Morfismo di gruppo

Un morfismo di gruppi o omomorfismo di gruppo viene applicato tra due gruppi che rispetta la struttura del gruppo.

Più precisamente, è un morfismo dei magmi da un gruppo a un gruppo , vale a dire un'applicazione tale (G,∗){\ displaystyle (G, *)}(G′,⋆){\ displaystyle (G ', \ star)}f:G→G′{\ displaystyle f: G \ to G '}

∀X,y∈Gf(X∗y)=f(X)⋆f(y){\ Displaystyle \ forall x, y \ in G \ quad f (x * y) = f (x) \ star f (y)},

e poi lo deduciamo

• f ( e ) = e ' (dove e ed e' denotano irispettivi neutri di G e G ' ) e
• ∀ x ∈ G f ( x −1 ) = [ f ( x )] −1 .

Dimostrazione

• e∗e=e{\ displaystyle e * e = e}quindi  ; componendo per l' inverso di , otteniamo (in altre parole, un morfismo di gruppo mantiene l' idempotenza , e l'elemento neutro di un gruppo è il suo unico elemento idempotente).f(e)⋆f(e)=f(e){\ Displaystyle f (e) \ star f (e) = f (e)}f(e){\ displaystyle f (e)}f(e)=e′{\ displaystyle f (e) = e '}
• X∗X-1=X-1∗X=e{\ displaystyle x * x ^ {- 1} = x ^ {- 1} * x = e}quindi  ; così e sono inversi l'uno dell'altro.f(X)⋆f(X-1)=f(X-1)⋆f(X)=e′{\ Displaystyle f (x) \ star f (x ^ {- 1}) = f (x ^ {- 1}) \ star f (x) = e '}f(X){\ displaystyle f (x)}f(X-1){\ displaystyle f (x ^ {- 1})}

Queste dimostrazioni si applicano in un contesto più generale: si vedano i § “  Morfismo dei monoidi  ” e “  Simmetria di un elemento  ” dell'articolo sui monoidi.

Un morfismo di un gruppo G al suo interno è chiamato endomorfismo di G.

Diciamo che è un isomorfismo di gruppi se è un morfismo biettivo . In questo caso, è anche un isomorfismo di gruppi. Se inoltre , in altre parole, se l'isomorfismo è un endomorfismo, diciamo che è un automorfismo del gruppo . f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}f-1{\ displaystyle f ^ {- 1}}(G,∗)=(G′,⋆){\ displaystyle (G, *) = (G ', \ star)}f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}G{\ displaystyle G}

Un morfismo di gruppo trasporta la legge di gruppo e quindi conserverà tutte le proprietà legate a questa legge. È quindi interessante studiare come si comportano i principali oggetti della teoria dei gruppi sotto l'effetto dei morfismi.

Esempi

• Il morfismo zero da G a G ' è la costante mappa x ↦ e' .
• La funzione esponenziale complessa verifica:VS→VS∗,z↦ez{\ displaystyle \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C} ^ {*}, \, z \ mapsto \ mathrm {e} ^ {z}}ez+z′=ez×ez′.{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {z + z '} = \ mathrm {e} ^ {z} \ times \ mathrm {e} ^ {z'}.}È quindi un morfismo di gruppi di (ℂ, +) in (ℂ *, ×) e - per restrizione - di (ℝ, +) in (ℝ + *, ×).

Collegamenti con sottogruppi

Sia un morfismo di gruppi. Allora : f:G→G′{\ displaystyle f: G \ to G '}

• l' immagine inversa di qualsiasi sottogruppo di è un sottogruppo di , e se più è normale in allora è normale in .f-1(H′){\ displaystyle f ^ {- 1} (H ')} H′{\ displaystyle H '}G′{\ displaystyle G '}G{\ displaystyle G}H′{\ displaystyle H '}G′{\ displaystyle G '}f-1(H′){\ displaystyle f ^ {- 1} (H ')}G{\ displaystyle G}
• l' immagine diretta di qualsiasi sottogruppo di è un sottogruppo di , e se più è normale in allora è normale in (quindi in se è suriettivo).f(H){\ displaystyle f (H)}H{\ displaystyle H}G{\ displaystyle G}G′{\ displaystyle G '}H{\ displaystyle H}G{\ displaystyle G}f(H){\ displaystyle f (H)}f(G){\ displaystyle f (G)}G′{\ displaystyle G '}f{\ displaystyle f}

Nucleo e immagine

Come per qualsiasi applicazione, l' immagine di un morfismo di gruppo è definita da: f:G→G′{\ displaystyle f: G \ to G '}

sono⁡(f)=f(G),{\ Displaystyle \ operatorname {im} (f) = f (G),}

ed è suriettiva se e solo se la sua immagine è uguale a . f{\ displaystyle f}G′{\ displaystyle G '}

Il kernel ( Kern in tedesco, kernel in inglese) è più specifico per i morfismi. Chiamiamo il nucleo della morfismo set f{\ displaystyle f}

ker⁡(f)=f-1({e′}),{\ Displaystyle \ ker (f) = f ^ {- 1} (\ {e '\}),}

ed è iniettiva se e solo se il suo kernel è ridotto a . f{\ displaystyle f}{e}{\ displaystyle \ {e \}}

Secondo il § precedente, per qualsiasi morfismo , è un sottogruppo di ed è un normale sottogruppo di . Inoltre, se S è una parte generatrice di G , allora f ( S ) è una parte generatrice di im ( f ). f:G→G′{\ displaystyle f: G \ to G '}sono⁡(f){\ Displaystyle \ operatorname {im} (f)}G′{\ displaystyle G '}ker⁡(f){\ displaystyle \ ker (f)}G{\ displaystyle G}

Isomorfismi di gruppi

Un gruppo di isomorfismo è un gruppo che il morfismo è biettivo .

Quando c'è un isomorfismo dal gruppo al gruppo , la sua reciproca biiezione è un isomorfismo dal gruppo al gruppo  ; allora diciamo che i due gruppi sono isomorfi , cosa che notiamo . G{\ displaystyle G}G′{\ displaystyle G '}G′{\ displaystyle G '}G{\ displaystyle G}G≃G′{\ displaystyle G \ simeq G '}

Automorfismi di gruppo

Un automorfismo di gruppo è un morfismo che è sia un isomorfismo di gruppi che un endomorfismo di gruppo

L'insieme degli automorfismi del gruppo G è generalmente indicato con Aut ( G ). È un sottogruppo del gruppo delle biiezioni da G a G (provvisto della legge di composizione ).

Teoremi di isomorfismo

I seguenti tre teoremi di isomorfismo possono essere generalizzati a strutture diverse dai gruppi. Vedi in particolare Algebra universale # Passaggio al quoziente e teoremi di isomorfismo .

Primo teorema di isomorfismo

f{\ displaystyle f}induce un isomorfismo del gruppo quoziente a .G/ker⁡f{\ displaystyle G / \ ker f \,}f(G){\ displaystyle f (G) \,}

Da questo teorema fondamentale deduciamo altri due teoremi di isomorfismo.

Secondo teorema di isomorfismo

Se N è un sottogruppo normale di G e H è un sottogruppo di G, allora è un sottogruppo normale di H e abbiamo il seguente isomorfismo: H∩NON{\ displaystyle H \ cap N}

H/(H∩NON)≃NONH/NON.{\ displaystyle H / (H \ cap N) \ simeq NH / N.}

Terzo teorema di isomorfismo

Sono N e M due sottogruppi di normale G tale che M è incluso nel N . Allora N / M è un normale sottogruppo di G / M e abbiamo il seguente isomorfismo:

(G/M)/(NON/M)≃G/NON.{\ displaystyle (G / M) / (N / M) \ simeq G / N.}

Nota

1. Per una dimostrazione, vedere ad esempio il § “Omomorfismi” del corso sui gruppi su Wikiversità . E per i complementi sui sottogruppi normali, vedere Sottogruppo normale # Collegamento con morfismi di gruppo .

Vedi anche

Articoli Correlati

• Automorfismo degli interni
• Categoria di gruppi
• Crittografia omomorfica

Bibliografia

• Josette Calais, Elementi di teoria dei gruppi , Parigi, PUF , 1984.
• Bernard Charles e Denis Allouch, General Algebra , Parigi, PUF, 1984.

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