Caratteristica di un anello

In algebra , la caratteristica di un anello (unitario) A è per definizione l' ordine per la legge additiva dell'elemento neutro della legge moltiplicativa se questo ordine è finito; se questo ordine è infinito, la caratteristica dell'anello è per definizione zero .

Indichiamo, per un anello unitario ( A , +, ×), 0 A l'elemento neutro di "+" e 1 A quello di "×".

La caratteristica di un anello A è quindi il più piccolo intero n > 0 tale che

 non.1A = 1A+1A+⋯+1A⏟nontermini = 0A {\ displaystyle {\ n.1_ {A} ~ = ~ \ underbrace {1_ {A} + 1_ {A} + \ cdots + 1_ {A}} _ {n \; {\ text {terms}}} ~ = ~ 0_ {A}} ~}

se esiste un tale numero intero. Altrimenti (in altre parole se 1 A è di ordine infinito), la caratteristica è zero.

Nota. Questa definizione è coerente con la letteratura nel XXI °  secolo . Bourbaki dice esplicitamente di definire la caratteristica di un anello solo se questo anello contiene un corpo. Lang considera l'ideale di Z formato da n tale che n .1 A = 0; se questo ideale è primo, cioè della forma a Z dove a è zero o numero primo , definisce la caratteristica di A come numero a . Non lo definisce altrimenti.

L'omomorfismo di Z in A

C'è un morfismo unico di anelli unitari da in A ( è infatti un oggetto iniziale della categoria degli anelli). Per definizione, se n è un numero intero strettamente positivo, abbiamo: f{\ displaystyle f}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

f(non)=1A+⋯+1A{\ displaystyle f (n) = 1_ {A} + \ cdots + 1_ {A} \,},

dove 1 A viene ripetuto n volte. Essendo un anello euclideo , il nocciolo di è un ideale principale e, per definizione, la caratteristica di A è il suo generatore positivo. Più esplicitamente, è il numero naturale unico c tale che il nucleo di è l'ideale . Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}f{\ displaystyle f} f{\ displaystyle f}vsZ{\ displaystyle c \ mathbb {Z}}

Proprietà sugli anelli

• La caratteristica A è l'unico intero c non negativo come sia unitaria sotto-anello A .Z/vsZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / c \ mathbb {Z}}

Ciò deriva dalla definizione di cui sopra e dal teorema di fattorizzazione . Si deduce in particolare:

• Se B è un sotto-anello unitario di A , allora A e B hanno la stessa caratteristica.
• Gli anelli con caratteristica zero sono quelli di cui è un sottoanello unitario. Sono quindi infinite.Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

Questo è il caso del campo dei numeri complessi e di tutti i suoi sotto-anelli unitari, come il campo dei numeri reali o il campo dei numeri razionali . VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

• Ogni anello totalmente ordinato ha caratteristica zero.

In effetti, l'omomorfismo è in aumento. Qualsiasi numero intero strettamente positivo viene inviato a un elemento strettamente positivo dell'anello, a fortiori diverso da 0.Z→A{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ to A} Questo è ad esempio il caso di (e dei suoi sotto-anelli di unità). R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

• L'unico anello la cui caratteristica è uguale a 1 è l' anello nullo .
• La caratteristica di un anello integrale è zero o un numero primo.

Infatti, se è un sottoanello unitario di un anello integrale, allora è esso stesso integrale, quindi c è zero o primo.Z/vsZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / c \ mathbb {Z}}

• Per l'unità morphism anelli g  : A → B , caratteristici B spaccature che di A .

Infatti, l'omomorfismo degli anelli unitari è l'omomorfismo composto g ∘ f . Se p e q sono le rispettive caratteristiche di A e B , il nocciolo di g ∘ f è quindi , o g ( f ( p )) = g (0 A ) = 0 B , così che contiene p , in altre parole q divide p . Z→B{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ to B}qZ{\ displaystyle q \ mathbb {Z}}qZ{\ displaystyle q \ mathbb {Z}}

• Se A è un anello commutativo , e se la sua caratteristica è un numero primo p , allora per tutti gli elementi x, y in A , abbiamo ( x + y ) p = x p + y p . L'applicazione per x associates x p è un anello di endomorfismo chiamato endomorfismo di Frobenius .

Il risultato deriva immediatamente dalla formula binomiale di Newton e dal fatto che p divide i coefficienti binomiali che compaiono nell'espansione.

Proprietà sui corpi

Come per ogni anello integrale, la caratteristica di un campo K è 0 o un numero primo p . Inoltre, nel secondo caso, come per ogni anello di caratteristica p diversa da zero, K contiene una copia di cui (poiché qui p è primo) è un campo: è l'unico campo finito F p con p elementi. Z/pZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}

• Qualsiasi campo con caratteristica nulla contiene una copia di .Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

In effetti, un tale campo K contiene già (come ogni anello con caratteristica zero) una copia di . Poiché K è un campo, contiene quindi il campo delle frazioni di , cioè il campo delle persone razionali. Ogni corpo ha quindi un sotto-corpo minimo, il suo corpo primo , isomorfo (secondo la sua caratteristica) ad un campo finito F p o al corpo . Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

• Ogni campo finito ha per caratteristica un numero primo e per il cardinale una potenza di questo numero.

Se K è un campo finito, ha, come ogni anello finito, una caratteristica diversa da zero. Da quanto sopra, la sua caratteristica è quindi un numero primo p e K contiene una copia del campo F p . Infatti, K è uno spazio vettoriale su F p . Quindi la sua cardinalità è p alla potenza della sua dimensione (che, quindi, è necessariamente finita, in altre parole K è un'estensione finita di F p ).

• Per ogni numero primo p , esistono infiniti campi di caratteristica p  :

ad esempio il campo delle frazioni razionali su F p o la chiusura algebrica di F p .

Note e riferimenti

1. Ad esempio (in) Joseph Gallian , Contemporary Abstract Albegra , Cengage Learning,2010, 656  p. ( ISBN  978-0-547-16509-7 , leggi online ) , p.  252-253.
2. N. Bourbaki, Algebra, capitoli da 4 a 7 , Masson ,diciannove ottantuno, p.  V.2.
3. Serge Lang, Algebra , Dunod ,2004, p.  97.

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