Tutto naturale

In matematica , un numero naturale è un numero positivo che sostanzialmente permette di contare gli oggetti contando ciascuno come uno e quindi di contare oggetti considerati equivalenti: un gettone, due gettoni ... una carta, due carte, tre carte ... Tale numero intero può essere scritto con una sequenza finita di cifre in notazione posizionale decimale (senza segno e senza virgola).

Ogni numero intero ha un successore univoco, ovvero un numero intero immediatamente sopra di esso e l'elenco dei numeri interi naturali è infinito .

La definizione originale, dovuta a Richard Dedekind , dell'insieme dei numeri naturali non include il numero zero; più recentemente è stata proposta un'altra definizione che include zero. Queste due definizioni coesistono ancora oggi. Secondo i significati, l'elenco dei numeri naturali è quindi:

o

Lo studio dei numeri naturali e delle loro relazioni, in particolare con le operazioni di addizione e moltiplicazione , è stata una branca della matematica nota come "  aritmetica  " sin dall'antichità greca .

La struttura dei numeri naturali è stato assiomatizzata per la prima volta da Peano e Dedekind alla fine del XIX °  secolo. A quel tempo zero non era considerato un numero naturale (e alcuni autori fanno ancora questa scelta), il che non cambia sostanzialmente l'assiomatizzazione. Ernst Zermelo , quando ha assiomatizzato la teoria degli insiemi, ha mostrato che gli interi naturali possono essere definiti in termini di insiemi (un metodo dovuto a von Neumann è più spesso usato oggi ).

L'insieme dei numeri naturali, che contenga o meno il numero zero, è indicato con "   " o "   ". La notazione è dovuta a Dedekind nel 1888, che la usa per l'insieme dei numeri naturali diversi da zero. Oggi quest'ultima serie è anche comunemente indicata con "   " (o "   ").

I numeri naturali sono identificati con interi relativi positivi o zero , nonché con numeri razionali positivi o zero che possono essere scritti sotto forma di una frazione del denominatore 1, e più generalmente con reali positivi o zero della parte frazionaria zero.

Design

Dall'enumerazione all'astrazione

Il concetto di numero naturale, occupando prima (e fino al XVII °  secolo), l'intera idea di numero , probabilmente dopo il concetto di collezione: l'intero è stato progettato principalmente come un cardinale. Alcuni oggetti o animali, pur essendo distinti l'uno dall'altro, possono ammettere una designazione comune, a causa della loro somiglianza o di un'altra caratteristica condivisa. Il loro raduno costituisce una raccolta, come una mandria di mucche, una collana di perle, un mucchio di pietre.

Il numero sta germinando nell'enumerazione di una collezione, ovvero il fatto di scorrere tutti i suoi elementi, uno per uno e senza ripetizioni. Serve coerenza nell'osservazione che due enumerazioni simultanee (da una mandria a un recinto e pietre in un sacco, per esempio) finiscono sempre nello stesso momento, o sempre fuori fase. Il numero viene infine rappresentato quando il sacchetto di sassolini o il bastoncino dentellato viene utilizzato per indicare una quantità.

Tuttavia, il concetto di tutto nasce realmente solo quando ha lasciato il suo rappresentante, cioè quando non rappresenta più alcun ciottolo, tacca o mucca: c'è una prima astrazione dove ogni oggetto è considerato come un'unità pura e senza qualità. Questo processo mentale è noto come astrazione  : viene astratto dalla qualità dell'oggetto per concentrarsi solo sulla quantità. Una seconda astrazione porta quindi a considerare queste unità come un insieme di unità.

Euclide dà nel Libro VII degli Elementi la seguente definizione: “L'unità è quella relativa a cui ogni oggetto è chiamato Uno”. Questa astrazione gli permette di definire poi il numero (intero naturale) come “insieme di unità”.

Rappresentazione dei primi numeri naturali diversi da zero mediante raccolte di punti.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
* ** *
** 		**
** 		*
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Definizione abortita di interi in termini di classe di bijettabilità

Frege pensò (in The Foundations of Arithmetic , 1884) di definire gli interi in termini di classe di bijettabilità .

Questa idea consiste nel definire ogni intero n come la raccolta di tutti gli insiemi aventi n elementi.

Questa definizione molto attraente si scontra con il paradosso di Russell se si desidera, in vista del monismo ontologico, che un simile incontro sia anche un tutto.

Questo perché, ad eccezione dell'intero 0, identificato con l'insieme contenente solo l'insieme vuoto, per ogni altro intero n l'insieme di insiemi aventi n elementi è una classe propria e quindi non è un insieme.

Costruzione per ordinali

Gli interi naturali possono essere definiti come ordinali , cioè con il metodo di von Neumann , come insiemi ben ordinati tutti confrontabili per inclusione . I numeri naturali sono gli ordinali finiti, quelli il cui ordine reciproco è anche un buon ordine, o gli ordinali successori di cui anche tutti i limiti inferiori sono ordinali successori.

Designazione

Enunciazione

La designazione degli interi nella lingua non è la stessa da una lingua all'altra, sebbene sia generalmente basata su alcuni metodi semplici.

I primi numeri interi hanno un nome specifico che non è correlato tra loro. In francese, questi sono numeri interi da uno a dieci (i nomi degli interi da undici a sedici sono in realtà deformazioni di nomi composti). Alcune lingue non hanno una parola specifica oltre due .

L'unione di due nomi può denotare il risultato dell'addizione (come in diciassette ) o della moltiplicazione (come in ottanta ) degli interi corrispondenti. Esistono altri metodi che utilizzano la sottrazione, la divisione o la protrazione .

Ad alcuni numeri "grandi" viene anche dato un nome specifico, di solito certi poteri di una base particolare. La base dieci è la più diffusa oggi, ma la designazione di interi in francese, ad esempio, conserva la traccia di un uso parziale della base venti . Convenzioni internazionali contrastanti propongono designazioni standardizzate per le prime cento potenze di mille o un milione.

Al di là dei limiti imposti dal vocabolario, la lingua non può che offrire denominazioni in appendice: "mille miliardi di miliardi ..."

Scrittura crittografata

Se la scrittura dei numeri interi è variata molto nella storia delle civiltà, oggi è quasi ovunque basata sullo stesso sistema di notazione decimale posizionale , anche se l'ortografia delle cifre può subire variazioni più o meno significative di una nazione per nazione. .

Ogni numero naturale viene scomposto in modo univoco in una somma di multipli di potenze di dieci, in modo che ogni coefficiente moltiplicatore sia strettamente inferiore a dieci, quindi rappresentato da uno dei dieci numeri arabi da 0 a 9. La scrittura di questo numero è poi realizzato unendo queste cifre disposte in ordine decrescente delle potenze di dieci corrispondenti.

L'interesse principale di questa scrittura è la semplicità congiunta degli algoritmi di calcolo per le quattro operazioni aritmetiche elementari.

Codifica

La pratica del calcolo ha potuto fare affidamento sulla manipolazione di ciottoli o altri simboli concreti, prima per simboleggiare un'unità per ciottolo, poi differenziando il valore dei simboli (un guscio che denota dieci ciottoli, per esempio).

La notazione di posizione ha permesso di differenziare i valori dei simboli in base alla loro posizione e non più alla loro natura, il che ha portato allo sviluppo dell'abaco e dell'abaco . Questo principio è ancora in vigore nelle calcolatrici e nei computer .

Aritmetica

Rappresentanza delle operazioni

Rappresentando ogni numero intero da una collezione di oggetti (ciottoli o gettoni per esempio), l'operazione di addizione è rappresentata dall'unione di due collezioni, mentre la sottrazione equivale a rimuovere una collezione da un'altra. Questa rappresentazione mostra chiaramente l'impossibilità di sottrarre (in numeri naturali) un numero da un altro strettamente più piccolo.

La moltiplicazione di due numeri naturali corrisponde al riempimento di un rettangolo di cui due lati adiacenti rappresentano ciascuno uno dei fattori.

La divisione euclidea di un intero (chiamato dividendo ) per un altro (chiamato divisore e necessariamente diverso da zero) è illustrata dalla disposizione della raccolta che rappresenta il dividendo in un rettangolo, un lato del quale rappresenta il divisore. Il numero di righe complete rappresenta quindi il quoziente mentre l'eventuale riga incompleta rappresenta il resto , necessariamente strettamente inferiore al divisore.

Molteplici e divisori

Dato un numero naturale diverso da zero, l'insieme dei suoi multipli è infinito ma regolarmente distribuito e facile da descrivere con una sequenza aritmetica . Ad esempio, multipli di 2 sono anche numeri , che si alternano con i numeri dispari tra tutti gli interi.

Al contrario, l'insieme dei divisori di un intero diverso da zero è sempre finito e la sua distribuzione non ha affatto lo stesso tipo di regolarità. Certamente contiene sempre il numero da dividere e il numero 1, eventuali altri divisori che si trovano tra questi due estremi. Ma è generalmente difficile elencare questi altri divisori da una scrittura del numero in una data base .

Questo problema è in parte dovuto alla scarsità di criteri semplici per determinare senza calcolo se un numero è divisibile per un altro. In un sistema numerico posizionale decimale , sono noti diversi criteri di divisibilità per piccoli divisori (specialmente per 2, 3, 5, 9 e 10), ma a parte questi pochi casi, è essenzialmente la divisione euclidea che ci permette di rispondere a questa domanda.

numero primo

A parte il numero 1, che è il suo unico divisore, ogni numero ammette quindi almeno due divisori distinti. Quelli che ammettono esattamente due sono chiamati numeri primi . Sono gli unici in grado di ridurre altri numeri per divisione, senza essere essi stessi scomponibili in prodotti di numeri strettamente inferiori. Ce n'è un numero infinito e ogni numero è scomposto in un modo univoco in un prodotto di numeri primi. Questa scomposizione consente, tra le altre cose, di comprendere la struttura dell'insieme di divisori.

Insieme di numeri naturali

Notazioni

Nel 1894, Giuseppe Peano usò le notazioni "N" per "intero positivo" e "N 0  " per "intero positivo o zero" nelle sue Notazioni di logica matematica che servì come introduzione al suo grande progetto per la formalizzazione della matematica, il Forma matematica . Lo usa come un predicato, una nozione molto vicina a quella del tutto. Così Peano scrive "  x ε N" (che ora scriviamo "   ") che per lui legge "  x è un intero positivo".

La notazione storica di tutti i numeri naturali in stampa diventa "  N  ", una lettera maiuscola in grassetto. Nella scrittura a mano (e in particolare sulla lavagna ), questo carattere è stato distinto dalla lettera "N" usata per altri scopi dal raddoppio della prima barra verticale, o barra, "   ". Quest'ultima scelta è stata adottata per il carattere lavagna in grassetto . L'editing matematico moderno ora utilizza caratteri "raddoppiati", ma continua anche l'uso della tipografia in grassetto.

Insiemistica

L' ordinale infinito più piccolo è il limite superiore di tutti gli ordinali finiti, che sono interi naturali. Fu introdotto da Georg Cantor che lo annotò ω (lettera minuscola greca omega ) o ω 0 . John von Neumann ha mostrato che gli ordinali potrebbero essere definiti in modo tale da identificare un ordinale con l'insieme del suo limite inferiore stretto, e l'ordinale ω è quindi identificato con l'insieme dei numeri naturali (un numero naturale è esso stesso identificato con l'insieme di numeri naturali che sono strettamente inferiori ad esso). Nella teoria degli insiemi , la lettera ω è quindi usata anche per denotare l'insieme degli interi naturali. L' assioma dell'infinito rende possibile mostrare l'esistenza di questo insieme.

Un insieme numerabile è un insieme che ha lo stesso cardinale dell'insieme dei numeri naturali (a volte specifichiamo “infinito numerabile”, che può anche significare “finito o dello stesso cardinale di N  ”). Il cardinale del numerabile , quello di N , è il più piccolo cardinale infinito, si nota ℵ 0 , aleph-zero .

Nella teoria degli insiemi, formalmente ℵ 0 , è definito come il più piccolo ordinale infinito numerabile, vale a dire, e quindi di nuovo come l'insieme degli interi naturali.

Proprietà

Essendo le operazioni di addizione e moltiplicazione associative , commutative , provviste di neutri e che soddisfano una proprietà di distributività , l'insieme degli interi naturali è un semi-anello .

È ordinato per la solita relazione d'ordine indotta dall'addizione, che gli conferisce una struttura di buon ordine , cioè qualsiasi parte non vuota ammette un elemento più piccolo. Questa proprietà è la base del ragionamento per induzione .

L'insieme è dotato anche della relazione di divisibilità che è un ordine parziale .

Il suo cardinale è il più piccolo numero cardinale infinito, indicato con ℵ 0 ( aleph zero ), definendo così la nozione di numerabilità . Infatti, diciamo di qualsiasi insieme che è numerabile se c'è una biiezione di questo insieme in quella degli interi naturali. A volte ci si accontenta di un'iniezione di includere anche i set finiti.

Peano Axiomatic

Indipendentemente da come si introducono interi naturali, hanno le stesse proprietà fondamentali da cui si sviluppa l'aritmetica. Richard Dedekind e Giuseppe Peano hanno proposto assiomatizzazioni indipendenti essenzialmente equivalenti. Era una questione di assiomatizzazione che talvolta si dice oggi del secondo ordine: si suppone che la nozione di insieme (o predicato ) sia nota e non venga presa in considerazione dall'assiomatizzazione. Ecco una presentazione moderna di questi assiomi (noti come assiomi di Peano):

  1. L'elemento chiamato zero e annotato 0, è un numero naturale.
  2. Ogni numero naturale n ha un successore unico, spesso indicato con s ( n ) o S n (o altre varianti).
  3. Nessun numero naturale ha un successore di 0.
  4. Due numeri naturali con lo stesso successore sono uguali.
  5. Se un insieme di numeri naturali contiene 0 e contiene il successore di ciascuno dei suoi elementi, allora questo insieme è uguale a N .

Il primo assioma permette di affermare che l'insieme degli interi naturali non è vuoto , il secondo che il successore è una funzione , il quarto che questa funzione è iniettiva , il terzo che ha un primo elemento (questi due assiomi assicurano che il l'insieme dei numeri naturali è infinito). Il quinto è una formulazione del principio di ricorrenza .

Una proprietà importante, dimostrata da Richard Dedekind da questi assiomi, è il principio di definizione per induzione . Permette ad esempio di definire le normali operazioni.

Appunti

  1. Georg Cantor è il primo matematico ad aver studiato i diversi infiniti, si è basato sull'insieme ordinato degli interi naturali per definire una prima base dell'infinito e poi scoprire meglio gli altri insiemi infiniti.
  2. Richard Dedekind. Sind und sollen die Zahlen? (1888) 2 e ed. Friedrich Vieweg et fils 1893. Leggi online.
  3. Sotto la voce "numero", Lexis (1975) definisce un "numero naturale" come "ciascuno degli interi della sequenza 1,2,3, ecc. " , E Le Petit Robert (1977) dà " All'origine, e nel caso più semplice dei numeri naturali (1,2,3,4…) […] "  ; l' Accademia di Francia , nella nona edizione del suo dizionario, alla voce "intero" definisce un "numero naturale" come "intero positivo", e alla voce "positivo" specifica che un "numero positivo" È "maggiore di zero ".
  4. (a) Eric W. Weisstein , "  Natural Number  " su MathWorld .
  5. Christian Houzel , “Cos'è un numero? », Storia dei numeri , Tallandier 2007.
  6. non interi vengono gestite al III ° millennio aC in civiltà mesopotamica, ma non hanno lo status teorico di numero.
  7. La costruzione filosofica del concetto di numero è spiegata in dettaglio in Dall'infinito matematico di Louis Couturat.
  8. Questa definizione può essere applicata retrospettivamente al numero zero , una raccolta che non comprende unità.
  9. Georges Ifrah , introduzione alla storia universale delle figure , volume 1, edizione Robert Laffont (1994), p.  9 , § La prima prova ed errore.
  10. La parola "calcolo" è correlata alla parola "caillou".
  11. sottrazione è sempre possibile in numeri interi relativi .
  12. Giuseppe Peano (1894), Notazioni di logica matematica , Guadagnini, Torino (1894), p.  4 leggi online
  13. (in) Florian Cajori , A History of Mathematical Notations [ edizioni al dettaglio ]volo. 2 p.  299 .
  14. Peano in realtà usa 1 (uno), che corrisponde alle usanze dell'epoca ma non cambia nulla di fondamentale

Bibliografia

Vedi anche

Articoli Correlati

Link esterno

Numeri: curiosità, teoria e usi , sito di G. Villemin