Spazio L p
In matematica , uno spazio L p è uno spazio vettoriale di classi di funzioni la cui potenza di esponente p è integrabile nel senso di Lebesgue , dove p è un numero reale strettamente positivo. Il passaggio al limite dell'esponente si traduce nella costruzione di spazi L ∞ di funzioni limitate . Gli spazi L p sono chiamati spazi di Lebesgue .
Identificando le funzioni che differiscono solo su un insieme trascurabile , ogni spazio L p è uno spazio di Banach quando l'esponente è maggiore o uguale a 1. Quando 0 < p <1 , l'integrale definisce una quasi norma che lo rende uno spazio pieno . C'è anche una dualità tra gli spazi di coniugato esponenti p e q , cioè tale che 1 / p + 1 / q = 1 .
L'spazi L p generalizzare gli spazi L 2 delle funzioni integrabili quadrati , ma anche la struttura ℓ p di sequenze di summable p- esima potenza .
Diverse costruzioni estendono ulteriormente questa definizione con l'aiuto di distribuzioni o accontentandosi dell'integrabilità locale.
Tutti questi spazi costituiscono uno strumento fondamentale di analisi funzionale consentendo la risoluzione di equazioni per approssimazione con soluzioni non necessariamente differenziabili o addirittura continue .
Definizione
Espositore finito
La norma p sullo spazio vettoriale a dimensione finita R n si estende a funzioni continue su un segmento [ a , b ] di
‖f‖p=(∫ab|f(t)|pdt)1/p{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ sinistra (\ int _ {a} ^ {b} | f (t) | ^ {p} \, \ mathrm {d} t \ destra) ^ {1 / p}}
e più in generale con funzioni misurabili su uno spazio misurato ( X , A , μ ) e con valori reali o complessi e con potenza p integrabile da:
‖f‖p=(∫X|f|pdμ)1/p.{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ sinistra (\ int _ {X} | f | ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu \ right) ^ {1 / p}.}
Su un dominio X di uno spazio euclideo , la misura è in generale quella di Lebesgue .
Tuttavia, una funzione positiva è di integrale zero se e solo se viene cancellata quasi ovunque, cioè sul complemento di un insieme trascurabile . Lo spazio L p ( X , A , μ ) è quindi definito come il quoziente dello spazio delle funzioni misurabili p integrabile, spesso indicato: ℒ p ( X , A , μ ) , dal sottospazio vettoriale di funzioni quasi nulle. Questo quoziente identifica quindi le funzioni che sono nella stessa classe per la relazione di equivalenza “f ~ g” se e solo se “f e g sono uguali quasi ovunque”.
Nell'ambito della teoria di Riemann , lo spazio L p ( R ) può anche essere definito da un processo di completamento .
Esponente infinito
Lo spazio ℒ ∞ ( X , A , μ ) è definito come lo spazio vettoriale di μ funzioni essenzialmente limitate (vale a dire le funzioni limitate sul complemento di un insieme trascurabile), dotate del limite superiore essenziale " semi-standard " ".
Allora, lo spazio vettoriale normato L ∞ ( X , A , μ ) è, come prima, il quoziente di ℒ ∞ ( X , A , μ ) per il sottospazio delle funzioni zero quasi ovunque.
Esempi
Se X è l'insieme N di interi naturali, dotato della tribù discreta , e se μ è la misura di conteggio , lo spazio L p ( X , A , μ ) non è altro che lo spazio ℓ p ( N ) sequenze reali la cui potenza dell'esponente p è sommabile.
Con X = R fornito con la tribù Boreliana e la misura Lebesgue:
Proprietà
Standard e completezza
L'espressione tra le doppie barre data sopra è abbastanza positiva e svanisce solo per la classe della funzione nulla in L p ( X , A , μ ) . Inoltre, è positivamente omogeneo , cioè per qualsiasi λ scalare ,
‖λf‖p=|λ| ‖f‖p{\ displaystyle \ | \ lambda f \ | _ {p} = | \ lambda | ~ \ | f \ | _ {p}}![{\ displaystyle \ | \ lambda f \ | _ {p} = | \ lambda | ~ \ | f \ | _ {p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aadd025b4d1e6c4a02b8a18e7e162e8c8ccad730)
.
Tuttavia, soddisfa la disuguaglianza triangolare solo per p maggiore o uguale a 1. Gli spazi L p per 1 ≤ p ≤ ∞ sono spazi di Banach , cioè completi per la norma così definita: c 'è il teorema di Riesz-Fischer , che mostra per inciso che ogni successione di Cauchy in L p ha una sottosequenza che converge quasi ovunque.
Per 0 < p <1 , ║ ║ è solo una quasi norma e L p è solo un F-spazio (en) , cioè uno spazio vettoriale topologico metrizzabile completo, per una distanza invariante per traslazioni: d p ( f , g ) = ║ f - g ║ p p , ma non è localmente convesso quindi non normabile .
Inclusioni
- Se la misura è finita allora, secondo la disuguaglianza di Hölder o di Jensen , la famiglia degli spazi L p è decrescente , con iniezioni continue :Se μ(X)<+∞ allora 0<p≤q≤+∞⇒Lp⊃Lq e supf∈Lq,‖f‖q≤1‖f‖p=‖μ(X)-1q‖p=μ(X)1p-1q.{\ displaystyle {\ text {si}} \ mu (X) <+ \ infty {\ text {then}} 0 <p \ leq q \ leq + \ infty \ Rightarrow \ mathrm {L} ^ {p} \ supset \ mathrm {L} ^ {q} {\ text {et}} \ sup _ {f \ in \ mathrm {L} ^ {q}, \ | f \ | _ {q} \ leq 1} \ | f \ | _ {p} = \ | \ mu (X) ^ {\ frac {-1} {q}} \ | _ {p} = \ mu (X) ^ {{\ frac {1} {p}} - {\ frac {1} {q}}}.}
Esiste un forte reciproco per le misure σ-finite .
- Se le misure delle parti non trascurabili si riducono dello stesso reale strettamente positivo allora, la famiglia di L p è in aumento , con iniezioni continue:Se infμ(A)>0μ(A)=ε>0 allora 0<p≤q≤+∞⇒Lp⊂Lq e supf∈Lp,‖f‖p≤1‖f‖q=ε1q-1p.{\ displaystyle {\ text {si}} \ inf _ {\ mu (A)> 0} \ mu (A) = \ varepsilon> 0 {\ text {then}} 0 <p \ leq q \ leq + \ infty \ Rightarrow \ mathrm {L} ^ {p} \ subset \ mathrm {L} ^ {q} {\ text {et}} \ sup _ {f \ in \ mathrm {L} ^ {p}, \ | f \ | _ {p} \ leq 1} \ | f \ | _ {q} = \ varepsilon ^ {{\ frac {1} {q}} - {\ frac {1} {p}}}.}
Abbiamo lo stesso tipo di inverso di cui sopra: se esistono p e q , con 1 ≤ p <q ≤ + ∞ , tali che L p ⊂ L q , allora le misure delle parti non trascurabili sono ridotte dello stesso ε > 0 .
- Nel caso in cui lo spazio X sia un insieme finito provvisto della misura di conteggio, le due condizioni di cui sopra sono soddisfatte e tutti gli spazi L p sono identificati con lo stesso spazio vettoriale normalizzato di dimensione finita .
- Viceversa, per la misura di Lebesgue, che non soddisfa nessuna delle due condizioni precedenti, esistono funzioni appartenenti ad una sola L p .
- In tutti i casi, 1≤p≤r≤q≤+∞⇒Lp∩Lq⊂Lr{\ Displaystyle 1 \ leq p \ leq r \ leq q \ leq + \ infty \ Rightarrow \ mathrm {L} ^ {p} \ cap \ mathrm {L} ^ {q} \ subset \ mathrm {L} ^ {r }}
e per ogni f ∈ L p ∩L q , nell'intervallo [ p , q ] , il logaritmo della funzione r ↦ ║f║ r è una funzione convessa di 1 / r .
- La disuguaglianza di Chebyshev ci permette di dimostrare che per ogni r <∞ e ogni f ∈ L r , abbiamo:‖f‖∞=limp→+∞‖f‖p.{\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ lim _ {p \ to + \ infty} \ | f \ | _ {p}.}
Dualità
Per 1 < p <+ ∞ e per qualsiasi misura, L p è riflessivo e il suo duale topologico è identificato con lo spazio L q , dove q è definito in modo che 1 ⁄ p + 1 ⁄ q = 1 .
Se la misura è σ-finita, il duale di L 1 è L ∞ e il duale di L ∞ contiene strettamente L 1 (eccetto casi banali).
L 1 ([0, 1]) non è il duale di alcuno spazio, mentre ℓ 1 è il duale di molti spazi , incluso quello delle sequenze zero vincolate.
Dimostrazione di
(L p ) '≃ L q , per
1 ≤ p <+ ∞ e
1 ⁄ p + 1 ⁄ q = 1
(assumendo, se
p = 1 , che la misura sia σ-finita)
La disuguaglianza di Hölder e il suo caso estremo forniscono immediatamente un'inclusione isometrica da J a L q in (L p ) ' . Resta da mostrare che qualsiasi forma lineare φ su L p di norma 1 è della forma J ( g ) per un certo g di L q .
- Se 1 < p <+ ∞ , sappiamo che L p è uno spazio uniformemente convesso quindi esiste in L p un vettore unitario f tale che φ ( f ) = 1. Per questo f , sia g l'elemento di L q calcolato nel caso estremo della disuguaglianza di Hölder; per costruzione, la sua immagine ψ per J soddisfa: ψ ( f ) = 1 = ║ψ║. Tuttavia, sempre per convessità uniforme, L p è strettamente convesso e quindi liscio quindi esiste una forma lineare unica su L p che soddisfa queste condizioni. Concludiamo che la forma lineare iniziale φ è scritta: φ = ψ = J ( g ).
- Se p = 1:
- Affrontiamo prima il caso in cui la misura μ sullo spazio misurato ( X , A ) è finita. Ponendo in questo caso, per ogni E ∈ A : ν ( E ) = φ ( 1 E ), si ottiene una misura con segno ν soddisfacente, per ogni E ∈ A : | ν ( E ) | ≤ μ ( E ). Il teorema di Radon-Nikodym “piccolo” (per μ finito) fornisce quindi una funzione g ∈ L 1 (μ) tale che ν = g μ quindi tale che (per limite uniforme di funzioni staged ):∀f∈L∞(μ), φ(f)=∫fgdμ.{\ displaystyle \ forall f \ in \ mathrm {L} ^ {\ infty} (\ mu), ~ \ varphi (f) = \ int fg \ mathrm {d} \ mu.}
Inoltre, secondo una proprietà generale dell'integrale di Lebesgue , | g | ≤ 1 μ- quasi ovunque perché∀E∈A, |∫Egdμ|=|ν(E)|≤μ(E).{\ displaystyle \ forall E \ in A, ~ \ left | \ int _ {E} g \ mathrm {d} \ mu \ right | = | \ nu (E) | \ leq \ mu (E).}
La funzione g ∈ L 1 (μ) appartiene quindi anche a L ∞ (μ) e la formula precedente si estende per densità :∀f∈L1(μ), φ(f)=∫fgdμ.{\ displaystyle \ forall f \ in \ mathrm {L} ^ {1} (\ mu), ~ \ varphi (f) = \ int fg \ mathrm {d} \ mu.}
Nel caso in cui μ sia finito, abbiamo quindi messo φ nella forma J ( g ).
- Nel caso generale in cui μ è solo σ-finito, partizioniamo X in una successione di X n di misure finite e allo stesso modo costruiamo su ogni X n una funzione g n , zero fuori X n . La loro somma g soddisfa quindi: g ∈ L ∞ (μ) e φ = J ( g ).
Densità e separabilità
Per ogni p ∈ [1, + ∞] , le funzioni staged che appartengono a L p formano un sottospazio denso di L p .
Per p <+ ∞ , deduciamo che:
Note e riferimenti
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(it) L p e L q inclusione di spazio , su math.stackexchange.com: iniziamo, come per il contrario precedente, mostrando che tale inclusione è automaticamente continua, grazie al teorema del grafo chiuso e all'estrazione del lemma d sottosequenze convergenti quasi ovunque.
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(in) È possibile che una funzione sia in L p solo per l'uno percento ? , su math.stackexchange.com
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(it) Jeff Viaclovsky, " Misura e integrazione, Lezione 17 " , il MIT ,2003.
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In molti corsi o manuali, come quello di Walter Rudin , Analisi reale e complessa [ dettaglio delle edizioni ], assumiamo questa σ-finitudine per tutti i valori di p , per semplificare la dimostrazione.
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Secondo il teorema di James , questo dimostra già che L p è riflessivo, ma questo risultato sarà comunque una conseguenza del calcolo della famiglia di (L p ) ' .
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(in) Haim Brezis , Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations , Springer Science + Business Media ,2010( leggi in linea ) , p. 98, Teorema 4.13.
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Rudin , Teorema 3.14.
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Brezis 2010 , p. 109 , Corollario 4.23.
Vedi anche
Articoli Correlati
Bibliografia
- Haïm Brezis , Analisi funzionale: teoria e applicazioni [ dettaglio delle edizioni ]
- Jacques Faraut, Calcolo integrale [ dettaglio delle edizioni ]
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