Standard (matematica)

In geometria , la norma è un'estensione del valore assoluto dei numeri ai vettori . Permette di misurare la lunghezza comune a tutte le rappresentazioni di un vettore in uno spazio affine , ma definisce anche una distanza tra due vettori invariante per traslazione e compatibile con la moltiplicazione esterna.

Si dice che la norma abituale nel piano o nello spazio sia euclidea perché associata a un prodotto scalare , alla base della geometria euclidea .

Altri standard sono ampiamente usati su spazi vettoriali (di dimensione finita o infinita), chiamati allora spazi vettoriali normalizzati . Sono particolarmente importanti nell'analisi funzionale per ottenere marcatori , esprimere la differenziazione sugli spazi di funzioni di una o più variabili reali o complesse , calcolare stime e approssimazioni .

C'è una seconda nozione di norma, usata in aritmetica  : è trattata nell'articolo “  Norm (teoria dei corpi)  ”.

Solita geometria euclidea

Definizione

Se e sono due punti del piano o dello spazio abituale, la norma del vettore è la distanza, cioè la lunghezza del segmento . Lei prende atto con doppie barre: . A{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}AB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}AB{\ displaystyle AB}[AB]{\ displaystyle [AB]}‖AB→‖{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {AB}} \ |}

La norma, la direzione e la direzione sono i tre dati che caratterizzano un vettore e che quindi non dipendono dalla scelta del rappresentante.

In Unicode, la doppia barra "‖" è il carattere U + 2016 (distinto dal simbolo di parallelismo "∥", U + 2225 ).

Calcolo

• La normale norma (euclidea) di un vettore può essere calcolata usando le sue coordinate in un sistema di coordinate ortonormali usando il teorema di Pitagora .
  • Nel piano, se il vettore ha coordinate , viene scritta la sua normau→{\ displaystyle {\ vec {u}}}(X,y){\ displaystyle (x, y)}‖u→‖=X2+y2.{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}
    Se i punti e hanno le rispettive coordinate e quindi:A{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}(XA,yA){\ displaystyle (x_ {A}, y_ {A})}(XB,yB){\ displaystyle (x_ {B}, y_ {B})}‖AB→‖=(XB-XA)2+(yB-yA)2.{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {AB}} \ | = {\ sqrt {(x_ {B} -x_ {A}) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {A}) ^ {2} }}.}
  • Nello spazio, se il vettore ha coordinate , la sua norma è scritta:u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}(X,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}‖u→‖=X2+y2+z2.{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}.}
    Se i punti e hanno le rispettive coordinate e quindi:A{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}(XA,yA,zA){\ displaystyle (x_ {A}, y_ {A}, z_ {A})}(XB,yB,zB){\ displaystyle (x_ {B}, y_ {B}, z_ {B})}
    
    ‖AB→‖=(XB-XA)2+(yB-yA)2+(zB-zA)2.{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {AB}} \ | = {\ sqrt {(x_ {B} -x_ {A}) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {A}) ^ {2} + (z_ {B} -z_ {A}) ^ {2}}}.}
• La norma (euclidea) di un vettore può essere ottenuta dal prodotto scalare del vettore con se stesso:‖u→‖=u→⋅u→.{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | = {\ sqrt {{\ vec {u}} \ cdot {\ vec {u}}}}.}

Proprietà

• La norma viene annullata solo per il vettore nullo .0→{\ displaystyle {\ vec {0}}}
• La norma del prodotto per numero è il prodotto della norma per il valore assoluto di quel numero:‖Ku→‖=|K|×‖u→‖.{\ displaystyle \ | k {\ vec {u}} \ | = | k | \ times \ | {\ vec {u}} \ |.}In particolare, ogni vettore ha la stessa norma del suo opposto:‖-u→‖=‖u→‖.{\ displaystyle \ | - {\ vec {u}} \ | = \ | {\ vec {u}} \ |.}

Su qualsiasi spazio vettoriale

Definizione formale

Sia K un campo commutativo con un valore assoluto ed E uno K - spazio vettoriale .

Una norma su E è un'applicazione su E con valori reali e che soddisfa i seguenti presupposti: NON{\ displaystyle {\ mathcal {N}}}

• separazione  : ;∀X∈ENON(X)=0⇒X=0E{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad {\ mathcal {N}} (x) = 0 \ Rightarrow x = 0_ {E}}
• omogeneità assoluta  : ;∀(λ,X)∈K×ENON(λX)=|λ|NON⁡(X){\ displaystyle \ forall (\ lambda, x) \ in K \ times E \ quad {\ mathcal {N}} (\ lambda x) = | \ lambda | \ operatorname {\ mathcal {N}} (x)}
• subadditività (chiamata anche disuguaglianza triangolare ).∀(X,y)∈E2NON(X+y)≤NON(X)+NON(y){\ displaystyle \ forall (x, y) \ in E ^ {2} \ quad {\ mathcal {N}} (x + y) \ leq {\ mathcal {N}} (x) + {\ mathcal {N} } (y)}

Osservazioni.

• È vero il contrario dell'assioma della separazione.Anzi, per omogeneità .NON(0E)=NON(0⋅0E)=0NON⁡(0E)=0{\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0_ {E}) = {\ mathcal {N}} (0 \ cdot 0_ {E}) = 0 \ operatorname {\ mathcal {N}} (0_ {E}) = 0}
• Uno standard è sempre positivo.Infatti, per qualsiasi vettore , (per subadditività), vale a dire (per omogeneità) .X{\ displaystyle x}0=NON(0E)=NON(X-X)≤NON(X)+NON(-X){\ displaystyle 0 = {\ mathcal {N}} (0_ {E}) = {\ mathcal {N}} (xx) \ leq {\ mathcal {N}} (x) + {\ mathcal {N}} ( -X)}0≤2NON⁡(X){\ Displaystyle 0 \ leq 2 \ operatorname {\ mathcal {N}} (x)}
• I campi dei reali e dei complessi non sono gli unici ad ammettere un valore assoluto.
  Nel caso di corpi di valore , una norma può anche essere ultrametrica se soddisfa una certa condizione più forte della subadditività.
• Una funzione di E in ℝ + che soddisfa solo le ipotesi di omogeneità e subadditività è chiamata semi-norma .

Uno spazio vettoriale dotato di una norma è chiamato spazio vettoriale normato (a volte abbreviato come EVN).

L'immagine di un vettore x secondo la norma è solitamente scritta ║ x ║ e si legge "norma di x  ".

Prime proprietà

• La norma è sublineare , cioè soddisfa la seguente proprietà:∀(λ,X,y)∈K×E2 , ‖λX+y‖≤|λ|‖X‖+‖y‖,{\ displaystyle \ forall (\ lambda, x, y) \ in K \ volte E ^ {2} \, \ \ | \ lambda x + y \ | \ leq | \ lambda | \ | x \ | + \ | y \ |,}che generalizza per ricorrenza a:‖λ1X1+...+λnonXnon‖≤|λ1|‖X1‖+...+|λnon|‖Xnon‖.{\ displaystyle \ | \ lambda _ {1} x_ {1} + \ ldots + \ lambda _ {n} x_ {n} \ | \ leq | \ lambda _ {1} | \ | x_ {1} \ | + \ ldots + | \ lambda _ {n} | \ | x_ {n} \ |.}
• La separazione e l'omogeneità garantiscono le proprietà di separazione e simmetria della funzioned:(X,y)↦‖y-X‖.{\ Displaystyle d \ due punti (x, y) \ mapsto \ | yx \ |.}(Per simmetria, usiamo quello , dove e denota il moltiplicativo neutro di K , quindi, per ogni vettore z , ║– z ║ = ║ (- e ) z ║ = | - e | ║ z ║ = ║ z ║.) La subadditività quindi giustifica la disuguaglianza triangolare ,∣-e∣ =1{\ displaystyle \ mid -e \ mid = 1}
  ‖z-X‖≤‖z-y‖+‖y-X‖,{\ displaystyle \ | zx \ | \ leq \ | zy \ | + \ | yx \ |,}necessario per mostrare che d è una distanza su E , che è più invariante per traslazione.
  Uno spazio vettoriale normalizzato è quindi uno spazio metrico omogeneo e la topologia associata è compatibile con le operazioni vettoriali.
• La subadditività permette di ottenere la seguente proprietà:∀(X,y)∈E2 , |‖X‖-‖y‖|≤‖X-y‖,{\ displaystyle \ forall (x, y) \ in E ^ {2} \, \ {\ big |} \ | x \ | - \ | y \ | {\ big |} \ leq \ | xy \ |,}il che mostra che la norma è una mappa 1-Lipschitziana e quindi continua .
• La norma è anche, come ogni semi-norma, una funzione convessa , che può essere utile per risolvere problemi di ottimizzazione .

Topologia

La distanza d associata alla norma (cfr. Sopra) dota E di una struttura di spazio metrico , quindi di spazio topologico separato . Un open per questa topologia è una parte O di E tale che:

∀X∈O,∃ε>0{y∈E | ‖X-y‖<ε}⊂O.{\ displaystyle \ forall x \ in O, \; \ exist \ varepsilon> 0 \ quad \ {y \ in E ~ | ~ \ | xy \ | <\ varepsilon \} \ subset O.}

Dotato di questa topologia, E è un "evt" ( spazio vettoriale topologico ), vale a dire che:

Proposizione  -  L'addizione di E × E in E e la moltiplicazione esterna di K × E in E sono continue.

Dimostrazione

Siano ( x , y ) un punto di E × E e ( h , k ) un aumento, quindi:

‖(X+h+y+K)-(X+y)‖=‖h+K‖≤‖h‖+‖K‖≤2max(‖h‖,‖K‖)=2‖(h,K)‖E×E.{\ Displaystyle \ left \ Vert (x + h + y + k) - (x + y) \ right \ Vert = \ | h + k \ | \ leq \ | h \ | + \ | k \ | \ leq 2 \ max (\ | h \ |, \ | k \ |) = 2 \ | (h, k) \ | _ {E \ volte E}.}

L'aumento precedente mostra che l'aggiunta è 2- Lipschitziana e quindi uniformemente continua .

Sia K × E un punto e un aumento, quindi, se e  : (λ,X){\ displaystyle (\ lambda, x)}(μ,h){\ displaystyle (\ mu, h)}‖(λ,X)‖K×E≤M{\ displaystyle \ | (\ lambda, x) \ | _ {K \ times E} \ leq M}‖(μ,h)‖K×E≤ε≤1{\ displaystyle \ | (\ mu, h) \ | _ {K \ times E} \ leq \ varepsilon \ leq 1}

‖(λ+μ)(X+h)-λX‖≤‖λh‖+‖μX‖+‖μh‖≤2Mε+ε2≤(2M+1)ε.{\ Displaystyle \ left \ Vert (\ lambda + \ mu) (x + h) - \ lambda x \ right \ Vert \ leq \ | \ lambda h \ | + \ | \ mu x \ | + \ | \ mu h \ | \ leq 2M \ varepsilon + \ varepsilon ^ {2} \ leq (2M + 1) \ varepsilon.}

L'ultimo aumento mostra la continuità uniforme della moltiplicazione esterna sull'intera sfera K × E con centro 0 e raggio M , così la continuità di K × E .

Essendo una norma su uno spazio vettoriale indotta su una topologia di e.vt e anche di uno spazio separato localmente convesso ( vedi infra ), ci si può chiedere se la topologia di un dato evt possa essere indotta da una possibile norma su . Quando questo è il caso, diciamo che l'e.vt è normale . Gli spazi separati localmente convessi non sono tutti normabili (ad esempio, uno spazio di Montel di dimensione infinita non è mai normabile). E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}T{\ displaystyle T}T{\ displaystyle T}(E,T){\ displaystyle (E, T)}E{\ displaystyle E}(E,T){\ displaystyle (E, T)}

Palla

Questa costruzione di una topologia dà tutta la sua importanza alla nozione di palla aperta con centro x e raggio r , cioè l'insieme di punti la cui distanza ax è strettamente minore di r . Ogni palla aperta è l'immagine della palla unitaria (aperta) composta da una traslazione con il vettore x e da una dilatazione con rapporto r .

Le palle aperte centrate in un punto formano una base di quartieri di quel punto; caratterizzano quindi la topologia. Se E è uno spazio vettoriale su ℝ (in particolare se è uno spazio vettoriale su ℂ), qualsiasi palla aperta è convessa . Infatti, poiché la convessità è preservata dalla traslazione e dall'omotetia, è sufficiente mostrare questa proprietà per la palla unitaria aperta. Se x ed y sono due punti di questa profondità e se θ è un reale tra 0 e 1, quindi:

‖θX+(1-θ)y‖≤θ‖X‖+(1-θ)‖y‖<1.{\ displaystyle \ | \ theta x + (1- \ theta) y \ | \ leq \ theta \ | x \ | + (1- \ theta) \ | y \ | <1.}

Viene quindi verificata la seguente proprietà:

Proprietà  -  Uno spazio vettoriale normalizzato reale è localmente convesso .

Ciò significa che qualsiasi punto ammette una base di quartieri convessi, ad esempio le palline aperte centrate in questo punto.

Standard equivalente

Più aperture contiene la topologia, più precisa diventa l'analisi associata. Per questo motivo, si dice che una topologia contenente almeno tutte le aperture di un'altra sia più fine. Si pone la questione nel caso di due standard e sullo stesso spazio vettoriale E , di sapere a quale criterio sugli standard corrisponde un tale confronto tra le loro topologie associate. NON1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}NON2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}

• NON1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}si dice che sia più fine di (diciamo anche che domina ) se qualsiasi sequenza di vettori di E convergenti per converge per , o ancora, se esiste un reale strettamente positivo come:NON2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}NON1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}NON2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}NON1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}NON2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}α{\ displaystyle \ alpha}∀X∈E, NON2(X)≤αNON1(X).{\ displaystyle \ forall x \ in E, \ {\ mathcal {N}} _ {2} (x) \ leq \ alpha {\ mathcal {N}} _ {1} (x).}Questa definizione è legittimata dal fatto che è più fine di se e solo se la sua topologia associata è più fine di .NON1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}NON2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}T1{\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {1}}T2{\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {2}}
• NON1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}e si dicono equivalenti se ciascuno dei due è più fine dell'altro, o se ci sono due reali strettamente positivi e tali che:NON2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}α{\ displaystyle \ alpha}β{\ displaystyle \ beta}∀X∈E, αNON1(X)≤NON2(X)≤βNON1(X).{\ displaystyle \ forall x \ in E, ~ \ alpha {\ mathcal {N}} _ {1} (x) \ leq {\ mathcal {N}} _ {2} (x) \ leq \ beta {\ mathcal {N}} _ {1} (x).}Ciò corrisponde al fatto che le sfere aperte dei due standard possono essere incluse l'una nell'altra fino alla dilatazione, oppure che le due topologie associate sono le stesse. In termini metrici , le due strutture sono anche uniformemente isomorfe. Su uno spazio vettoriale reale di dimensione finita, tutte le norme sono equivalenti (vedi l'articolo “  Topologia di uno spazio vettoriale di dimensione finita  ”).

Costruzioni generiche

• Qualsiasi prodotto scalare su uno spazio vettoriale reale E definisce la norma euclidea associata da:∀X∈E, ‖X‖=X⋅X.{\ displaystyle \ forall x \ in E, \ \ | x \ | = {\ sqrt {x \ cdot x}}.}Una norma è euclidea (cioè proviene da un prodotto scalare) se e solo se l'applicazioneNON{\ displaystyle {\ mathcal {N}}}(X,y)↦12(NON(X+y)2-NON(X)2-NON(y)2){\ displaystyle (x, y) \ mapsto {\ frac {1} {2}} \ left ({\ mathcal {N}} (x + y) ^ {2} - {\ mathcal {N}} (x) ^ {2} - {\ mathcal {N}} (y) ^ {2} \ right)}è bilineare , e in questo caso questa mappa è il prodotto puntino associato (vedere l'articolo "  Identità di polarizzazione  ").
• Se f è una mappa lineare iniettiva da E a F, allora qualsiasi norma su F induce una norma su E dall'equazione‖X‖E=‖f(X)‖F.{\ displaystyle {\ mathcal {\ |}} x \ | _ {E} = \ | f (x) \ | _ {F}.}
• Se C è un piano aperto convesso limitato ed equilibrato di uno spazio vettoriale reale E , allora il gauge di C è una norma J definita da∀X∈E J(X)=inf{λ>0 | 1λX∈VS}{\ displaystyle \ forall x \ in E ~ J (x) = \ inf \ left \ {\ lambda> 0 ~ \ left | ~ {\ frac {1} {\ lambda}} x \ in C \ right. \ right \}}e dove C è la palla aperta dell'unità .
• Se E ed F sono due spazi vettoriali normalizzati reali o complessi, lo spazio delle mappe lineari continue è fornito con la norma dell'operatore subordinata alle rispettive norme di E ed F scritte:L(E,F){\ displaystyle {\ mathcal {L}} (E, F)}∀T∈L(E,F), ‖T‖=supX∈E∖{0}‖T(X)‖F‖X‖E.{\ displaystyle \ forall T \ in {\ mathcal {L}} (E, F), \ \ | T \ | = \ sup _ {x \ in E \ setminus \ {0 \}} {\ frac {\ | T (x) \ | _ {F}} {\ | x \ | _ {E}}}.}

Esempi

In dimensione finita

In questa sezione, indichiamo un vettore di K n  ; X→{\ displaystyle {\ vec {x}}}(X1,...,Xnon){\ displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}

• la norma euclidea si ottiene dal prodotto scalare o dal prodotto canonico hermitiano  :‖X→‖2=|X1|2+...+|Xnon|2{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + \ ldots + | x_ {n} | ^ {2}}}}e corrisponde alla norma usualmente usata per la distanza tra due punti nel piano o nello spazio abituale (la presenza del 2 in pedice è spiegata subito dopo - nel caso di p = 2: norma 2 );
• la norma 1 è data dalla somma dei moduli (o valori assoluti) dei coefficienti:‖X→‖1=|X1|+...+|Xnon|{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {1} = | x_ {1} | + \ ldots + | x_ {n} |}e induce la distanza di spostamento ad angolo retto su una scacchiera, chiamata distanza di Manhattan  ;
• più in generale, per ogni p maggiore o uguale a 1, la norma p (queste sono le norme di Hölder ) è data dalla seguente formula:‖X→‖p=(|X1|p+...+|Xnon|p)1p.{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {p} = \ left (| x_ {1} | ^ {p} + \ ldots + | x_ {n} | ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}Identifica quindi la norma euclidea con la norma 2, ma soprattutto interessa solo la sua generalizzazione agli spazi funzionali;
• la norma “infinita” è data da:‖X→‖∞=max(|X1|,...,|Xnon|).{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} = \ max \ left (| x_ {1} |, \ dots, | x_ {n} | \ right).}Induce la distanza di spostamento dalle facce e dagli angoli in una rete, come quella del re sulla scacchiera, nota come distanza di Chebyshev .

Tutti questi standard sono equivalenti, da allora ‖X→‖∞≤‖X→‖p≤non1p‖X→‖∞{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} \ leq \ | {\ vec {x}} \ | _ {p} \ leq n ^ {\ frac {1} {p}} \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}.

La disuguaglianza triangolare per le norme p è chiamata disuguaglianza di Minkowski  ; è una conseguenza dei risultati di convessità inclusa la disuguaglianza di Hölder . Quest'ultimo, che generalizza il limite di cui sopra, mostra inoltre che per qualsiasi vettore di K n , l'applicazione decrescente p ↦ ║ ║ p è continua su [1, + ∞] . In effeti, X→{\ displaystyle {\ vec {x}}} X→{\ displaystyle {\ vec {x}}}

1≤p≤q≤∞⇒‖X→‖q≤‖X→‖p≤non1p-1q‖X→‖q{\ Displaystyle 1 \ leq p \ leq q \ leq \ infty \ Rightarrow \ | {\ vec {x}} \ | _ {q} \ leq \ | {\ vec {x}} \ | _ {p} \ leq n ^ {{\ frac {1} {p}} - {\ frac {1} {q}}} \ | {\ vec {x}} \ | _ {q}}.

Altri esempi appaiono in modo classico:

• La norma sullo spazio dei quaternioni è la norma euclidea applicata alla base .(1,io,j,K){\ displaystyle (1, i, j, k)}
• Lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale an può essere fornito con norme derivate da spazi funzionali (vedi sotto).

Si noti che un'implementazione "ingenua" della formula su un computer può portare a errori di overshoot o undershoot per valori estremi (molto grandi o molto piccoli in valore assoluto): il passaggio intermedio della quadratura può portare a risultati che non possono essere rappresentati secondo allo standard IEEE 754 , e quindi ad un risultato finale pari a 0 o “infinito”, anche se il risultato finale è esso stesso rappresentabile. Per evitare ciò, possiamo fattorizzare per  : ognuno è nell'intervallo (e almeno uno dei valori è esattamente 1), quindi il contenuto della radice è nell'intervallo , impedendo sorpassi e underlay se il risultato finale è rappresentabile. Un altro metodo è quello di Moler e Morrison . ‖X→‖2=|X1|2+...+|Xnon|2{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + \ ldots + | x_ {n} | ^ {2}}}}‖X→‖2{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {2}}‖X→‖∞=max(|X1|,...,|Xnon|){\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} = \ max \ left (| x_ {1} |, \ dots, | x_ {n} | \ right)}‖X→‖2=‖X→‖∞×|X1‖X→‖∞|2+...+|Xnon‖X→‖∞|2{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {2} = \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} \ times {\ sqrt {\ left | {\ frac {x_ { 1}} {\ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}} \ right | ^ {2} + \ ldots + \ left | {\ frac {x_ {n}} {\ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}} \ right | ^ {2}}}}|Xio‖X→‖∞|{\ displaystyle \ left | {\ frac {x_ {i}} {\ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}} \ right |}[0,1]{\ displaystyle [0,1]}[1,non]{\ displaystyle [1, n]}

In una dimensione infinita

• Sullo spazio delle funzioni continue definite su un segmento di ℝ e con valori reali o complessi, troviamo, per p maggiore o uguale a 1, norme p definite in modo simile a quelle sugli spazi vettoriali a dimensione finita:VS0([a,b]){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0} ([a, b])}[a,b]{\ displaystyle [a, b]}‖f‖p=(∫ab|f(t)|pdt)1/p{\ displaystyle {\ | f \ |} _ {p} = \ sinistra (\ int _ {a} ^ {b} | f (t) | ^ {p} \ mathrm {d} t \ destra) ^ {1 / p}}che in particolare permettono di definire gli spazi L p .
  In particolare, la norma euclidea associata al prodotto scalare o canonico Hermitiano è definita da‖f‖2=∫ab|f(t)|2 dt.{\ displaystyle {\ | f \ |} _ {2} = {\ sqrt {\ int _ {a} ^ {b} | f (t) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} t}}.}Il “infinito” norma o sup norma o addirittura norma di convergenza uniforme è scritto‖f‖∞=supt∈[a,b]|f(t)|{\ displaystyle {\ | f \ |} _ {\ infty} = \ sup _ {t \ in [a, b]} | f (t) |}e lì si ottiene anche come limite delle norme p quando p tende all'infinito.
  Tutti questi standard non sono equivalenti due a due.
  Inoltre, possono essere facilmente estesi a spazi di funzioni continue su un compatto di ℝ n , o anche a funzioni continue con supporto compatto.
• Nello spazio delle funzioni differenziabili con derivata continua, si può utilizzare uno degli standard sopra indicati o anche prendere in considerazione la derivata utilizzando uno standard come segue:VS1([a,b]){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1} ([a, b])}‖f‖=∫ab(|f(t)|+|f′(t)|) dt{\ displaystyle \ | f \ | = \ int _ {a} ^ {b} (| f (t) | + | f '(t) |) ~ \ mathrm {d} t}per considerare l'applicazione derivata da in come continua.VS1([a,b]){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1} ([a, b])}VS0([a,b]){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0} ([a, b])}
• Nello spazio ℓ ∞ delle successioni limitate , la norma naturale è la norma sup  :‖(unon)non∈NON‖∞=supnon∈NON|unon|.{\ displaystyle {\ | (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ |} _ {\ infty} = \ sup _ {n \ in \ mathbb {N}} | u_ {n} |.}

Norma algebra

Definizione

Una norma su un'algebraNON{\ displaystyle {\ mathcal {N}}} A{\ displaystyle A}

è chiamata norma algebrica se esiste una costante reale tale che VS{\ displaystyle C}∀(X,y)∈A2NON(X×y)≤VSNON(X)NON(y){\ displaystyle \ forall (x, y) \ in A ^ {2} \ quad {\ mathcal {N}} (x \ times y) \ leq C \, {\ mathcal {N}} (x) {\ mathcal {N}} (y)} [rif. necessario]

in altre parole tale che la norma sia sub-moltiplicativa ( ). NON′: =VSNON{\ displaystyle {\ mathcal {N}} ': = C {\ mathcal {N}}}NON′(X×y)≤NON′(X)NON′(y){\ displaystyle {\ mathcal {N}} '(x \ times y) \ leq {\ mathcal {N}}' (x) {\ mathcal {N}} '(y)}

Nel caso di un'algebra reale o complessa, la condizione è equivalente alla continuità del prodotto come mappa bilineare.

Se l'algebra è unitaria, possiamo richiedere la norma che soddisfi anche:

NON(1A)=1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} (1_ {A}) = 1},

in tal caso la moltiplicazione per una costante non può più essere utilizzata per "rinormalizzare" la norma.

Esempi

• Il modulo applicativo è una norma algebrica su ℂ considerata ℝ-algebra.
• La norma dell'operatore su è una norma algebrica.L(E){\ displaystyle {\ mathcal {L}} (E)}
• La norma “infinita” su ℂ n induce la norma dell'operatore su cui è scritto:Mnon(VS){\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {C})}

∀(aio,j)∈Mnon(VS), ‖(aioj)‖=maxio∑j|aioj|.{\ displaystyle \ forall (a_ {i, j}) \ in {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {C}), \ \ | (a_ {ij}) \ | = \ max _ { i} \ sum _ {j} | a_ {ij} |.}

Note e riferimenti

Appunti

1. Xavier Gourdon, Analisi ,2020( ISBN  978-2-340-03856-1 , OCLC  1160201780 ).
2. Standard 1 è anche chiamato Manhattan norm in inglese.
3. La parola "infinito" è il nome dello standard e non un aggettivo qualificante. Pertanto non concorda con la parola "standard".
4. Ad esempio  : Topologia degli spazi vettoriali di dimensione finita , Università Paris Diderot,‖X→‖∞≤‖X→‖2≤‖X→‖1≤non‖X→‖∞{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} \ leq \ | {\ vec {x}} \ | _ {2} \ leq \ | {\ vec {x}} \ | _ {1} \ leq n \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}2005, 17  p. ( leggi in linea ) , p.  2.

Riferimenti

• Haïm Brezis , Analisi funzionale: teoria e applicazioni [ dettaglio delle edizioni ]Un'introduzione all'analisi funzionale, tratta principalmente con due esempi gli spazi di Banach e Hilbert .
• Serge Lang , Real Analysis , InterEditions, 1977 ( ISBN  978-2-72960059-4 )Il capitolo II tratta degli spazi vettoriali topologici in generale e in particolare dell'argomento dell'articolo.

Vedi anche

Articolo correlato

• Proprietà metriche di linee e piani

link esterno

• "  Spazi metrici e spazi standard  " , su les-mathematiques.net
• Spazio normato, lo spazio pre-Hilbert B. Silvi, il laboratorio di Chimica Teorica del Pierre e Marie Curie dell'Università
• Standard, ecc. sul sito bibmath.net