Spazio di Banach

In matematica , specialmente nella funzione di analisi , chiamata spazio Banach uno spazio vettoriale normato su un sottocampo K di ℂ (solitamente K = ℝ o ℂ), pieno fino all'estremità remota del suo standard . Poiché la topologia indotta dalla sua distanza è compatibile con la sua struttura di spazio vettoriale, è uno spazio vettoriale topologico . Gli spazi di Banach hanno molte proprietà che li rendono uno strumento essenziale per l' analisi funzionale . Devono il loro nome al matematico polacco Stefan Banach .

Caratterizzazione per serie

Uno spazio vettoriale normalizzato è uno spazio di Banach se e solo se, in questo spazio, qualsiasi serie assolutamente convergente è convergente .

Esempi di spazi di Banach

Qualsiasi spazio vettoriale dimensionale finito su ℝ (risp. ℂ) dotato di qualsiasi norma , per esempio una norma euclidea (risp. Hermitiana ).
Per ogni insieme X e ogni spazio di Banach E , lo spazio B ( X , E ) delle mappe limitate da X a E , dotato della norma di convergenza uniforme .
Qualsiasi sottospazio vettoriale chiuso di uno spazio di Banach. Ad esempio, se X è uno spazio topologico e E Banach: il sottospazio di B ( X , E ) delle due funzioni continue e limitate, in particolare lo spazio C ( K , E ) delle funzioni continue su uno spazio compatto K . (Infatti, secondo il teorema di Banach-Alaoglu-Bourbaki , qualsiasi spazio di Banach è un sottospazio chiuso di un C ( K , ℝ).)
Gli spazi di Hilbert .
Più in generale , per 1 ≤ p ≤ $\infty$ , lo spazio $L$ p ( X ) delle classi di funzioni misurabili (con valori reali o complessi) su uno spazio misurato X , e la cui potenza p -th è integrabile (o che sono limitate, se p = $\infty$ ).
Qualsiasi quoziente di spazio vettoriale normalizzato di uno spazio di Banach da un sottospazio chiuso - grazie alla caratterizzazione della serie sopra. (In effetti, qualsiasi spazio di Banach separabile è un tale quoziente di $ℓ 1.$ )

Teorema dell'applicazione aperta e sue varianti

Lasciate E e F due spazi di Banach e f una mappatura lineare continuo di E a F .

Se f è suriettiva , allora è aperta , vale a dire che l' immagine da f di qualsiasi aperta di E è aperto a F .
Se f è biiettiva, allora è un omeomorfismo .
La biiezione lineare continua associata con f , di E / ker ( f ) in f ( E ) è un omeomorfismo se e solo se f ( E ) è chiuso F .
Teorema del grafo chiuso : qualsiasi mappa lineare da E a F il cui grafico è chiuso in E × F è continua .

Proprietà di chiuso annidato

Come ogni spazio metrico completo, uno spazio di Banach soddisfa la seguente proprietà:

Sia una sequenza decrescente di quelli chiusi non vuoti la cui sequenza di diametro tende verso 0. Allora l'intersezione di quelli chiusi è non vuota e ridotta a un singoletto .

Questa proprietà permette di dimostrare che qualsiasi spazio metrico completo (in particolare qualsiasi spazio di Banach) è Baire , e di dedurre il teorema di Banach-Steinhaus di seguito.

Teorema di Banach-Steinhaus

Sia uno spazio di Banach, uno spazio vettoriale normato, una famiglia di elementi di ℒ ( E, F ) e l'insieme di vettori di tale quello . Quindi, o è magro , vale a dire un'unione numerabile di insiemi rari (un insieme è raro se la sua adesione è interna vuota) e il suo complemento è denso , o (dove denota la norma dell'operatore di ). In particolare, se , è possibile solo la seconda possibilità. $E$ $F$ ${\ Displaystyle \ left (u_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ $A$ $X$ $E$ ${\ displaystyle \ sup _ {i \ in I} \ sinistra \ | u_ {i} (x) \ destra \ | <{+ \ infty}}$ $A$ ${\ displaystyle \ sup _ {i \ in I} \ left \ | u_ {i} \ right \ | <{+ \ infty}}$ ${\ displaystyle \ sinistra \ | u_ {i} \ destra \ |}$ $u_i$ $A = E$

Nota

Per una dimostrazione, vedere ad esempio il capitolo "Spazi di Banach - Completezza" della lezione "Spazi vettoriali standard" su Wikiversità .

Vedi anche

Bibliografia

Stefan Banach , Teoria delle operazioni lineari , Warszawa, 1932 (Monografie Matematyczne; 1) Zbl 0005.20901
(en) Bernard Beauzamy , Introduzione agli spazi di Banach e alla loro geometria , Olanda settentrionale,1985, 2 ° ed. ( leggi online )
N. Bourbaki , Spazi vettoriali topologici , Springer-Verlag,1987
(en) William B. Johnson (de) e Joram Lindenstrauss , Handbook of the Geometry of Banach Spaces , vol. 1, Elsevier,2001, 1016 p. ( ISBN 978-0-08-053280-6 , leggi in linea )
(en) MI Kadets e BM Levitan (en) , "Banach space" , in Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leggi in linea )