Anello opposto
In algebra , l' anello opposto A 0 o A op di un anello A ha lo stesso gruppo additivo sottostante di A e la sua moltiplicazione viene eseguita nell'ordine opposto: se indichiamo e le rispettive moltiplicazioni di A e At op , abbiamo
⋅A{\ displaystyle \ cdot _ {A}}⋅Aop{\ displaystyle \ cdot _ {A ^ {\ rm {op}}}}
a⋅Aopb=b⋅Aa{\ displaystyle a \ cdot _ {A ^ {\ rm {op}}} b = b \ cdot _ {A} a}.
La nozione di anello opposto consente di unificare lo studio dei moduli a sinistra e dei moduli a destra , perché i moduli a destra su un anello sono esattamente i moduli a sinistra sull'anello opposto.
Proprietà
A e A op hanno anche zero e (se applicabile) la stessa unità. L'uguaglianza A = A op si ha se e solo se A è commutativa . In particolare, se A è un campo , anche A op .
Se A è un campo sinistro (chiamato anche anello di divisione) che non è commutativo, anche l'anello opposto di A è un campo sinistro non commutativo. In questo caso, a volte si parla di "corpo opposto di A " piuttosto che di "anello opposto di A ".
Qualsiasi K -algebra A è isomorfa all'opposto della K -algebra degli endomorfismi di A -modulo A :
A≃(EnondA(A))op{\ displaystyle A \ simeq \ left ({\ rm {End}} _ {A} (A) \ right) ^ {\ rm {op}}}.
Dimostrazione
Per entrambi definiti da: . La mappa è una biiezione di into , di reciproca biiezione . Infatti, per tutti , . È un isomorfismo di in , il punto essenziale è questo . Quindi .
a∈A{\ displaystyle a \ in A}ra∈EnondA(A){\ displaystyle r_ {a} \ in {\ rm {End}} _ {A} (A)}ra(X)=X⋅Aa{\ displaystyle r_ {a} (x) = x \ cdot _ {A} a}r{\ displaystyle r}A{\ displaystyle A}EnondA(A){\ displaystyle {\ rm {End}} _ {A} (A)}f↦f(1){\ displaystyle f \ mapsto f (1)}f∈EnondA(A){\ displaystyle f \ in {\ rm {End}} _ {A} (A)}rf(1)(X)=X⋅af(1)=f(X){\ Displaystyle r_ {f (1)} (x) = x \ cdot _ {a} f (1) = f (x)}Aop{\ displaystyle A ^ {\ rm {op}}}EnondA(A){\ displaystyle {\ rm {End}} _ {A} (A)}(ra∘rb)(X)=X⋅Ab⋅Aa=X⋅A(a⋅Aopb)=ra⋅Aopb(X){\ displaystyle (r_ {a} \ circ r_ {b}) (x) = x \ cdot _ {A} b \ cdot _ {A} a = x \ cdot _ {A} \ left (a \ cdot _ { A ^ {\ rm {op}}} b \ right) = r_ {a \ cdot _ {A ^ {\ rm {op}}} b} (x)}A=(Aop)op≃(EnondA(A))op{\ displaystyle A = (A ^ {\ rm {op}}) ^ {\ rm {op}} \ simeq \ left ({\ rm {End}} _ {A} (A) \ right) ^ {\ rm {operazione}}}
Vedi anche
Note e riferimenti
-
espressione è conforme a N. Bourbaki , Algebra I , Parigi,1970, p. I.96, def. V, che utilizza la notazione A 0 .
-
Bourbaki 1970 , p. II, 2.
-
Vedi ad esempio Bourbaki 1970 , p. II.159, prop. 10.
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