Dimensione di uno spazio vettoriale
In algebra lineare , la dimensione di Hamel o semplicemente dimensione è invariante associata con qualsiasi spazio vettoriale E su un corpo K . La dimensione di E è il cardinale comune a tutte le sue basi . Questo numero è denotato dim K ( E ) (leggi "dimensione di E su K ") o dim ( E ) (se non c'è confusione sul campo K degli scalari ). Se E ammette una parte generatrice finita, allora la sua dimensione è finita ed è il numero di vettori che costituiscono una base E .
Questa definizione si basa da un lato sull'esistenza di basi, corollario del teorema di base incompleto , e dall'altro sul teorema di dimensione per spazi vettoriali , che assicura che due basi dello stesso spazio abbiano lo stesso cardinale. Questa dimensione a volte prende il nome dal matematico tedesco Georg Hamel . Fino all'isomorfismo , gli spazi vettoriali K sono classificati in base alle loro dimensioni. Una terminologia è specifica per i piccoli spazi:
- Spazio nullo : designa uno spazio E di dimensione 0. Ammette come elemento unico il suo vettore zero . La famiglia vuota è una famiglia massima libera ; è l'unica base di E ;
- Vettore o linea retta: designa uno spazio vettoriale E di dimensione 1. Qualsiasi vettore diverso da zero di E forma una base di E ;
- Plane vettore o aereo: denota un vettore spazio E di dimensione 2. Ogni coppia ( u, v ) di non vettoriale collineare con E forma una base di E .
Esempi
La dimensione di uno spazio vettoriale può essere calcolata scegliendo una base canonica:
- Il campo K , visto come K- spazio vettoriale , è di dimensione 1. Per ogni numero naturale n , il prodotto cartesiano K n è lo spazio vettoriale delle n -tuple di scalari. È di dimensione n , la sua base canonica comprende esattamente n vettori. Dalla definizione deriva che ogni base di K n ha esattamente n vettori.
- Più in generale, per ogni insieme A , indichiamo con K ( A ) l'insieme di famiglie (λ a ) a∈A di elementi di K indicizzati da A e con supporto finito. L' addizione e la moltiplicazione per uno scalare essendo definito termine per termine, K ( A ) è uno spazio K- vettoriale. La sua base canonica è la famiglia ( e una ) a∈A dove e b = ( δ , b ) a∈A per b ∈ A . Ne consegue che la dimensione di K ( A ) è la cardinalità di A .
- Nello spazio vettoriale K [ X ] di polinomi con coefficienti in un campo K , i polinomi di grado minore o uguale an formano un sottospazio vettoriale a base canonica (1, X, ..., X n ) quindi di dimensione n + 1.
- Lo spazio vettoriale delle matrici con n righe e p colonne, con coefficienti K , ha per base canonica famiglia ( E i, j ) costituito da matrici con un 1 alla i esima riga e j esima colonna e zeri altrove. È quindi di dimensione np .
La scelta del campo degli scalari è importante.
- Il campo dei numeri complessi può essere considerato sia come spazio ℝ vettoriale bidimensionale che come spazio ℂ vettoriale unidimensionale.
Proprietà
Se F è un sottospazio vettoriale di E , allora dim ( F ) ≤ dim ( E ).
Per dimostrare che due spazi vettoriali di dimensione finita sono uguali, spesso usiamo il seguente teorema: Se E è uno spazio vettoriale di dimensione finita e F un sottospazio vettoriale di E della stessa dimensione, quindi E = F . Questa implicazione diventa falsa nella dimensione infinita.
In uno spazio di dimensione d (finita o no), il cardinale di ogni famiglia libera è inferiore o uguale a D e di una qualsiasi famiglia di generazione è superiore o uguale a d .
Un risultato importante sulla dimensione riguardante le mappe lineari è il teorema dei ranghi .
Classificazione
Due spazi K -vector sono isomorfi (se e solo) se hanno la stessa dimensione. In effetti, qualsiasi mappatura uno a uno tra le loro basi può essere estesa in modo univoco in un isomorfismo tra i due spazi vettoriali.
Per ogni insieme A , esistono K -spazi vettoriali di dimensione | A | : ad esempio lo spazio K ( A ) ( cfr. sopra ).
Modifica di K
Sia L / K un'estensione di campo. Allora L è un K spazio-vettore, il vettore somma risultante dalla somma nel corpo L , e la moltiplicazione scalare è limitato a K × L della moltiplicazione in L . La dimensione di L su K è chiamata grado di estensione ed è denotata da [ L : K ].
Inoltre, qualsiasi spazio L -vettore E è anche uno spazio K -vector, per restrizione della moltiplicazione. Le dimensioni sono collegate dalla formula:
In particolare, qualsiasi spazio vettoriale complesso di dimensione n è uno spazio vettoriale reale di dimensione 2 n .
Dimensione e cardinale
La dimensione dello spazio vettoriale K ( A ) è la cardinalità di A . Questa affermazione segue la seguente relazione, che collega il cardinale del corpo K scalari, la cardinalità del vettore spazio E , e la sua dimensione di circa K .
- Se d è finito, allora (in particolare, | E | = 1 se d = 0, e | E | = | K | se K è infinito e d ≠ 0).
- Se d è infinito, allora . Infatti, se B è una base, E è equipotente all'insieme delle parti finite dell'insieme infinito B × K * quindi | E | = | B × K * | = max (| B |, | K * |) = max (| B |, | K |) .
In particolare, uno spazio vettoriale K E è uno spazio vettoriale finito se e solo se K è finito ed E è di dimensione finita.
In particolare, un campo finito L può essere visto come uno spazio vettoriale sopra il suo campo primo K , che ha un numero primo p , chiamato la caratteristica di L , come sua cardinalità . Se n è la dimensione di L su K , allora L è il cardinale p n . Il cardinale di ogni campo finito è una potenza intera della sua caratteristica: è un numero primario .
Generalizzazione
È possibile vedere uno spazio vettoriale come un caso particolare di un matroide , e per quest'ultimo esiste una nozione ben definita di dimensione. La lunghezza di un modulo e il rango di un gruppo abeliano libero o più in generale di qualsiasi gruppo abeliano (in) hanno molte proprietà simili alla dimensione degli spazi vettoriali.
Note e riferimenti
- (in) Michael Artin , Algebra [ dettagli di pubblicazione ], p. 93 , definizione 3.18.
- Roger Godement , Cours d'Algebre , 1966, p. 247 , esempio 1.