Morfismo ad anello

Un morfismo di anelli si applica tra due anelli (unità) A e B , coerente con le leggi di questi anelli e invia il moltiplicativo neutro Al moltiplicativo neutro B .

Definizione

Un morfismo ad anello è una mappa f tra due anelli (unitari) A e B che soddisfa le seguenti tre proprietà:

Per tutti a , b in A :

f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) f ( a ∙ b ) = f ( a ) ∙ f ( b ) f (1 A ) = 1 B .

Esempi

L'inclusione dell'anello degli interi relativi Z nell'anello dei numeri reali R (cioè la mappa i tra questi due insiemi definiti da i ( n ) = n ) è un morfismo iniettivo;
Per n intero strettamente positivo, la proiezione di Z sull'anello Z / n Z è un morfismo suriettivo;
La coniugazione complessa è un morfismo biunivoco del campo commutativo C dei numeri complessi su se stesso, detto automorfismo di C ;
Dato un anello di funzioni, ad esempio l'anello di funzioni continue da R a R e un punto c dell'insieme di partenza, la mappa che ad una funzione f associa il valore f ( c ) è un morfismo, detto morfismo di valutazione ;
Allo stesso modo, A essendo un anello commutativo e c un elemento di A , la mappa che associa con un polinomio P dell'anello A [ X ] suo valore P ( c ) è un morfismo da A [ X ] per A ;
Se P è una matrice invertibile nell'anello di matrici quadrate con coefficienti in un anello R , la mappa che associa ad una matrice quadrata M la matrice PMP –1 è un automorfismo dell'anello di matrici.
Se R è un anello ed E un modulo (a sinistra) su R , consideriamo per ogni a di R l'applicazione f a da E a E definita da f a ( x ) = ax , che è un endomorfismo del gruppo abeliano E . L'applicazione a cui ha associato f ha quindi un morfismo degli anelli dell'anello A all'anello dell'endomorfismo di gruppo di E .

D'altra parte, i seguenti esempi non sono morfismi:

Null mapping (tranne se l'anello di arrivo è l' anello banale ): pur conservando le due operazioni, e come tale è un morfismo di pseudo-anelli , non verifica la condizione relativa al moltiplicativo dei neutri.
Nello stesso spirito, l'applicazione di Z all'anello di matrici (2,2) a coefficienti interi che associa la matrice ad un intero n conserva le due operazioni, ma non è un morfismo per voler inviare l'intero 1 sull'unità matrice . $\ begin {pmatrix} n & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}$

Proprietà legate a una singola operazione

Un morfismo ad anello è in particolare un morfismo di gruppo tra i gruppi additivi sottostanti. Recuperiamo quindi alcune proprietà note per questi in generale:

f (0 A ) = 0 B
per ogni a di A , f (- a ) = - f ( a )
possiamo introdurre il nucleo del morfismo, definito come immagine reciproca di {0 B } e indicato con Ker ( f ). Un morfismo f è iniettivo se e solo se il suo nucleo è ridotto a {0 A }.

Analogamente, essendo f un morfismo di monoidi moltiplicativi , si deduce che se a è invertibile in A , f ( a ) è anche e:

f ( un –1 ) = [ f ( un )] –1 .

Composizione dei morfismi

La mappatura dell'identità di qualsiasi anello A è un morfismo.
Il composto di due morfismi è un morfismo.

Così, provvisti dei loro morfismi, gli anelli costituiscono una categoria .

Inoltre, se un morfismo ad anello è biunivoco, anche il suo reciproco è un morfismo.

Chiamiamo isomorfismo degli anelli un morfismo biunivoco ( automorfismo quando gli anelli di partenza e di arrivo sono gli stessi). Due anelli tra i quali esiste un isomorfismo si dicono isomorfi .

Tuffi ed estensioni

Quando abbiamo un morfismo iniettivo tra due anelli, cioè i da A a S , è comune dimenticare la distinzione tra l'insieme A e la sua immagine A 1 = i ( A ). Identifichiamo le strutture isomorfe A e A 1 al punto da dimenticare volontariamente la distinzione tra questi due insiemi e utilizzare notazioni che non li distinguono.

Ad esempio, se costruiamo numeri complessi come coppie di reali, il numero complesso 3 è per definizione la coppia di reali (3,0) e non è uguale al reale 3. Usare notazioni per distinguerli sarebbe molto poco pratico. , e noi "identificarli". Quindi afferma che R è un "sottoinsieme" di C in modo che, in senso stretto, esiste solo un insieme con un morfismo iniettivo a C .

In tali contesti si dice spesso che A è immerso in S , oppure S è un'estensione di A .

Morfismi, sottoanelli, ideali ideal

I morfismi ad anello si comportano con i sotto-anelli come i morfismi di gruppo con i sottogruppi:

L' immagine inversa di un sottoanello di B da un morfismo è un sottoanello di A .
L' immagine diretta di un sottoanello A da un morfismo è un sottoanello di B .

Con gli ideali, come con distinti sottogruppi, possiamo concludere solo in una direzione:

L'immagine inversa da un morfismo di un ideale sinistro (risp. Destro risp. Bilaterale) a B è un ideale sinistro (risp. Destro risp. Bilaterale) di A . Questo è particolarmente il caso del nucleo , l'immagine reciproca dell'ideale bilaterale nullo.
Per quanto riguarda l'immagine diretta di un ideale di A , possiamo solo concludere che si tratta di un ideale (della stessa natura) del sottoanello f ( A ).

Morfismi di campo commutativo

Un morfismo di corpi commutativi è per definizione un morfismo ad anello tra due corpi commutativi .

Qualsiasi morfismo corporeo è iniettivo, il suo nucleo è un ideale e un corpo non ha altri ideali che l'ideale nullo e se stesso. È quindi un isomorfismo se e solo se è suriettivo.

Tutto questo è generalizzato ai corpi sinistri .

Morfismi dal punto di vista delle categorie

Nella categoria degli anelli (unitari), i monomorfismi sono esattamente i morfismi iniettivi. D'altra parte, se ogni morfismo suriettivo è un epimorfismo (come in ogni sottocategoria della categoria degli insiemi ), non è vero il contrario: l'iniezione di Z in Q è un epimorfismo non suriettivo.

Note e riferimenti

Se f è suriettiva , la seconda proprietà implica la terza: cfr. Morfismo dei monoidi .
Questa mostra di incorporamenti ed estensioni è tratta dalla consultazione di David M. Burton, Un primo corso in anelli e ideali , Addison Wesley,1970, pag. 31 e Paul Cohn , Algebra , t. 1, Wiley ,1974( ISBN 0-471-16430-5 ), pag. 137-138
Per l'intera sezione "Morfismi, sottoanelli, ideali", vedi DM Burton, op. cit. , pag. 27-28 (questo libro non assume anelli unitari, ma ciò non cambia nulla per queste affermazioni)
(in) Louis Rowen , Teoria degli anelli , vol. 1, Stampa accademica ,1988( ISBN 0-12-599841-4 ), pag. 15. L'esempio dell'inclusione di Z in Q è per Rowen la "tragedia" della categoria degli anelli.