Moltiplicatore di Schur

In matematica , più precisamente nella teoria dei gruppi , il moltiplicatore di Schur è il secondo gruppo di omologia di un gruppo G con coefficienti interi ,

{\ displaystyle H_ {2} (G, \ mathbb {Z})}

Se il gruppo è presentato in termini di un gruppo F libero su un insieme di generatori e un normale sottogruppo R generato da un insieme di relazioni sui generatori, in modo che

{\ displaystyle G \ simeq F / R}

quindi, per la formula di omologia intera di Hopf , il moltiplicatore di Schur è isomorfo a

{\ displaystyle (R \ cap [F, F]) / [F, R]}

dove [ A , B ] è il sottogruppo generato dal interruttori aba -1 b -1 per un in A e B in B . Può anche essere espresso in termini di coomologia, come

{\ displaystyle H ^ {2} (Sol, \ mathbb {C} ^ {\ times})}

dove G agisce banalmente sul gruppo moltiplicativo di numeri complessi diversi da zero.

I moltiplicatori di Schur sono di particolare interesse quando G è un gruppo perfetto (un gruppo uguale al suo sottogruppo derivato ). Un gruppo G ha un'estensione centrale universale ( cioè iniziale - quindi unica) p : E → G se e solo se è perfetto. Inoltre, E quindi anche perfezionare e ker ( p ) è il moltiplicatore di Schur di G . Più esplicitamente, se il gruppo perfetto G ha una presentazione F / R come sopra, la sua estensione centrale universale è

{\ Displaystyle 1 \ to (R \ cap [F, F]) / [F, R] \ to [F, F] / [F, R] \ to G \ to 1}

Lo studio del moltiplicatore di Schur, dovuto a Issai Schur , può essere considerato l'inizio della coomologia di gruppo .

Esempio

Il gruppo alternato $A n$ è perfetto se $n \geq 5$ (perché semplice e non abeliano ). Il suo moltiplicatore Schur è:

{\ displaystyle H_ {2} ({\ rm {A}} _ {n}, \ mathbb {Z}) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} n = 1,2 {\ text {o}} 3, \\\ mathbb {Z} / 6 \ mathbb {Z} & {\ text {si}} n = 6 {\ text {or}} 7, \\\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} & {\ text {altrimenti.}} \ End {case}}}

La rappresentazione standard $A n \to SO n -1$ produce, per restrizione dell'estensione centrale $0 \to ℤ / 2ℤ \to Spin n -1 \to SO n -1 \to 1$ , un'estensione centrale

{\ Displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ to {\ widetilde {{\ rm {A}} _ {n}}} \ to {\ rm {A}} _ {n} \ a 1}

che, se $n \neq 6, 7$ , è l'estensione centrale universale di $A n$ .

Note e riferimenti

(De) Heinz Hopf, " Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe " , Commento. Matematica. Helv. , vol. 14,1942, p. 257-309 ( Recensioni matematiche 0006510 , zbMATH 0027.09503 ).
(a) Robert Steinberg , Lectures on Chevalley Groups , Yale University ,1968( leggi in linea ) , p. 74-78.
(De) J. Schur , " Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen " , J. queen angew. Matematica. , vol. 127,1904, p. 20-50 ( leggi online ).
(De) J. Schur , " Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen " , J. Reine angew. Matematica. , vol. 132,1907, p. 85-137 ( leggi in linea ).
(De) J. Schur , " Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen " , J. Reine angew. Matematica. , vol. 139,1911, p. 155-250 ( leggi in linea ).
(en) Charles A. Weibel (en) , Introduzione alla omologica Algebra , CUP ,1994( leggi in linea ) , p. 202.

(en) Gregory Karpilovsky, The Schur Multiplier , Oxford University Press , 1987 ( ISBN 978-0-19-853554-6 )

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Schur multiplier " ( vedere l'elenco degli autori ) .