Teoria di Iwasawa

La teoria di Iwasawa può essere vista come un tentativo di estendere i risultati aritmetici convenzionali sui corpi dei numeri (estensioni finite body razionali) a infinite estensioni passando i processi al limite delle estensioni finite a infinite estensioni. Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

Generale

Gli oggetti di base della teoria di Iwasawa sono le estensioni; vale a dire estensioni di Galois di cui il gruppo Galois è il gruppo profine , per un numero primo fisso. Secondo la corrispondenza di Galois , il dato di un'estensione è equivalente a quello di una torre di estensioni tale che ciascuna è Galois sul gruppo di Galois . Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}} Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}p{\ displaystyle p}Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}K=K0⊂K1⊂⋯⊂Knon⊂⋯⊂K∞{\ displaystyle K = K_ {0} \ subset K_ {1} \ subset \ dots \ subset K_ {n} \ subset \ dots \ subset K _ {\ infty}}Knon{\ displaystyle K_ {n}}K{\ displaystyle K}Z/pnonZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}

• Per ogni campo numerico, una particolare estensione può essere costruita aggiungendo radici -esima unità: l' estensione ciclotomica .Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}p{\ displaystyle p}Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}
• Secondo la congettura di Leopoldt , un campo numerico ammette -estensioni linearmente indipendenti, dove è il numero di coppie di incorporamenti complessi coniugati del campo considerato; che si può anche affermare dicendo che il compositum di tutte queste estensioni ha il gruppo Galois .r2+1{\ displaystyle r_ {2} +1} Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}r2{\ displaystyle r_ {2}}Zpr2+1{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {r_ {2} +1}}

Teorema fondamentale

Il teorema fondante della teoria, dovuto a Iwasawa, riguarda il comportamento del gruppo di classi lungo un'estensione. Sia un numero primo, un campo di numeri, e un -Estensione di . Per ognuno ci interessa il cardinale du - Sylow del gruppo di classi di  ; annotalo . Quindi, ci sono numeri interi , (positivi), (di qualsiasi segno), tali che per abbastanza grandi, abbiamo: Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}p{\ displaystyle p \,}K{\ displaystyle K \,}⋃nonKnon{\ displaystyle \ bigcup _ {n} K_ {n} \,}Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} \,}K{\ displaystyle K \,}non{\ displaystyle n \,}p{\ displaystyle p \,}Knon{\ displaystyle K_ {n} \,}penon{\ displaystyle p ^ {e_ {n}} \,}μ{\ displaystyle \ mu \,}λ{\ displaystyle \ lambda \,}ν{\ displaystyle \ nu \,}non{\ displaystyle n \,}

enon=μpnon+λnon+ν{\ displaystyle e_ {n} = \ mu p ^ {n} + \ lambda n + \ nu \,}

Idea della dimostrazione

Nota A (K n ) il p -Sylow il gruppo di classi del corpo K n . Per classi di teoria dei campi , esiste un'estensione L n di K n tale che  : L n è la p - estensione abeliana non ramificata massima K n . L'unione del corpo L n fornisce quindi un corpo L , che è la pro p - estensione massima abeliana non ramificata . A(Knon)≃Gal(Lnon/Knon){\ displaystyle A (K_ {n}) \ simeq Gal (L_ {n} / K_ {n})}K∞{\ displaystyle K _ {\ infty}}

Consideriamo quindi il gruppo Galois  : X=Gal(L/K∞){\ displaystyle X = Gal (L / K _ {\ infty})}

• X è il limite proiettivo dei gruppi , che appaiono come quozienti X .Gal(Lnon/Knon){\ displaystyle Gal (L_ {n} / K_ {n})}
• X come pro p -gruppo Abelian ha una struttura naturale -module.Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}
• Inoltre, il gruppo di Galois dell'estensione ciclotomica agisce su X , che si può quindi dimostrare dotato di una struttura -modulo, cioè di un modulo di Iwasawa .Gal(K∞/K){\ displaystyle Gal (K _ {\ infty} / K)}Zp[[T]]{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [[T]]}

Lo studio della struttura dei moduli di Iwasawa rientra nell'ambito dell'algebra lineare. Conoscendo la loro classificazione fino allo pseudoisomorfismo, e avendo calcolato da quale sottogruppo dobbiamo ottenere il quoziente X , possiamo dedurre la stima asintotica della cardinalità di questi gruppi, che fornisce la formula annunciata su A (K n ) . Gal(Lnon/Knon){\ displaystyle Gal (L_ {n} / K_ {n})}

Alcuni risultati e congetture

• L'invariante è zero per l' estensione -ciclotomica sopra un'estensione abeliana di ( teorema di Ferrero-Washington ). Sono noti esempi di altre estensioni dove non è zero.μ{\ displaystyle \ mu}Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}
• L'invariante è noto, ad esempio, per campi quadratici immaginari , dalla formula di Kida . Si ipotizza che sia zero per corpi totalmente reali , questa è la congettura di Greenberg .λ{\ displaystyle \ lambda}
• La struttura del modulo del gruppo Iwasawa è collegata in alcuni casi a determinate funzioni L p-adic (fr) , dalla congettura principale della teoria di Iwasawa, dimostrata da Mazur e Wiles nel 1984, poi per qualsiasi campo numerico totalmente reale da Wiles nel 1990. Le loro tecniche sono state ispirate da quelle usate da Ken Ribet nella sua dimostrazione del teorema di Herbrand-Ribet . Karl Rubin ha dimostrato altre generalizzazioni della congettura per i campi quadratici immaginari. Più recentemente, ispirandosi al metodo di Ribet, Chris Skinner ed Eric Urban hanno annunciato una dimostrazione della congettura principale per GL (2).X=Gal(L/K∞){\ displaystyle X = Gal (L / K _ {\ infty})} Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

Sviluppi

Lo sviluppo delle idee di Iwasawa può essere fatto lungo diversi assi:

• consideriamo il comportamento lungo le fasi di un'estensione di oggetti diversi dal gruppo di classi, in particolare del gruppo di Mordell-Weil di una curva ellittica . Parliamo della teoria delle curve ellittiche di Iwasawa .Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}
• si considera il comportamento degli oggetti aritmetici non più lungo un'estensione, ma in infinite estensioni aventi altri gruppi di Galois: per esempio , o più in generale un gruppo analitico p -adico. Si sviluppò così una teoria non commutativa di Iwasawa , in particolare sotto la guida di John Coates .Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}Zpd{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {d}}

Note e riferimenti

Appunti

1. (in) B. Mazur e A. Wiles , "  Campi di classe delle estensioni abeliane di Q  " , Inventiones Mathematicae , vol.  76, n o  2 1984, p.  179-330 ( leggi in linea )
2. (in) A. Wiles , "  The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields  " , Annals of Mathematics , vol.  131, n °  3, 1990, p.  493-540 ( DOI  10.2307 / 1971468 )
3. (in) K. Rubin , "  La" mano delle congetture "della teoria di Iwasawa per i campi quadratici immaginari  " , Inventiones Mathematicae , vol.  103, n o  1, 1991, p.  25-68 ( DOI  10.1007 / BF01239508 )
4. (en) C. Skinner et É. Urban, Le principali congetture di Iwasawa per GL 2 , preprint (2010).

Riferimenti

• (fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato "  Teoria di Iwasawa  " ( vedi l'elenco degli autori ) .
• (en) Lawrence C. Washington  (de) , Introduzione ai campi ciclotomici [ dettaglio delle edizioni ]