Algebra di Lie

In matematica , un'algebra di Lie , chiamata in onore del matematico Sophus Lie , è uno spazio vettoriale dotato di una parentesi di Lie , vale a dire una legge di composizione bilineare , antisimmetrica e interna che verifica la relazione di Jacobi . Un'algebra di Lie è un caso speciale di algebra su un campo .

Definizioni, esempi e prime proprietà

Definizione

Sia K un campo commutativo .

Un Lie su K è uno spazio vettoriale su K dotato di una mappa bilineare di in cui soddisfa le seguenti proprietà: ${\ mathfrak {g}}$ $(x, y) \ mapsto [x, y]$ ${\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$

$\ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ [x, x] = 0$ ;
$\ forall x, y, z \ in {\ mathfrak {g}}, \ [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.$

Il prodotto è chiamato il gancio Lie (o semplicemente il gancio) di e . Poiché la parentesi è una funzione bilineare alternata di , abbiamo anche l'identità per tutti in . L'identità (2) sopra è chiamata identità Jacobi . $[x, y]$ $X$ $y$ $x, y$ $[x, y] = - [y, x]$ $x, y$ ${\ mathfrak {g}}$

Una subalgebra di Lie di è un sottospazio vettoriale di stable per la parentesi di Lie. Ogni subalgebra di Lie di è ovviamente dotata di una struttura di algebra di Lie su K. ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$

Nota : a differenza delle algebre tensoriali (e delle algebre di Clifford , comprese le algebre esterne ), le algebre di Lie non sono né unitarie né associative .

Alcuni esempi classici di algebre di Lie

Qualsiasi spazio vettoriale può essere dotato di una struttura di Lie dalla regolazione, . Tale algebra di Lie, dove la parentesi di Lie è identicamente zero, è chiamata abeliana. $E$ $\ forall x, y \ in E, \ [x, y] = 0$
Da un'algebra associativa su un campo , possiamo costruire un'algebra di Lie come segue: impostiamo (è il commutatore dei due elementi x e y ). È facile verificare che definiamo in questo modo su una struttura di algebra di Lie. $(A,*)$ $\ forall x, y \ in A, \ [x, y] = x * yy * x$ $A$ Al contrario, qualsiasi algebra di Lie è contenuta in un'algebra associativa, chiamata algebra inviluppo , in cui il gancio di Lie coincide con il gancio definito sopra. Se è diverso da zero, la sua algebra avvolgente è molto più grande di se stessa. ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$
Come esempio concreto della situazione sopra, si consideri lo spazio delle matrici con coefficienti in K. È un'algebra associativa per il normale prodotto di matrice. Possiamo quindi dargli anche una struttura dell'algebra di Lie, con la parentesi . Indichiamo questa algebra quando consideriamo la sua struttura algebrica di Lie. ${\ mathcal {M}} _ {n} (K)$ $n \ volte n$ $[A, B] = AB-BA$ ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$
Ovviamente, qualsiasi sottospazio vettoriale di stabile della parentesi è un'algebra di Lie. Quindi, possiamo verificare che l'insieme di matrici di traccia zero è un'algebra di Lie, che indichiamo . ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$ ${\ mathfrak {sl}} _ {n} (K)$ In effetti, il teorema di Ado mostra che qualsiasi algebra di Lie dimensionale finita può essere vista come una sottoalgebra di . ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$
Un altro esempio fondamentale e più geometrico è il seguente. Sia una varietà differenziale . Quindi lo spazio vettoriale formato dai campi vettoriali su ha una struttura algebrica di Lie naturale, senza essere un'algebra . $M$ $M$
In particolare, l'insieme dei Killing fields di una varietà Riemanniana o pseudo-Riemanniana forma un'algebra di Lie, che corrisponde al gruppo di isometrie della varietà considerata.
Lo spazio euclideo tridimensionale ℝ 3 con il prodotto incrociato come parentesi di Lie è un'algebra di Lie.

Morfismi e ideali

Un morfismo delle algebre di Lie è una mappa lineare che rispetta la parentesi di Lie, cioè tale che ${\ mathfrak {g}}$ $\ phi$

\ forall a, b \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ phi ([a, b]) = [\ phi (a), \ phi (b)]

Un ideale di è un sottospazio vettoriale tale che . Si tratta in particolare di una Lie subalgebra. Se un'algebra di Lie non ammette un ideale non banale, si dice che sia semplice. ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {h}}$ $\ forall g \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall h \ in {\ mathfrak {h}}, \ [g, h] \ in {\ mathfrak {h}}$

Se è un ideale di , possiamo formare il quoziente di by : è lo spazio vettoriale quoziente , fornito con la parentesi definita da . La proiezione è quindi un morfismo delle algebre di Lie. ${\ mathfrak {h}}$ ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {h}}$ ${\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}$ $[g + {\ mathfrak {h}}, g '+ {\ mathfrak {h}}] = [g, g'] + {\ mathfrak {h}}$ ${\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}$

Una rappresentazione di un'algebra di Lie è un morfismo . In altre parole, è una mappa lineare come . ${\ mathfrak {g}}$ $\ phi \ ,: \, {\ mathfrak {g}} \ a {\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$ $\ phi ([g, h]) = \ phi (g) \ phi (h) - \ phi (h) \ phi (g)$

Il morfismo definito da definisce una rappresentazione di , chiamata rappresentazione annessa (in) . L'identità di Jacobi esprime proprio il fatto che l' $annuncio$ rispetta il gancio. Il nucleo di questa rappresentazione è il centro dell'algebra di Lie . ${\ text {ad}}: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl (g)}}$ ${\ text {ad}} (g) (h) = [g, h]$ ${\ mathfrak {g}}$ $Z ({\ mathfrak {g}}) = \ {g \ in {\ mathfrak {g}}, \ forall h \ in {\ mathfrak {g}}, [g, h] = 0 \}$ ${\ mathfrak g}$

Relazione con gruppi di Lie e gruppi algebrici

Le algebre di Lie sono naturalmente associate ai gruppi di Lie . Se è un gruppo di Lie ed e il suo elemento neutro , allora lo spazio tangente in e to è un'algebra di Lie; la costruzione esatta di questa algebra è dettagliata nella sezione corrispondente dell'articolo Gruppo di Lie . La stessa costruzione è valida per i gruppi algebrici . In genere denotiamo in piccole lettere gotiche l'algebra di Lie associata a un gruppo di Lie, o un gruppo algebrico. Quindi, come abbiamo già visto, designa l'insieme di matrici quadrate di dimensione ne designa l'insieme di matrici quadrate di dimensione n con traccia zero. Allo stesso modo, denota l'insieme di matrici quadrate A di dimensione n antisimmetrica, ecc. In tutti questi esempi, la parentesi di Lie non è altro che l'interruttore: . $G$ $G$ ${\ mathfrak {gl_ {n}}}$ ${\ mathfrak {sl}} _ {n}$ ${\ mathfrak {so_ {n}}}$ $[A, B] = AB-BA$

Se è un morfismo di gruppo tra due gruppi di Lie e , e se assumiamo differenziabili, il suo differenziale di identità sarà un morfismo tra le algebre di Lie e di e . In particolare, a una rappresentazione di differenziabili, si associa una rappresentazione di . $\ phi$ $G$ $H$ $\ phi$ ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {h}}$ $G$ $H$ $G$ ${\ mathfrak {g}}$

La classificazione delle algebre di Lie è utilizzata in modo cruciale per lo studio dei gruppi di Lie, dei gruppi algebrici e delle loro rappresentazioni.

Classificazione

Se e sono due sottoalgebre di Lie di un'algebra di Lie , denota il sottospazio vettoriale generato dagli elementi della forma per e . ${\ mathfrak {a}}$ ${\ mathfrak {b}}$ ${\ mathfrak {g}}$ $[{\ mathfrak {a}}, {\ mathfrak {b}}]$ $[a, b]$ $a \ in {\ mathfrak {a}}$ $b \ in {\ mathfrak {b}}$

Algebre di Nilpotentes Lie

Si dice che un'algebra di Lie sia nilpotente quando qualsiasi sequenza di commutatori finisce per essere zero, quando n diventa sufficientemente grande. $[[g_ {1}, g_ {2}], g_ {3}], \ dots, g_ {n}]$

Più precisamente, definiamo con e . $Questo}$ $C_ {0} = {\ mathfrak {g}}$ $C _ {{i + 1}} = [C_ {i}, {\ mathfrak {g}}]$

Se esiste una i tale che = 0, diciamo che è nilpotente. Questa nozione deve essere confrontata con quella del gruppo nilpotente . Qualsiasi algebra di Lie abeliana è nilpotente. $Questo}$ ${\ mathfrak {g}}$

L'algebra delle matrici triangolari strette, cioè della forma, fornisce un esempio di algebra di Lie nilpotente. ${\ mathfrak n}$ $\ left ({\ begin {matrix} 0 & \ star & \ cdots & \ star \\\ vdots & \ ddots & \ star & \ vdots \\\ vdots & 0 & \ ddots & \ star \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 \\\ end {matrix}} \ right)$

Il teorema di Engel afferma che un'algebra di Lie è nilpotente se e solo se l'immagine della rappresentazione aggiunta è combinata con una sottoalgebra . ${\ mathfrak n}$

Tuttavia, l'esempio dell'algebra di Lie abeliana (quindi nilpotente) mostra che esistono sottoalgebre nilpotenti di cui non sono coniugate a una subalgebra di . ${\ mathfrak {gl}} _ {1} (K)$ ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$ ${\ mathfrak n}$

Algebre di Lie risolvibili

Definisci per induzione con e $D_ {i}$ $D_ {0} = {\ mathfrak {g}}$ $D _ {{i + 1}} = [D_ {i}, D_ {i}]$

Se esiste una i tale che = 0, diciamo che è risolvibile. Come nel caso delle algebre nilpotenti, questa nozione corrisponde a quella di un gruppo risolvibile . È facile vedere che qualsiasi algebra di Lie nilpotente è risolvibile. $D_ {i}$ ${\ mathfrak {g}}$

Un esempio di algebra di Lie risolvibile è dato dall'algebra delle matrici triangolari superiori in . ${\ mathfrak b}$ ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$

Il teorema di Lie mostra che se K è algebricamente chiuso e caratteristico zero, allora qualsiasi algebra di Lie sub-risolvibile di è combinata con una sottoalgebra . ${\ mathfrak {gl}} _ {n} (K)$ ${\ mathfrak b}$

Algebre di Lie semi-semplici e riduttive

Diciamo che un'algebra di Lie è semi-semplice quando non contiene un ideale risolvibile non banale. si dice che sia riduttivo quando la sua rappresentazione adiacente è semi-semplice . ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$

Quando K è di caratteristica zero, e cioè di dimensione finita, la semi-semplicità di è equivalente alla non degenerazione della forma Killing definita da , dove tr denota la traccia. Inoltre, è riduttivo se e solo se è semi-semplice. ${\ mathfrak {g}}$ ${\ mathfrak {g}}$ $K (x, y)$ $K (x, y) = tr (ad (x) ad (y))$ ${\ mathfrak {g}}$ $[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]$

Possiamo mostrare che, sotto le stesse ipotesi, qualsiasi algebra di Lie semisemplice è in effetti una somma diretta di algebre di Lie semplici .

Le algebre di Lie semplici finite dimensionali sul campo ℂ di numeri complessi sono classificate dai diagrammi di Dynkin . Esistono quindi 4 famiglie di algebre di Lie semplici (o 3 se consideriamo e come la stessa famiglia) e 5 algebre di Lie eccezionali, ciascuna corrispondente ad un diverso diagramma di Dynkin. $B_ {n}$ $D_ {n}$

Ad un diagramma di Dynkin di tipo corrisponde l'algebra di Lie . $A_ {n} (n \ geq 1)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n + 1} (\ mathbb {C})}$
Ad un diagramma di Dynkin di tipo corrisponde l'algebra di Lie . $B_ {n} (n \ geq 2)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n + 1} (\ mathbb {C})}$
Ad un diagramma di Dynkin di tipo corrisponde l'algebra di Lie . $C_ {n} (n \ geq 3)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2n} (\ mathbb {C})}$
Ad un diagramma di Dynkin di tipo corrisponde l'algebra di Lie . $D_ {n} (n \ geq 4)$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n} (\ mathbb {C})}$
Le eccezionali algebre di Lie, corrispondenti ai rimanenti diagrammi di Dynkin (di tipo E 6 , E 7 , E 8 , F 4 e G 2 ) non hanno un'interpretazione così semplice.

L'algebra di Lie è riduttiva e l'algebra di Lie derivata lo è . ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$

Le algebre di Lie semisemplici a dimensione finita sul campo ℝ dei numeri reali sono classificate dalle involuzioni delle algebre di Lie complesse o, equivalentemente, dalle involuzioni dei sistemi di radice (en) . Ciò corrisponde alla nozione di algebra di Lie simmetrica (en) . Come una vera e propria semplice classe di algebra di Lie, possiamo citare:

Algebre di Lie compatte. Queste sono le algebre di Lie dei gruppi compatti. Ce n'è esattamente uno che corrisponde a ciascuna algebra di Lie complessa.
Algebre di Lie complesse viste come vere algebre di Lie.
Gli altri possono essere classificati nelle famiglie AI, AII, AIII, BI, CI, CII, DI, DIII e in algebre eccezionali

EI, EII, EIII, EIV (tipo ) EV, EVI, EVII (tipo ) EVIII, EIX (tipo ) FI, FII (tipo ) e GI (tipo ) seguendo Helgason (de) notazione ). $E_ {6}$ $E_ {7}$ $E_ {8}$ $F_ {4}$ $G_2$

Dimensione infinita

Non esiste una classificazione generale delle algebre di Lie a dimensione infinita, ma sono state studiate diverse classi di tali algebre.

Un Kac-Moody algebra è un'algebra Lie definito astrattamente in termini di generatori e relazioni codificate da un Cartan generalizzata matrice definita non necessariamente positivo. Possono quindi essere di dimensione infinita. La loro classificazione generale è ancora fuori portata ma sono noti diversi sottotipi
- Un algebra di Kac-Moody affine (In) ha la proprietà che tutte le sotto-diagrammi di Dynkin suo diagramma corrispondono Dynkin alle algebre sub-Lie di dimensione finita. La sua matrice di Cartan generalizzata è quindi di corang 1. Le algebre Kac-Moody affini furono classificate da Victor Kac . Sono ampiamente utilizzati in fisica teorica nello studio delle teorie di campo conforme e in particolare nello studio dei modelli WZW .
- Un iperbolico Kac-Moody algebra ha un diagramma Dynkin collegata con la proprietà che se togliamo una radice da esso, si ottiene una dimensione finita semi-Lie semplice o un affine algebra Kac-Moody. Sono stati anche classificati e hanno un grado massimo di 10. La loro matrice di Cartano generalizzata è non degenere e di firma lorentziana (cioè con esattamente una direzione negativa).
algebra generalizzata Kac-Moody (in) o algebra Borcherds: questo è un tipo di algebra di Lie che generalizza il concetto di algebra Kac-Moody la cui matrice di Cartan generalizzata può avere radici semplici chiamate immaginarie per le quali l'elemento diagonale della matrice di Cartan generalizzata è negativo. Furono introdotti da Richard Ewen Borcherds come parte dello studio della mostruosa congettura del chiaro di luna .

Generalizzazione

Ci sono diversi tipi di generalizzazioni dell'algebra di Lie che possono essere menzionate sono gli anelli di Lie (in) le superalgebre di Lie , i gruppi quantistici , l' algebra di Leibniz , l' algebra pre-Lie (in) .

Note e riferimenti

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