Gruppo algebrico

Nella geometria algebrica , la nozione di gruppo algebrico è un equivalente dei gruppi di Lie nella geometria differenziale o complessa. Un gruppo algebrico è una varietà algebrica dotata di una legge di gruppo compatibile con la sua struttura di varietà algebrica.

Definizione

Un gruppo algebrico su un campo (commutativo) K è una varietà algebrica su mun: $G$ $K$

di un morfismo di K- varietà algebriche (detta anche moltiplicazione) . La varietà di origine è il prodotto in fibra di se stesso; ${\ Displaystyle \ mu: G \ times _ {K} G \ to G}$ $G$
di un morfismo inverso ; ${\ displaystyle \ iota: G \ to G}$
di un elemento neutro appartenente a (un punto razionale di ) $\ epsilon$ ${\ displaystyle G (K)}$ $G$

verificare formalmente gli assiomi di un gruppo. Se è ridotto e se K è chiuso algebricamente, è sufficiente che questi morfismi inducano una struttura di gruppo sull'insieme dei punti razionali di . $G$ ${\ displaystyle G ({K})}$ $G$

Per ogni varietà algebrica X su K , l'insieme G (X) di K -morfismi da X a G eredita una struttura di gruppo. Un modo rapido per definire un gruppo algebrico è quindi dire che è una varietà algebrica che rappresenta un funtore della categoria delle varietà algebriche su K nella categoria dei gruppi.

Attenzione: viene fornito con la topologia Zariski e non con la topologia del prodotto. ${\ displaystyle G \ times _ {K} G}$

Un omomorfismo di gruppi algebrici su K è un morfismo di varietà algebriche su K che è compatibile con la struttura del gruppo: se sono le leggi di moltiplicazione su G e H rispettivamente, allora . In termini di punti, ciò equivale a dire che per ogni K -algebra di tipo finito A , la mappa indotta da f è un omomorfismo di gruppo. Se K è algebricamente chiuso e se G e H sono ridotte, basta prendere A = K . ${\ displaystyle f: G \ to H}$ ${\ displaystyle \ mu _ {G}, \ mu _ {H}}$ ${\ Displaystyle f \ circ \ mu _ {G} = \ mu _ {H} \ circ (f \ times f)}$ ${\ Displaystyle f (A): G (A) \ to H (A)}$
Un isomorfismo di gruppi algebrici è un omomorfismo di gruppi algebrici che è un isomorfismo per le varietà algebriche sottostanti.
Un sottogruppo algebrico F di G è una sottovarietà di G tale che l'immersione è un omomorfismo di gruppi algebrici. Sappiamo che F è quindi una sottovarietà chiusa. ${\ displaystyle i: F \ to G}$
Se è un omomorfismo di gruppi algebrici su K , il kernel Ker di f è definito da . Lo spazio sottostante Ker è , ma la struttura della sottovarietà non è necessariamente ridotta. Facile dimostrare che Ker è un sottogruppo algebrica di G . ${\ displaystyle f: G \ to H}$ $(f)$ ${\ Displaystyle G \ times _ {H} \ epsilon _ {H}}$ $(f)$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (\ epsilon _ {H})}$ $(f)$

Esempi

Se è un gruppo finito, c'è un gruppo algebrico unica su K come per qualsiasi estensione di organismi L / K . È il gruppo costante . $\Gamma$ ${\ displaystyle G (L) = \ Gamma}$ $\Gamma$
Il gruppo additivo : la molteplicità sottostante è affine A ^ 1 di K . Per K -algebra finitamente A , il gruppo viene identificato canonicamente gruppo (additivo) A . ${\ displaystyle G_ {a}}$ ${\ displaystyle G_ {a} (A)}$
Il gruppo moltiplicativo : la varietà sottostante è la linea affine A ^ 1 su K privata dell'origine. Per ogni K -algebra di tipo finito A , il gruppo viene canonicamente identificato con il gruppo moltiplicativo di elementi invertibili di A . ${\ displaystyle G_ {m}}$ ${\ displaystyle G_ {m} (A)}$ $A ^ {*}$
${\ displaystyle GL_ {n, K}}$ , il gruppo delle matrici invertibili , è un gruppo algebrico. Per ogni K -algebra di tipo finito A , il gruppo è identificato con il gruppo moltiplicativo di matrici quadrate di ordine n , con coefficienti in A e invertibili. Quando n = 1 , troviamo il gruppo moltiplicativo . ${\ displaystyle GL_ {n, K} (A)}$ ${\ displaystyle G_ {m}}$
Le curve ellittiche sono gruppi algebrici.
Sia n un numero naturale. La moltiplicazione per n induce un omomorfismo di gruppi algebrici . Se n è primo rispetto alla caratteristica del campo K , allora il nocciolo di questo omomorfismo è ridotto all'elemento neutro. ${\ displaystyle G_ {a} \ to G_ {a}}$
Se K ha una caratteristica positiva p , l'elevazione alla potenza p (chiamata Frobenius ) in è un omomorfismo di gruppi algebrici. Il suo nucleo, notato , è un tipico esempio di un gruppo algebrico non uniforme. La varietà algebrica sottostante è Spec (ha un solo punto e non è ridotta). ${\ displaystyle G_ {a}}$ $\ alpha _ {p}$ ${\ displaystyle K [T] / (T ^ {p} K [T])}$
Sia n un numero naturale. Nel gruppo moltiplicativo , elevarsi alla potenza n induce un omomorfismo di gruppi algebrici, il cui nucleo è un gruppo algebrico finito, costante se il campo base K contiene tutte le radici n- esime dell'unità. Si sviluppa su K se e solo se n è primo per la caratteristica di K . ${\ displaystyle G_ {m}}$ $\ mu _ {n}$
In geometria algebrica, un toro T in K è un gruppo algebrico isomorfo ad un prodotto di chiusura algebrica di K . Diciamo che T è distribuito se l'isomorfismo è impostato su K . ${\ displaystyle G_ {m}}$

Due classi di gruppi algebrici sono particolarmente importanti. Prima di tutto, le varietà abeliane sono gruppi algebrici per i quali la varietà sottostante è propria , connessa e liscia. Le curve ellittiche sono esempi di varietà abeliane.

Poi vengono i gruppi algebrici lineari (en) : questi corrispondono al caso in cui il gruppo è una varietà algebrica affine , in altre parole, dove è il luogo degli zeri di una famiglia di polinomi in . La maggior parte dei soliti sottogruppi di corrispondono a gruppi algebrici lineari. Ad esempio, è l'insieme degli zeri nel polinomio . Si può dimostrare che i gruppi algebrici lineari possono essere rappresentati fedelmente. Pertanto, possono ancora essere visti come sottogruppi di , il che spiega il loro nome. ${\ displaystyle K [X_ {1}, \ dots, X_ {n}]}$ $GL_n (K)$ ${\ displaystyle SL_ {n} (K)}$ ${\ displaystyle \ det -1}$ ${\ displaystyle GL_ {n, K}}$

Struttura

Struttura della varietà

Un gruppo algebrico geometricamente ridotto viene automaticamente smussato. Su un campo di caratteristica 0, qualsiasi gruppo algebrico è liscio (teorema di Cartier). D'altra parte, se K ha una caratteristica positiva p , esistono gruppi algebrici non uniformi (vedi l'esempio sopra). $\ alpha _ {p}$

Decomposizione

Se G è un gruppo algebrico su un campo K , possiamo scomporre G come segue.

Esiste un sottogruppo aperto di , chiamato componente neutro di , e un gruppo algebrico finito étale su K , tale che entrambe le estensioni di by , cioè abbiamo una sequenza esatta $G ^ {0}$ $G$ $G$ $\ pi _ {0} (G)$ $G$ $\ pi _ {0} (G)$ $G ^ {0}$

${\ Displaystyle 1 \ to G ^ {0} \ to G \ to \ pi _ {0} (G) \ to 1.}$

Se K è chiuso algebricamente, è un gruppo finito costante. ${\ displaystyle \ pi _ {0} (G)}$

Supponiamo ora G liscio e K perfetto (per esempio della caratteristica 0). Allora è l'estensione di una varietà abeliana da parte di un gruppo lineare liscio L (teorema di Chevalley). $G ^ {0}$
Supponiamo inoltre che G sia commutativo. Il gruppo lineare L è prodotto da un toroide da un gruppo unipotente ( cioè un gruppo algebrico che è estensioni successive di ). Nella caratteristica 0, i gruppi unipotenti sono isomorfi a un prodotto di . ${\ displaystyle G_ {a}}$ ${\ displaystyle G_ {a}}$

Forme differenziali

Se G è un gruppo algebrico regolare, il suo fascio tangente è costante, generato dallo spazio tangente di G all'origine . Per dualità, il fascio di forme differenziali su G è libero (ricorda che su una varietà algebrica liscia, il fascio di forme differenziali è libero solo localmente in generale). ${\ displaystyle \ epsilon _ {G}}$

Generalizzazione

Considera un diagramma. Uno schema di gruppo su è uno -schema che rappresenta un funtore della categoria -schemi nella categoria dei gruppi . $S$ $S$ $S$ ${\ displaystyle G \ to S}$ $S$

Più concretamente, chiediamo che per qualsiasi schema , l'insieme sia un gruppo e che per tutto la mappa canonica sia un morfismo di gruppi. $S$ $T$ ${\ displaystyle G (T) = {\ rm {Mor}} _ {S} (T, G)}$ ${\ displaystyle T '\ to T}$ ${\ displaystyle G (T) \ to G (T ')}$
Un altro modo per definire schemi di gruppo è dire che esiste un morfismo (moltiplicazione), un automorfismo (il contrario) e una sezione di morfismo strutturale (sezione neutra) che soddisfano gli assiomi usuali di un gruppo. ${\ Displaystyle G \ times _ {S} G \ to G}$ ${\ displaystyle G \ to G}$ ${\ displaystyle S \ to G}$ ${\ displaystyle G \ to S}$

Se è più di tipo finito , allora per ogni cosa la fibra è un gruppo algebrico sul campo residuo . Può quindi essere vista come una famiglia di gruppi algebrici parametrizzati dai punti di . ${\ displaystyle G \ to S}$ $s \ in S$ ${\ displaystyle G_ {s}}$ ${\ displaystyle k (s)}$ ${\ displaystyle G \ to S}$ $S$

Esempi standard di gruppi algebrici , curve ellittiche ecc. Sono facilmente generalizzabili in schemi di gruppo su qualsiasi base . ${\ displaystyle G_ {a}, G_ {m}}$ $S$

Uno schema gruppo viene separato su se e solo se la sezione folle è chiuso in . ${\ displaystyle G \ to S}$ $S$ $G$