Iniezione (matematica)

Una mappa f si dice iniettiva o è un'iniezione se un qualsiasi elemento del suo insieme di arrivo ha al massimo un antecedente per f , il che equivale a dire che due elementi distinti del suo insieme di partenza non possono avere la stessa immagine per f .

Quando gli insiemi iniziale e finale di f sono entrambi uguali alla linea reale ℝ, f è iniettivo se e solo se il suo grafico interseca qualsiasi linea orizzontale al massimo in un punto.

Se un'applicazione iniettiva è anche suriettiva , si dice biunivoca .

Definizione formale

Una mappa f  : X → Y è iniettiva se per ogni y ∈ Y , esiste al massimo un x ∈ X tale che f ( x ) = y , che si scrive:

∀X∈X∀X'∈X(F(X)=F(X')⇒X=X'){\ displaystyle \ forall x \ in X \ quad \ forall x '\ in X \ quad \ left (f (x) = f (x') \ Rightarrow x = x '\ right)}.

L'implicazione precedente è equivalente alla sua contrapposta  :

∀X∈X∀X'∈X(X≠X'⇒F(X)≠F(X')){\ displaystyle \ forall x \ in X \ quad \ forall x '\ in X \ quad \ left (x \ neq x' \ Rightarrow f (x) \ neq f (x ') \ right)}.

Esempio concreto

Prendiamo il caso di un luogo di villeggiatura dove un gruppo di turisti deve essere ospitato in un albergo. Ogni modo di distribuire questi turisti nelle stanze dell'albergo può essere rappresentato da un'applicazione dell'insieme dei turisti, X , a tutte le stanze, Y (ogni turista è associato ad una stanza).

• L'albergatore vuole che la domanda sia suriettiva , cioè che ogni camera sia occupata . Questo è possibile solo se ci sono almeno tanti turisti quante sono le stanze.
• I turisti vogliono che l'applicazione sia iniettiva, vale a dire che ognuno di loro ha una stanza individuale . Questo è possibile solo se il numero dei turisti non supera il numero delle camere.
• Questi vincoli sono compatibili solo se il numero dei turisti è uguale al numero delle camere. In questo caso sarà possibile distribuire i turisti in modo che ce ne sia uno solo per camera, e che tutte le camere siano occupate: l'applicazione sarà quindi sia iniettiva che suriettiva; diremo che è biunivoco .

Esempi e controesempi

Considera la mappa f  : ℝ → ℝ definita da f ( x ) = 2 x  + 1. Questa mappa è iniettiva (e anche biunivoca), poiché per tutti i numeri reali arbitrari x e x ′ , se 2 x  + 1 = 2 x ′  + 1 quindi 2 x  = 2 x ′ , cioè x  =  x ′ .

D'altra parte, la mappa g  : ℝ → ℝ definita da g ( x ) = x 2 non è iniettiva, perché (ad esempio) g (1) = 1 = g (−1).

D'altra parte, se definiamo la mappa h  : ℝ +  → ℝ con la stessa relazione di g , ma con l' insieme di definizione ristretto all'insieme dei reali positivi , allora la mappa h è iniettiva. Una spiegazione è che, per dati reali positivi arbitrari x e x , se x 2  =  x ′ 2 , allora | x | = | x ′ |, quindi x  = x ′ .

Proprietà

• Sia f un'applicazione X in Y .
  • f è iniettivo (se e) solo se X è l' insieme vuoto o se esiste una mappa g  :  Y  →  X tale che g ∘ f è uguale all'identità della mappa su X , cioè se e solo se X è vuoto o f è lasciato invertibile .
  • f è iniettivo se (e solo se) è semplificato a sinistra , cioè che per tutte le mappature g , h  :  Z  →  X , f ∘ g = f ∘ h implica g  = h . In altre parole, le mappe iniettive sono proprio i monomorfismi della categoria degli insiemi .
  • Per qualsiasi mappa g da Y a Z  :
    1. se la mappa composta g ∘ f è iniettiva allora f è iniettiva;
    2. se f e g sono iniettive allora g ∘ f è iniettivo;
    3. se f è suriettiva e se g ∘ f è iniettiva allora g è iniettiva.
  • Le seguenti quattro proprietà sono equivalenti:
    • f è iniettivo;
    • ogni parte A di X è l' immagine inversa della sua immagine diretta  : f −1 ( f ( A )) = A  ;
    • per tutte le parti A e B di X , abbiamo f ( A  ∩  B ) = f ( A ) ∩  f ( B );
    • per ogni parte A di X , l'immagine diretta del complemento di A è inclusa nel complemento dell'immagine diretta di A , cioè f ( X \ A ) ⊂ Y \ f ( A ).
• Qualsiasi mappa h  :  Z  →  Y può essere scomposta come h  = f ∘ g per un'opportuna iniezione fe una suriezione g . Questa scomposizione è unica tranne che per un singolo isomorfismo , e f può essere scelta uguale all'iniezione canonica , dell'immagine h ( Z ) di h , nell'insieme di arrivo Y di h .
• Se f  :  X  →  Y è iniettivo, allora Y ha almeno tanti elementi quanti X , nel senso di cardinali .
• Se indichiamo con E ≤ F proprietà “esiste un'iniezione dell'insieme E nel set F  ”, quindi ≤ è un “  preordine  ” (in senso lato, cioè una corretta classe : quella di tutti i set), che induce un “  ordine  ” sulla classe dei cardinali. La riflessività e la transitività sono state elaborate durante gli esempi precedenti e l'antisimmetria è l'oggetto del teorema di Cantor-Bernstein . Il fatto che questo ordine sia totale , cioè che per due insiemi E ed F , abbiamo almeno una delle relazioni E ≤ F o F ≤ E , si dimostra usando il lemma di Zorn , c 'è il teorema cardinale di comparabilità . Questo risultato è addirittura equivalente all'assioma della scelta .
• Un morfismo di un gruppo X in un gruppo Y è iniettivo se e solo se il suo nucleo è ridotto a gruppo sub- banale del gruppo X .

Storia

Il termine "iniezione" fu coniato da MacLane nel 1950 mentre l'aggettivo "iniettivo" apparve due anni dopo, nel 1952, nei Fondamenti di topologia algebrica di Eilenberg e Steenrod .

Note e riferimenti

1. Vedi ad esempio gli esercizi corretti del capitolo "Iniezione, suriezione, biiezione" su Wikiversità .
2. (in) Jeff Miller "  Usi più antichi conosciuti di alcune parole della matematica (I)  " .