazione.

Neutri e derivati

Si dice un elemento : e{\ displaystyle e}

• neutro a sinistra se  ;∀X∈Ee∗X=X{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad e * x = x}
• neutro a destra se  ;∀X∈EX∗e=X{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad x * e = x}
• neutro quando è neutro a destra ea sinistra.

Esempi

• In ℝ, l'elemento neutro dell'addizione è 0 e quello della moltiplicazione è 1.
• Nella serie di parti di un insieme X , l' insieme vuoto è neutra per l' unione e l'insieme X è neutra per l'intersezione .

Tutto ciò che è neutro a sinistra oa destra è idempotente.

Se c'è un elemento neutro a sinistra e un elemento neutro a destra, la legge ammette un elemento neutro univoco e qualsiasi elemento neutro a sinistra oa destra è uguale ad esso.

Quando è presente un elemento neutro  : e{\ displaystyle e}

• si dice che un elemento sia involutivo se . S{\ displaystyle s}S∗S=e{\ displaystyle s * s = e}L'unico elemento involutivo e idempotente è l'elemento neutro;
• si dice che un elemento sia simmetrico alla sinistra dell'elemento si . L'elemento è quindi simmetrico a destra dell'elemento .a{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}a∗b=e{\ displaystyle a * b = e}b{\ displaystyle b}a{\ displaystyle a}

Assorbenti e derivati

Si dice un elemento : a{\ displaystyle a}

• assorbente a sinistra se  :;∀X∈Ea∗X=a{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad a * x = a}
• assorbente a destra se  :;∀X∈EX∗a=a{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad x * a = a}
• assorbente se è assorbente a destra ea sinistra.

Esempi

• In ℝ, 0 è assorbente per la moltiplicazione.
• Nell'insieme di parti di un insieme X , l'insieme vuoto è assorbente per l'intersezione e l'insieme X è assorbente per l'unione.

Qualsiasi elemento assorbente a sinistra oa destra è idempotente.

Se c'è un elemento assorbente a sinistra e un elemento assorbente a destra, la legge ammette un singolo elemento assorbente e qualsiasi elemento assorbente a sinistra oa destra è uguale ad esso.

Quando la legge ammette un elemento assorbente , un elemento si dice nilpotente (di ordine 2) se . 0{\ displaystyle 0}X{\ displaystyle x}X∗X=0{\ displaystyle x * x = 0}

Centro di una struttura

Si dice che un elemento sia centrale se . vs{\ displaystyle c}∀X∈EX∗vs=vs∗X{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad x * c = c * x}

Gli elementi neutri e assorbenti bilaterali sono centrali.

Chiamato centro di E , e si scrive Z ( E ), tutti elementi centrale E .

Regolari e derivati

Si dice un elementoS∈E{\ displaystyle s \ in E}

• regolare a sinistra o semplificato a sinistra se:

∀ (X,y)∈E2 (S∗X=S∗y⇒X=y){\ Displaystyle \ forall \ (x, y) \ in E ^ {2} \ (s * x = s * y \ Rightarrow x = y)} ;

• regolare a destra o semplificato a destra se:

∀ (X,y)∈E2 (X∗S=y∗S⇒X=y){\ Displaystyle \ forall \ (x, y) \ in E ^ {2} \ (x * s = y * s \ Rightarrow x = y)};

• regolare o semplificato quando è regolare a destra ea sinistra  ;
• divisore di zero a sinistra se è presente un elemento assorbente (ovviamente unico), diverso da, e se:;a{\ displaystyle a}S{\ displaystyle s}∃ r∈E (r≠a∧S∗r=a){\ displaystyle \ esiste \ r \ in E \ (r \ neq a \ wedge s * r = a)}
• divisore di zero a destra se v'è un elemento assorbente diverso da e: .a{\ displaystyle a}S{\ displaystyle s}∃ r∈E (r≠a∧r∗S=a){\ displaystyle \ esiste \ r \ in E \ (r \ neq a \ wedge r * s = a)}

I divisori di zero sono irregolari . Gli elementi nilpotenti diversi dall'elemento assorbente sono divisori di zero .

Coppie di elementi

Le coppie di elementi possono anche avere proprietà particolari:

• due elementi e si dice permutabile o commutabile se:r{\ displaystyle r \,}S{\ displaystyle s \,}r∗S=S∗r{\ displaystyle r * s = s * r \,}
• due elementi permutabili e si dirà simmetrico o invertibile se: r{\ displaystyle r \,}S{\ displaystyle s \,}
  • c'è un elemento neutro ,e{\ displaystyle e \,}
  • e :;r∗S=e{\ displaystyle r * s = e}
• due elementi permutabili e saranno chiamati divisori di zero o disintegranti se: r{\ displaystyle r \,}S{\ displaystyle s \,}
  • c'è un elemento assorbente ,a{\ displaystyle a \,}
  • e nessuno dei due elementi è uguale a ,a{\ displaystyle a \,}
  • e :;r∗S=a{\ displaystyle r * s = a}

Esempio: per interi relativi, 0 è neutro per addizione, assorbente per moltiplicazione e neutro destro per sottrazione.

Proprietà

Alcune proprietà delle leggi sulla composizione interna, che sono di particolare interesse, hanno ricevuto un nome. Lascia un magma ( E , ); la legge può presentare le seguenti proprietà: ∗{\ displaystyle * \,}∗{\ displaystyle * \,}

Esistenza di elementi notevoli

Si dice una legge

• unifica a sinistra se è presente un elemento neutro a sinistra. Una legge può avere più elementi neutri a sinistra, a condizione che non abbia un elemento neutro a destra;
• unificare a destra se è presente un elemento neutro a destra. Una legge può presentare più elementi neutri a destra, purché non presenti un elemento neutro a sinistra;
• unificato (a volte unitario ) se c'è un elemento neutro (che è quindi unico).

Regolarità e proprietà correlate

• ∗{\ displaystyle * \,}si dice regolare a sinistra o semplificabile a sinistra se tutti gli elementi di E sono regolari a sinistra , cioè se:

∀ (X,y,z)∈E3, (X∗y=X∗z)⇒(y=z){\ Displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ in E ^ {3}, \ (x * y = x * z) \ Rightarrow (y = z) \,}

• ∗{\ displaystyle * \,}si dice regolare a destra o semplificabile a destra se tutti gli elementi di E sono regolari a destra , cioè se:

∀ (X,y,z)∈E3, (y∗X=z∗X)⇒(y=z){\ displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ in E ^ {3}, \ (y * x = z * x) \ Rightarrow (y = z) \,}

• ∗{\ displaystyle * \,}si dice regolare o semplificabile se tutti gli elementi di E sono regolari , cioè se:

∀ (X,y,z)∈E3, [ (X∗y=X∗z)∨(y∗X=z∗X) ]⇒(y=z){\ displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ in E ^ {3}, \ [\ (x * y = x * z) \ lor (y * x = z * x) \] \ Rightarrow (y = z) \,} Una legge è regolare se e solo se è regolare a sinistra e regolare a destra .

Associatività e proprietà analoghe

Si dice una legge : ∗{\ displaystyle *}

• associativo se: ∀(X,y,z)∈E3X∗(y∗z)=(X∗y)∗z{\ displaystyle \ forall \ left (x, y, z \ right) \ in E ^ {3} \ quad x * (y * z) = (x * y) * z}. L'associatività di una legge permette di fare a meno delle parentesi quando si ripete la legge; la maggior parte delle leggi interessanti sono associative (esempi: addizione, moltiplicazione, composizione di relazioni binarie …);
• alternativa se: ∀(X,y)∈E2[X∗(X∗y)=(X∗X)∗ye(X∗y)∗y=X∗(y∗y)]{\ displaystyle \ forall \ left (x, y \ right) \ in E ^ {2} \ quad \ left [x * (x * y) = (x * x) * y \ quad {\ text {e}} \ quad (x * y) * y = x * (y * y) \ right]}. Questa proprietà è più debole dell'associatività;
• poteri associativi se, quando un elemento viene composto da se stesso più volte, l'ordine in cui queste composizioni vengono eseguite non influenza il risultato (il che implica in particolare :). X∗(X∗X)=(X∗X)∗X{\ displaystyle x * (x * x) = (x * x) * x}Quando questa proprietà è verificata, è possibile introdurre la nozione di potenza di un elemento (da cui il nome della proprietà):
  • la potenza n- esima di un elemento x , solitamente indicata con x n , è uguale al risultato della composizione di x secondo , ( n - 1) volte con se stesso; quindi, x 1 = x , x 2 = x x , x 3 = x x x ,  ecc.∗{\ displaystyle *} ∗{\ displaystyle *} ∗{\ displaystyle *} ∗{\ displaystyle *}
  • se inoltre la legge presenta un elemento neutro e , poniamo x 0 = e∗{\ displaystyle *}
  • se inoltre l'elemento x è invertibile ( vedi sotto ), poniamo x –n = ( x n ) −1 .

Altre proprietà

Si dice una legge∗{\ displaystyle *}

• si integra se ammette un elemento assorbente e se nessun elemento è un divisore di zero;
• commutativo se.∀ (X,y)∈E2X∗y=y∗X{\ displaystyle \ forall \ (x, y) \ in E ^ {2} \ quad x * y = y * x}

L'elenco di proprietà di cui sopra non è esaustivo, tutt'altro. Tuttavia, in questo paragrafo ci occuperemo solo di un altro caso: nelle strutture algebriche comprendenti più leggi, alcune di queste leggi hanno proprietà relative ad altre leggi. La più importante di queste leggi relative è la distributività.

• Una legge è distributiva a sinistra rispetto ad un'altra legge se:∗{\ displaystyle *} ⊥{\ displaystyle \ bot}∀ (X,y,z)∈E3X∗(y⊥z)=(X∗y)⊥(X∗z){\ displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ in E ^ {3} \ quad x * (y \ bot z) = (x * y) \ bot (x * z) \,}
• Una legge è di destra distributiva rispetto ad un'altra legge se:∗{\ displaystyle *} ⊥{\ displaystyle \ bot}∀ (X,y,z)∈E3(X⊥y)∗z=(X∗z)⊥(y∗z){\ displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ in E ^ {3} \ quad (x \ bot y) * z = (x * z) \ bot (y * z) \,}
• Una legge è distributiva rispetto ad un'altra se è sia distributiva destra che sinistra rispetto a∗{\ displaystyle *}⊥{\ displaystyle \ bot}⊥{\ displaystyle \ bot}

Ad esempio, la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione.

Nota: se inoltre è regolare e unificato, allora il suo elemento neutro è necessariamente assorbente per la legge . Questo spiega, tra l'altro, perché, in un campo commutativo , l'elemento neutro della prima legge non ha una simmetria dalla seconda legge. ⊥{\ displaystyle \ bot}∗{\ displaystyle *}

Reversibilità

Questa importante proprietà merita un paragrafo a parte. Ci collocheremo in un magma ( E , ) la cui legge unificata assumeremo quindi che abbia un elemento neutro . È quindi possibile definire i seguenti concetti: ∗{\ displaystyle * \,}e{\ displaystyle e \,}

• un elemento si dice simmetrizzabile a sinistra o invertibile a sinistra se:S{\ displaystyle s \,}

∃ S′∈E, S′∗S=e{\ displaystyle \ esiste \ s '\ in E, \ s' * s = e \,} s ' è quindi chiamato elemento simmetrico a sinistra di s  ;

• un elemento si dice simmetrizzabile a destra o invertibile a destra se:S{\ displaystyle s \,}

∃ S′∈E, S∗S′=e{\ displaystyle \ esiste \ s '\ in E, \ s * s' = e \,} s ' è quindi chiamato elemento simmetrico a destra di s  ;

• Qualsiasi elemento che può essere invertito a sinistra è regolare a sinistra, e allo stesso modo a destra. Se E è finito, è vero il contrario perché qualsiasi iniezione di E in E è quindi suriettiva (vedere le proprietà delle biiezioni ).
• un elemento si dice simmetrizzabile o invertibile quando è invertibile a destra ea sinistra e le due simmetriche sono uguali;S{\ displaystyle s \,}

s ' è quindi chiamato elemento simmetrico di s .

• la legge si dice simmetrizzabile a sinistra o invertibile a sinistra se tutti gli elementi di E sono invertibili a sinistra ;∗{\ displaystyle * \,}
• si dice che la legge è simmetrizzabile a destra o invertibile a destra se tutti gli elementi di E sono invertibili a destra  ;∗{\ displaystyle * \,}
• la legge si dice simmetrizzabile o invertibile se tutti gli elementi di E sono invertibili .∗{\ displaystyle * \,}

Se la legge è inoltre associativa , vi è unicità, per gli elementi simmetrizzabili a sinistra (rispettivamente a destra ), del loro simmetrico a sinistra (rispettivamente a destra). E se un elemento s è simmetrizzabile a destra ea sinistra allora le sue simmetriche a sinistra ea destra sono necessariamente uguali tra loro e questo elemento è quindi simmetrizzabile. La sua simmetria è quindi solitamente indicata con "  s -1  ". ∗{\ displaystyle * \,}

Esempi:

• 2 non è simmetrizzabile per l' addizione in numeri naturali  ;
• 2 è simmetrizzabile, con –2 simmetrico, per addizione in interi relativi  ;
• 2 non è invertibile per il prodotto in numeri interi relativi;
• 2 è invertibile, inversamente 1/2, per il prodotto nei razionali .

Nota :

Quando la legge è annotata in modo additivo, il simmetrico è piuttosto chiamato opposto , e quando la legge è annotata in modo moltiplicativo, il simmetrico è piuttosto chiamato inverso .

Numero di leggi di composizione interna su un insieme di n elementi

Sia E un insieme con n elementi.

Il numero di leggi di composizione interna su E è il numero di mappature da E × E a E , ad es.

non(non2){\ displaystyle n ^ {(n ^ {2})}}.

Possiamo anche contare quanti di loro sono commutativi. Una legge commutativa su E è interamente determinata dal suo valore x✲y = y✲x per le coppie { x, y } e dal suo valore x✲x per i singleton { x }. Il numero di queste coppie e single essendo , il numero di leggi commutative su E 'quindi Γnon2=(non+12)=non(non+1)2{\ displaystyle \ Gamma _ {n} ^ {2} = {n + 1 \ scegli 2} = {\ frac {n (n + 1)} {2}}}

nonnon(non+1)/2 {\ displaystyle n ^ {n (n + 1) / 2} ~}.

Vedi anche

• Algebra universale
• Morfismo

Nota

1. Questo uso dell'espressione "operazione binaria" è ispirato all'espressione inglese "operazione binaria" , usata al posto di "legge di composizione". In matematica, la parola "  operazione  " può anche designare qualcosa di diverso da una legge di composizione interna.

Riferimenti

• N. Bourbaki , Elementi di matematica , vol.  II: Algebra, capitoli da 1 a 3 , Berlino, Springer,1970( Repr.2007  ), 2 °  ed. ( ISBN  978-3-540-33849-9 , presentazione online )
• Serge Lang , Algebra [ dettaglio delle edizioni ]

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