In matematica , la teoria algebrica K è un ramo importante dell'algebra omologica . Il suo scopo è definire e applicare una sequenza di funtori K n dalla categoria degli anelli a quella dei gruppi abeliani . Per ragioni storiche, K 0 e K 1 sono concepiti in termini leggermente diversi da K n per n ≥ 2. Questi due gruppi K sono effettivamente più accessibili e hanno più applicazioni di quelli con indici più alti. La teoria di questi ultimi va molto più in profondità e sono molto più difficili da calcolare, se non altro per l' anello degli interi .
Il gruppo abeliano K 0 ( A ) generalizza la costruzione del gruppo di classi ideali di un anello A usando i moduli A - proiettivi . È stato sviluppato negli anni '60 e '70 - in cui la " congettura di Serre " sui moduli proiettivi divenne il teorema di Quillen-Suslin (in) - ed è stato collegato a molti altri problemi algebrici classici. Allo stesso modo, il gruppo K 1 ( A ) è una modifica del gruppo di unità , utilizzando le matrici elementari ; è importante in topologia , specialmente quando A è un anello di gruppo , perché un gruppo quoziente , il gruppo Whitehead (en) , contiene la torsione Whitehead (en) , usata nella teoria dell'omotopia semplice e nella chirurgia . Il gruppo K 0 ( A ) contiene anche altri invarianti , come l' invariante di finitudine . Dagli anni '80, la teoria algebrica K ha avuto sempre più applicazioni nella geometria algebrica . Ad esempio, la coomologia motivica è intimamente collegata ad essa.
Alexandre Grothendieck ha scoperto la teoria K a metà degli anni '50, come struttura per stabilire la sua generalizzazione di vasta portata del teorema di Riemann-Roch . Alcuni anni dopo, Michael Atiyah e Friedrich Hirzebruch consideravano simile, la teoria topologica K (in) .
A partire dal 1960, furono scoperte applicazioni dei gruppi K , in particolare nella chirurgia multiforme , e molti altri collegamenti a problemi algebrici classici.
Un po 'più tardi, una branca della teoria delle algebre degli operatori è stata sviluppata con profitto, dando origine alla teoria K degli operatori (en) e alla teoria KK (di) . Divenne anche chiaro che la teoria K aveva un ruolo da svolgere nella geometria algebrica, nella teoria dei cicli (congettura di Gersten): i gruppi di teoria K superiore erano collegati a fenomeni con codimensioni superiori , quelli più difficili da comprendere.
Sorse il problema della varietà di definizioni della Teoria K , a prima vista non equivalenti. Usando il lavoro di Steinberg sulle estensioni centrali universali dei gruppi algebrici classici , John Milnor sceglie di definire il gruppo K 2 ( A ) di un anello A come il centro , isomorfo a H 2 (E ( A ), ℤ) , dell'estensione centrale universale del gruppo E ( A ) generato da matrici elementari infinito A . Esiste una mappa bilineare naturale da K 1 ( A ) × K 1 ( A ) a K 2 ( A ). Nel caso particolare di un campo k , il gruppo K 1 (k) è isomorfo al gruppo moltiplicativo GL (1, k ) , e calcoli di Hideya Matsumoto hanno dimostrato che K 2 ( k ) è isomorfo al gruppo generato da K 1 ( k ) × K 1 ( k ) modulo un insieme di relazioni facili da descrivere.
Queste difficoltà fondamentali finalmente sono stati risolti (lasciando una teoria profonda e difficile) di Daniel Quillen , che ha dato diverse definizioni di K n ( A ) per tutti i naturali numeri n , attraverso la sua costruzione più e la sua Q costruzione .
I K -gruppi di indice 0 e 1 sono stati i primi ad essere scoperti, sotto varie descrizioni ad hoc , che rimangono utili. In ciò che segue, A denota un anello unifero .
Tutte le classi di isomorfismo di A - moduli proiettivi di tipo finito , dotati della somma diretta , formano un monoide . Definiamo K 0 ( A ) come il suo gruppo Grothendieck .
Qualsiasi morfismo degli anelli A → B dà una mappa K 0 ( A ) → K 0 ( B ) che invia (la classe di) un qualsiasi modulo A M (proiettivo e di tipo finito) su M ⊗ A B , che fa di K 0 un funtore covariante.
Se l'anello A è commutativo , possiamo definire in K 0 ( A ) il sottogruppo
o
è l'applicazione a cui (la classe di) M associa il rango di A P - modulo libero M P (questo modulo è effettivamente libero, poiché è un modulo proiettivo su un anello locale ). Questo sottogruppo è chiamato K ridotto indice -teoria 0 di A .
Possiamo estendere la definizione di K 0 ad un anello B non necessariamente unificato considerando il suo A = B 1 unitarizzato e il morfismo canonico degli anelli unificati A → ℤ. Definiamo quindi K 0 ( B ) come il nucleo del corrispondente morfismo K 0 ( A ) → K 0 (ℤ) = ℤ.
EsempiO ho un ideale di A . Definiamo il "doppio" associato come il seguente sottoanello dell'anello di prodotto A × A :
quindi il relativo gruppo K :
dove l'applicazione è indotta dalla proiezione sul primo fattore.
Questo gruppo K relativo K 0 ( A , I ) è isomorfo a K 0 ( I ), dove I è visto come un anello senza unità. Il fatto che sia indipendente da A è un analogo del teorema dell'escissione in omologia.
Anello K 0Se l'anello A è commutativo, il prodotto tensoriale di due moduli proiettivi è ancora proiettivo, il che induce una moltiplicazione rendendo K 0 un anello commutativo, con la classe [ A ] come neutro moltiplicativo. Allo stesso modo, il prodotto esterno induce una struttura di anello λ (en) . Il gruppo di Picard si immerge nel gruppo di unità di K 0 ( A ).
Hyman Bass ha dato la seguente definizione, che generalizza quella del gruppo di unità di un anello: K 1 ( A ) è l' abelianizzato del gruppo generale lineare infinito :
Secondo il lemma di Whitehead , il gruppo derivato [GL ( A ), GL ( A )] coincide con il sottogruppo perfetto E ( A ) generato dalle matrici elementari. Il gruppo GL ( A ) / E ( A ), prima identificato e studiato da Whitehead, viene chiamato gruppo Whitehead dell'anello A .
K 1 parenteIl gruppo K relativo K 1 ( A , I ) è definito in termini di " doppio ":
Si inserisce in una sequenza esatta :
Anelli commutativi
Se l'anello A è commutativo, possiamo definire un morfismo determinazione , GL ( A ) dal gruppo A × unità di A . Questa mappa svanisce su E ( A ) quindi passa al quoziente e definisce un morfismo det: K 1 ( A ) → A × , il cui nucleo è lo speciale gruppo Whitehead SK 1 ( A ): = SL ( A ) / E ( A ). Otteniamo anche una breve divisione esatta della sequenza sulla destra quoziente di quello, la cui sezione A × → GL ( A ) è data dall'inclusione di A × = GL (1, A ) in GL ( A ).
Pertanto, K 1 ( A ) si decompone nella somma diretta del gruppo di unità e del gruppo speciale Whitehead: K 1 ( A ) ≃ A × ⊕ SK 1 ( A ).
Se A è un anello euclideo (ad esempio un campo commutativo , o l'anello di numeri interi) o semi-locale , il gruppo SK 1 ( A ) è banale e il determinante è un isomorfismo da K 1 ( A ) in A × . Questo è sbagliato per qualsiasi anello principale , che fornisce una delle rare proprietà degli anelli euclidei che non si generalizzano agli anelli principali. Di esempi contrari furono forniti da Bass nel 1972 e da Ischebeck nel 1980.
SK 1 ( A ) è anche banale se A è una sottorubrica Dedekind di un campo numerico .
La banalità di SK 1 può essere interpretata dicendo che K 1 è generato dall'immagine di GL 1 . Quando questo non è il caso, possiamo scoprire se K 1 è generato dall'immagine di GL 2 . Questo è vero per un anello Dedekind, K 1 viene quindi generato dalle immagini di GL 1 e SL 2 . Possiamo studiare il sottogruppo di SK 1 generato da SL 2 utilizzando i simboli Mennicke (en) . Per un anello di Dedekind in cui tutti i quozienti per ideali massimi sono finiti , SK 1 è un gruppo di torsione .
Per un anello non commutativo, il morfismo determinante non è definito in generale, ma la mappa GL ( A ) → K 1 ( A ) lo sostituisce.
Algebre centrali sempliciSe A è una semplice algebra centrale su un campo F , la norma ridotta fornisce una generalizzazione del determinante, dando una mappa K 1 ( A ) → F *, e possiamo definire SK 1 ( A ) come suo nucleo. Shianghao Wang (en) ha dimostrato che se il grado di A è primo, allora SK 1 ( A ) è banale, e questo si estende al caso in cui il grado è senza quadrato . Wang ha anche dimostrato che SK 1 è banale per qualsiasi semplice algebra centrale su un campo numerico. Vladimir Platonov ha fornito esempi, per qualsiasi numero primo p , di algebre di grado p 2 il cui SK 1 non è banale.
John Milnor definito K 2 ( A ) come il centro del gruppo di Steinberg St ( A ) di A . È anche il nocciolo del morfismo φ: St ( A ) → GL ( A ), e il moltiplicatore di Schur del gruppo E ( A ) generato dalle matrici elementari.
K 2 (ℤ) = ℤ / 2ℤ e più in generale, il K 2 della anello di interi di un corpo di numeri è finita.
K 2 (ℤ / n ℤ) è ancora ℤ / 2ℤ se n è divisibile per 4, altrimenti è banale.
Teorema di MatsumotoIl K 2 di un campo è determinato dai simboli Steinberg :
Teorema di Matsumoto - Per ogni campo commutativo k ,Possiamo facilmente dedurre che il K 2 di ogni campo finito è banale.
Il calcolo di K 2 ( ℚ ) è un po 'più complicato. John Tate lo ha dimostrato
notando che la dimostrazione seguiva lo stesso piano della prima dimostrazione di Gauss della legge della reciprocità quadratica .
Se F è un locale campo non archimedei , la sua K 2 è la somma diretta del gruppo ciclico finito ℤ / m ℤ e gruppo scindibile K 2 ( F ) m , dove m è il numero di radici dell'unità in F .
Sequenze esatte lungheSe A è un anello di Dedekind e F il suo campo di frazioni , abbiamo una lunga sequenza esatta
dove P viene eseguito su tutte ideali primi non nulle di A .
D'altra parte, per tutti A e I (ideale di A ), si estende l' esatta sequenza che mette in gioco i relativi K 1 e K 0 :
Accoppiamento
C'è un accoppiamento a K 1 valori di K 2 : dato un pendolare matrici X e Y su A , sono x ed y del fondo del gruppo di Steinberg . L' interruttore xyx −1 y −1 è un elemento di K 2 . Questa applicazione non è sempre suriettiva .
La sopra espressione del K 2 di un campo commutativo k portato Milnor ad una definizione del "superiore" K -Gruppi come i componenti, in ogni grado , del quoziente della algebra tensore del gruppo abeliano k × per l 'due - ideale unilaterale generato da a ⊗ (1 - a ) per a ≠ 0, 1:
Per n = 0, 1 o 2, questi gruppi K M n coincidono con i gruppi K n definiti di seguito , ma per n ≥ 3, sono generalmente diversi. Ad esempio, per ogni campo finito k , K M n ( k ) è banale per tutti gli n ≥ 2, mentre K n ( k ) è banale solo se n è pari.
L'immagine in K M n ( k ) di un elemento a 1 ⊗… ⊗ a n è chiamata simbolo, e denotata { a 1 ,…, a n }. Se m è un numero intero invertibile in k , esiste un'applicazione
dove μ m indica il gruppo di m -esime radici di unità in un'estensione separabile di k . Si estende in un'applicazione
che controlla le relazioni che definiscono i K -gruppi di Milnor. La mappa ∂ n , così definita su K M n ( k ), è chiamata “simbolo di Galois”.
La relazione tra la coomologia étale (o Galois ) del corpo e la sua teoria K di Milnor modulo 2 è la congettura di Milnor , dimostrata da Vladimir Voevodsky . L'affermazione analoga per i numeri primi dispari è la congettura di Bloch-Kato (en) , dimostrata da Voevodsky, Rost (de) e altri.
Dopo alcuni anni durante i quali erano state suggerite varie definizioni incompatibili per i gruppi K degli indici più alti, fu quella data da Quillen ad essere accettata. La sfida era trovare definizioni di K ( R ) e K ( R , I ) in termini di classificazione degli spazi (en) , in modo tale che R ↦ K ( R ) e ( R , I ) ↦ K ( R , I ) siano funtori con valori in una categoria omotopica (en) di spazi e che la sequenza lunga esatta per i gruppi K relativi è semplicemente la sequenza lunga esatta di omotopia di una fibrazione K ( R , I ) → K ( R ) → K ( R / I ).
Quillen diede due costruzioni, la "costruzione plus" e la "costruzione Q ", quest'ultima successivamente modificata in vari modi. Le due costruzioni danno le stesse K -Gruppi.
Per n > 0, Quillen definisce l' n -esimo gruppo K di R come l' n -esimo gruppo di omotopia di uno spazio ottenuto applicando la sua costruzione più (de) al classificatore B GL ( R ) del gruppo lineare infinito GL ( R ):
Per estendere questa definizione al caso n = 0, è sufficiente impostare
poiché B GL ( R ) + è connesso da archi e K 0 ( R ) è discreto .
La costruzione Q (in) dà gli stessi risultati della costruzione di più ma si applica a situazioni più generali. Inoltre, è più diretto, nel senso che i K -gruppi che produce sono funtoriali per definizione, mentre questo fatto non è immediato nella costruzione più.
Ad ogni esatta categoria P , associamo la categoria Q P i cui oggetti sono quelli di P ed i cui morfismi da M a M ' sono le classi di isomorfismi dei diagrammi in P della forma
dove la prima freccia è un epimorfismo ammissibile e la seconda un monomorfismo ammissibile .
L' n -esimo gruppo K della categoria esatta P è quindi definito da
dove 0 è un oggetto nullo fisso e BQ P è lo spazio classificante della categoria Q P , cioè la realizzazione geometrica (in) del suo nervo . In particolare, K 0 ( P ) è il gruppo di grothendieck di P .
Prendendo per P la categoria dei moduli R proiettivi di tipo finito, troviamo gli stessi gruppi di K n ( R ) definiti dalla costruzione più. Più in generale, la K -Gruppi di un sistema di X sono definiti come quelli di categoria (esatto) di coerente travi localmente libera su X .
Usiamo anche la seguente variante: invece dei moduli R proiettivi di tipo finito (cioè localmente liberi), prendiamo tutti i moduli R di tipo finito. Indichiamo comunemente con G n ( R ) i K -gruppi così ottenuti. Se R è un anello noetheriano regolare , le sue teorie G e K coincidono. Infatti, la dimensione globale di R è finita, vale a dire che ogni modulo R di tipo finito M ammette una risoluzione (in) proiettiva P * → M , e un semplice argomento permette di dedurre che il morfismo canonico K 0 ( R ) → G 0 ( R ) è biettivo , con [ M ] = Σ ± [ P n ]. Mostriamo che anche il morfismo tra i gruppi K superiori è biettivo.
Una terza costruzione di K -groups è l'edificio S a Waldhausen (en) . Si applica alle categorie con cofibrazioni (chiamate categorie Waldhausen (in) ), più generali delle categorie esatte.
Mentre la teoria K algebrica di Quillen ha aiutato la comprensione approfondita di vari aspetti della geometria e topologia algebrica , i gruppi K si sono dimostrati particolarmente difficili da calcolare tranne in pochi casi isolati ma interessanti.
Questo primo calcolo di K - gruppi superiori di un anello - e uno dei più importanti - è stato effettuato dallo stesso Quillen: il campo finito con elementi q indicati con F q , abbiamo:
Quillen dimostrato che la K -Gruppi di anello O F di interi di un campo numero F sono di tipo finito . Armand Borel lo ha utilizzato per calcolare la torsione del modulo K i ( O F ) e K i ( F ) . Ad esempio per F = ℚ, Borel ha dimostrato che per tutti i > 1, K i (ℤ) modulo torsione è ℤ se i è congruente a 1 modulo 4 e 0 altrimenti.
Recentemente abbiamo determinato i sottogruppi di torsione di K 2 i +1 (ℤ) e l' ordine dei gruppi abeliani finiti K 4 k +2 (ℤ), ma le questioni della ciclicità di questi ultimi e della banalità di K 4 k (ℤ ) dipendono dalla congettura di Vandiver sul gruppo di classi di interi ciclotomici . Vedere l'articolo " Indovina Quillen-Lichtenbaum (in) " per i dettagli.
I gruppi di teoria algebrica K intervengono in congetture sui valori speciali (en) delle funzioni L , la formulazione della congettura principale (en) nella teoria di Iwasawa non commutativa e la costruzione di regolatori superiori (en) .
La congettura Parshin (en) prevede che per qualsiasi varietà liscia su un campo finito, i gruppi K superiori sono di torsione .
Quello di Bass (en) predice che per ogni ℤ-algebra A di tipo finito , tutti i gruppi G n ( A ) sono di tipo finito.