In matematica , l' insieme vuoto è l' insieme che non contiene elementi.
L'insieme vuoto può essere contrassegnato con una O barrata , ovvero ∅ o semplicemente {}, che è una coppia di parentesi graffe contenente un solo spazio , per rappresentare un insieme che non contiene nulla. Il rating ∅ è stato introdotto da André Weil , nell'ambito dell'istituto dei rating del gruppo Bourbaki . Von Neumann nel suo articolo del 1923, che è uno dei primi riferimenti agli indirizzi, note O .
Per qualsiasi set A :
L' unione di una famiglia di insiemi indicizzati da ∅ è uguale a ∅.
L' intersezione di una famiglia di insiemi indicizzati da ∅ non è definita senza fare riferimento a un insieme che li contiene tutti . In tal caso, è uguale a quest'ultimo.
∅ è finito ; la sua cardinalità è 0: card (∅) = 0.
∅ ammette una topologia unica , che è {∅}. È sia grossolano (quindi questo spazio topologico è connesso ) che discreto (quindi questo spazio è compatto , come qualsiasi spazio finito discreto).
∅ ammette una tribù unica , che è {∅} ( grossolana e discreta ).
Due insiemi sono uguali se contengono gli stessi elementi; questo è l' assioma di estensionalità della teoria degli insiemi . Pertanto, può esserci un solo set che non contiene elementi, quindi solo un set vuoto.
In alcune varianti della teoria degli insiemi, possiamo introdurre "oggetti" chiamati ur-elementi , che anche loro non hanno elementi e possono anche essere elementi di insiemi, ma che, a differenza dell'insieme vuoto, non sono insiemi.
L'insieme vuoto non contiene nulla , ma poiché è un insieme, non è niente . Questa è la base su cui si basa von Neumann per costruire interi e ordinali .
La notazione {∅} non ha lo stesso significato della notazione ∅; infatti, l'insieme designato da ∅ non ha alcun elemento (perché è l'insieme vuoto), mentre l'insieme designato da {∅} ne ha uno (questo elemento è l'insieme vuoto). Inoltre, von Neumann definisce 0 come ∅ e 1 come {∅}.
Richiamo ( vedi sopra ) che l'insieme vuoto è un sottoinsieme di qualsiasi insieme A , cioè per ogni elemento x di ∅, x appartiene ad A , che è formalmente scritto: (∀ x ∈ ∅) x ∈ A . Più in generale, un'affermazione della forma (∀ x ∈ ∅) P ( x ) (en) , che è l'abbreviazione di ∀ x ( x ∈ ∅ ⇒ P ( x )), è sempre vera , es. Falso quodlibet .
L' assioma di fondazione afferma che ogni sequenza di estremità, per cui non esiste tale che, in questa sequenza ,.
L'insieme vuoto è essenziale nella teoria degli insiemi o teoria ZFC , la sua esistenza è assicurata dall'assioma dell'insieme vuoto . La sua unicità deriva dall'assioma dell'estensionalità .
Inoltre, possiamo dimostrare utilizzando lo schema degli assiomi di comprensione , che l'esistenza di qualsiasi insieme implica l'assioma dell'insieme vuoto, che evita, quando formalizziamo la teoria degli insiemi in logica del primo ordine, di fare appello a uno specifico assioma per l'esistenza dell'insieme vuoto (vedi assioma dell'insieme vuoto ).
Si dice, per definizione, che un insieme sia abitato (in) se ne ha almeno uno.
Perciò :
un insieme abitato non è vuoto,Il suo reciproco si legge come segue:
un insieme non vuoto è abitato,e può essere formulato:
un insieme che non è ∅ ha almeno un elemento.Affermare la sua equivalenza a un insieme abitato è non vuoto richiede il terzo escluso e quindi non è valido nella logica intuizionista .
Abbiamo anche il teorema:
L'insieme vuoto può essere caratterizzato molto semplicemente come un oggetto della categoria degli insiemi . È infatti l'unico oggetto con la seguente proprietà:
Per ogni insieme E, esiste una e una sola freccia da ∅ a E.
Nel caso di questa categoria, la freccia significa applicazione . Più in generale, un oggetto che, in una categoria , ha questa proprietà è chiamato oggetto iniziale .
Roger Godement , Analisi matematica I: convergenza, funzioni elementari , Springer ,2001, 2 ° ed. ( 1 st ed. 1998) ( leggi in linea ) , p. 9-11
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