Rank (algebra lineare)

il rango di una famiglia di vettori è la dimensione del sottospazio vettoriale generato da questa famiglia. Ad esempio, per una famiglia di vettori linearmente indipendenti , il suo rango è il numero di vettori;
il rango di una mappa lineare di in è la dimensione della sua immagine , che è un sottospazio vettoriale di . Il teorema del rango mette in relazione la dimensione di , la dimensione del nucleo di e il rango di ; ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$
il rango di una matrice è il rango della mappa lineare che rappresenta , o il rango della famiglia dei suoi vettori colonna;
il rango di un sistema di equazioni lineari è il numero di equazioni in qualsiasi sistema in scala equivalente. È uguale al rango della matrice dei coefficienti del sistema.

Rango di una matrice

Il rango di una matrice (i cui coefficienti appartengono a un campo commutativo di scalari , ), indicato , è: $A$ $\ mathbb {K}$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (A)}$

il numero massimo di vettori riga (o colonna) linearmente indipendenti;
la dimensione del sottospazio vettoriale generato dai vettori riga (o colonna) di ; $A$
il maggiore degli ordini delle matrici quadrate invertibili da cui si estrae ; $A$
il più grande degli ordini dei minori diversi da zero di ; $A$
la più piccola delle dimensioni delle matrici e il cui prodotto è uguale a , tutti questi numeri sono uguali. $B$ $VS$ $A$

Il grado può essere determinato eseguendo un'eliminazione tramite il metodo Gauss-Jordan ed esaminando la forma del passo ottenuta in questo modo.

Esempio

Considera la seguente matrice:

A=(1023204602201243){\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\\ end { pmatrix}}}

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\\ end { pmatrix}}}

Chiamiamo i vettori formati dalle quattro linee di . $l_ {1}, l_ {2}, l_ {3}, l_ {4}$ $A$

Vediamo che il 2 ° riga è il doppio della prima fila, quindi la posizione di è uguale a quella della famiglia . $A$ $(l_ {1}, l_ {3}, l_ {4})$

Si noti inoltre che il 4 ° linea può essere formato sommando le linee 1 e 3 (cioè ). Quindi il rango di è uguale a quello di . $l_ {4} = l_ {1} + l_ {3}$ $(l_ {1}, l_ {3}, l_ {4})$ $(l_ {1}, l_ {3})$

Le linee 1 e 3 sono linearmente indipendenti (cioè non proporzionali). Quindi è il rango 2. $(l_ {1}, l_ {3})$

Infine, il grado di è 2. $A$

Un altro modo è calcolare una forma in scala di questa matrice. Questa nuova matrice ha lo stesso rango della matrice originale e il rango corrisponde al numero delle sue righe che sono diverse da zero. In questo caso, abbiamo due linee che corrispondono a questo criterio.

A′=(1023011000000000){\ displaystyle A '= {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle A '= {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}}}

Nota che il rango di una data matrice è uguale al rango della sua trasposizione . Per l'esempio, prendiamo la trasposizione della matrice A sopra:

tA=(1201002224243603){\ displaystyle ^ {\ text {t}} A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 0 e 3 \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle ^ {\ text {t}} A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 0 e 3 \\\ end {pmatrix}}}

Si è visto che il 4 ° linea è tre volte la prima, e che la terza linea è il secondo almeno il doppio del primo.

Dopo il ridimensionamento, otteniamo quindi:

(1201001100000000){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix} }}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix} }}

e il rango di questa matrice è effettivamente 2.

Rango di una forma quadratica

Il rango di una forma quadratica è il rango della matrice associata.

Rango di una mappa lineare

Dati due spazi-vector , dove è un corpo commutativo, e una mappatura lineare di in una riga della è la dimensione del quadro di . $K$ $E$ $F$ $K$ $f$ $E$ $F$ $f$ $f$

Se e sono di dimensioni finite, è anche il rango della matrice associata a in due basi di e . In particolare, il rango della matrice associata a non dipende dalle basi scelte per rappresentare . Infatti, la moltiplicazione a destra oa sinistra di una matrice invertibile non cambia il rango, che porta , dove si trova la matrice che rappresenta in una prima coppia di basi, e , di base cambia matrice . $E$ $F$ $f$ $E$ $F$ $f$ $f$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} \ left (P ^ {- 1} AQ \ right) = {\ text {rg}} (A)}$ $A$ $f$ $P$ $Q$

Grado di una famiglia di vettori

Per una famiglia, il suo rango corrisponde al numero massimo di vettori che una sottofamiglia libera di questa famiglia può contenere.
Classifica può anche definire una famiglia come: . $u$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (u) = \ dim ({\ text {Vect}} (u))}$

Nota: se è una famiglia di vettori indicizzati da numeri interi da 1 a , il rango di è il rango della mappa lineare $(u_ {1}, \ punti, u_ {n})$ $non$ $u$

Knon→E:(r1,...,rnon)↦∑riouio{\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n} \ rightarrow E: (r_ {1}, \ dots, r_ {n}) \ mapsto \ sum r_ {i} u_ {i}}

{\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n} \ rightarrow E: (r_ {1}, \ dots, r_ {n}) \ mapsto \ sum r_ {i} u_ {i}}

dov'è il campo degli scalari. Il motivo è: è l'immagine di questa applicazione lineare.

\ mathbb {K}

{\ displaystyle {\ text {Vect}} (u)}

Proprietà

Siano A, B e C matrici.

Disuguaglianza di Frobenius : ${\ displaystyle {\ text {rg}} (AB) + {\ text {rg}} (BC) \ leq {\ text {rg}} (ABC) + {\ text {rg}} (B)}$

Dimostrazione

Più in generale, per tre mappe lineari (tra spazi vettoriali di dimensioni non necessariamente finite) , e , abbiamo perché il morfismo canonico di in indotto da è suriettivo . ${\ displaystyle c: E \ rightarrow F}$ ${\ displaystyle b: F \ rightarrow G}$ ${\ displaystyle a: G \ rightarrow H}$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (a \ circ b) + {\ text {rg}} (b \ circ c) \ leq {\ text {rg}} (a \ circ b \ circ c) + { \ text {rg}} (b)}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ text {im}} (b)} {{\ text {im}} (b \ circ c)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ text {im}} (a \ circ b)} {{\ text {im}} (a \ circ b \ circ c)}}}$ $a$

(Caso speciale) Disuguaglianza di Sylvester : se ha colonne e ha righe, allora $A$ $non$ $B$ $non$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (A) + {\ text {rg}} (B) -n \ leq {\ text {rg}} (AB)}$

Teorema di Rank : una mappa lineare di in , $f$ $E$ $F$ ${\ displaystyle \ dim (E) = {\ text {rg}} (f) + \ dim ({\ text {Ker}} (f))}$
Matrice trasposta e mappa trasposta : e ${\ displaystyle {\ text {rg}} (^ {\ mathrm {t}} A) = {\ text {rg}} (A)}$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (^ {\ mathrm {t}} f) = {\ text {rg}} (f)}$
Prodotto di matrici e composizione di applicazioni lineari : e ; in particolare - per composizione a sinistra oa destra per identità - il rango di una mappa lineare di in è minore o uguale a e a ${\ displaystyle {\ text {rg}} (BA) \ leq \ min ({\ text {rg}} (B), {\ text {rg}} (A))}$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (g \ circ f) \ leq \ min ({\ text {rg}} (g), {\ text {rg}} (f))}$ $E$ $F$ ${\ displaystyle \ dim (E)}$ ${\ displaystyle \ dim (F)}$
Addizione :, con uguaglianza se, e solo se, le immagini di e si intersecano solo a zero e le immagini di trasposte e si intersecano solo a zero. ${\ displaystyle {\ text {rg}} (A + B) \ leq {\ text {rg}} (A) + {\ text {rg}} (B)}$ $A$ $B$ ${\ displaystyle ^ {\ mathrm {t}} A}$ ${\ displaystyle ^ {\ mathrm {t}} B}$
Il rango di una famiglia di vettori è invariante per operazione elementare .
Due matrici sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango.
L'applicazione del grado, da in , è semicontinua di seguito . ${\ displaystyle M_ {m, n} (\ mathbb {R})}$ $\ mathbb {R}$
La più grande funzione convessa chiusa che mina il rango sulla palla , dove (abbiamo notato il vettore dei valori singolari di ) è la restrizione a questa palla della norma nucleare . Più precisamente, se definiamo da , dove è l' indicativo di , allora si scrive il suo biconiugato . Senza limitare il rango a un set, otteniamo un'identità di scarsa utilità. ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}: = \ {A \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times n} \ mid \ left \ | A \ right \ | \ leq 1 \}}$ ${\ Displaystyle \ left \ | A \ right \ |: = \ max \ {\ left \ | Ax \ right \ | _ {2} \ mid \ left \ | x \ right \ | _ {2} \ leq 1 \ } = \ | \ sigma (A) \ | _ {\ infty}}$ $\ sigma (A)$ $A$ $\ | \ cdot \ | _ {*}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {m \ times n} \ to {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ Displaystyle f = {\ operatorname {rg}} + {\ mathcal {I}} _ {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ ${\ displaystyle f ^ {**} = \ left \ | \ cdot \ right \ | _ {*} + {\ mathcal {I}} _ {\ mathcal {B}}}$ $\ operatorname {rg} ^ {{**}} = 0$

Caso in cui il campo degli scalari non è commutativo

In quanto sopra, abbiamo assunto che il campo degli scalari sia commutativo. Possiamo estendere la nozione di rango di una matrice al caso in cui il campo degli scalari non è necessariamente commutativo, ma la definizione è un po 'più delicata.

Lasciato essere un campo non necessariamente commutativa e una matrice con m righe ed n colonne con coefficienti in . Chiamiamo rango di (rispetto a ) la dimensione del sottospazio generato dalle colonne di in provvisto della sua struttura di spazio -vettore a destra . Dimostriamo che il rango di è anche uguale alla dimensione del sottospazio generato dalle linee di in provvisto della sua struttura di K-spazio vettoriale a sinistra . $K$ $M$ $\ mathbb {K}$ $M$ $K$ $M$ ${\ displaystyle K ^ {m}}$ $K$ $M$ $M$ ${\ mathbb {K}} ^ {n}$

Si consideri ad esempio un campo non commutativo K e la matrice , dove e sono due elementi di cui non commutano (questi elementi quindi non sono zero). $A: = {\ begin {pmatrix} a & 1 \\ ca & c \\\ end {pmatrix}}$ $a$ $vs$ $K$

Le due linee di questa matrice sono correlate linearmente nello spazio vettoriale a sinistra , perché . Allo stesso modo, le due colonne sono correlate nello spazio vettoriale a destra , perché . Il rango della matrice è quindi uguale a 1. $K ^ {2}$ ${\ displaystyle c (a, 1) - (ca, c) = (0,0)}$ $K ^ {2}$ ${\ displaystyle (a, ca) - (1, c) a = (0,0)}$

D'altra parte, le due colonne non sono collegate nello spazio vettoriale a sinistra . Infatti, lasciare e essere scalari tali che . Quindi (primi componenti) , quindi (secondi componenti) . Dal momento che e si presume che non cambino, questo si traduce in (moltiplicare per per ottenere una contraddizione) e il nostro risultato è . Abbiamo così dimostrato che le due colonne della matrice sono linearmente indipendenti nello spazio vettoriale a sinistra . $K ^ {2}$ $d$ $e$ ${\ displaystyle d (a, ca) + e (1, c) = (0,0)}$ ${\ displaystyle e = -da}$ ${\ displaystyle dca-dac = 0}$ $a$ $vs$ ${\ displaystyle d = 0}$ ${\ displaystyle d ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle e = -da}$ $e = 0$ $K ^ {2}$

Note e riferimenti

(in) G. Marsaglia e GPH Styan, " Quando rango ( A + B ) = rango ( A ) + rango ( B )? " , Canadian Mathematical Bulletin , vol. 15,1972, p. 451-452 ( leggi in linea ).
(in) Mr. Fazel, Minimizzazione del rango Matrix con applicazioni Tesi di dottorato . Dipartimento di Ingegneria Elettrica , Stanford University ,2002.
Questa proprietà interviene nei problemi in cui si cerca di ottenere oggetti parsimoniosi minimizzando il rango (ad esempio nella compressione delle immagini). Essendo il rango una funzione a valori interi, quindi difficilmente minimizzabile, si preferisce talvolta considerare l'approssimazione convessa del problema che consiste nel minimizzare la norma nucleare.
definizione è conforme a N. Bourbaki, Algebra , part I, Paris, Hermann, 1970, p. II.59, definizione 7.
Vedi N. Bourbaki, Algebra , part I, Paris, Hermann, 1970, p. II.59, prop. 10 e paragrafo successivo alla dimostrazione di questa proposizione.