Pseudo-anello

In matematica , uno pseudo-anello è una delle strutture algebriche utilizzate in algebra generale . È un insieme provvisto di un'addizione e di una moltiplicazione che soddisfano gli stessi assiomi di quelli di un anello , tranne che per la moltiplicazione non è richiesta la presenza di un elemento neutro .

Una minoranza di autori non chiede agli anelli di avere un moltiplicativo neutro; se ci riferiamo alle loro convenzioni, questo articolo tratta quindi di ciò che chiamano squilli .

È possibile aggiungere un'unità a un anello che non ne ha uno, in diversi modi. In una certa misura, queste tecniche consentono di utilizzare la teoria degli anelli unitari per trattare questioni riguardanti gli pseudo-anelli.

Esempi

Tutti gli anelli (unitari) sono a maggior ragione pseudo-anelli.
Il set 2 Z di persino interi relativi è uno pseudo-ring, che non è un anello.
Uno pseudo-anello zero-quadrato A è uno pseudo-anello in cui il prodotto di due elementi è sempre 0. Uno pseudo-anello zero-quadrato che è altrimenti unitario è necessariamente ridotto all'anello zero . Qualsiasi gruppo abeliano (A, +) può essere provvisto di una pseudo-nullo quadrato struttura ad anello posa xy = 0 per ogni x ed y di A .
L'insieme delle matrici con coefficienti in Z della forma è uno pseudo-anello. Ha un'infinità di neutri a sinistra (tutte le matrici della forma ) ma nessuno di essi è neutro a destra: non è quindi un anello unitario. ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & c \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$
Molte algebre associative su R o C , che giocano un ruolo essenziale nell'analisi funzionale , sono prive di un elemento moltiplicativo neutro e sono come tali pseudo-anelli: così lo spazio denotato delle funzioni che tendono dallo zero all'infinito su R , o Schwartz spazio di funzioni in rapida diminuzione (fornito con la normale moltiplicazione di funzioni), lo spazio L 1 di funzioni integrabili Lebesgue su R (fornito con la convoluzione ) o lo spazio di operatori compatti d ' uno spazio di Hilbert di dimensione infinita (fornito con la composizione degli operatori ). ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {0} (\ mathbb {R})}$

Un lemma

Se uno pseudo-anello ha esattamente un neutro a sinistra , anche questo è neutro a destra, e lo pseudo-anello è quindi un anello unitario .

Dimostrazione

Indichiamo con e l'unico neutro a sinistra. Per tutti a e tutti i b sul ring,

( e + ae - a ) b = eb + a ( eb ) - ab = b + ab - ab = b ,

quindi e + ae - a è lasciato neutro. Poiché il neutro a sinistra è unico, e + ae - a = e , quindi ae = a , ed e risulta essere neutro anche a destra.

Concetti basilari

Morfismi : possiamo definirli come sugli anelli , tranne per il fatto che ci sono solo due condizioni da impostare: un morfismo di pseudo-anelli è una mappatura tra due pseudo-anelli A e B che soddisfa, per tutti a e b :

f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) f ( ab ) = f ( a ) f ( b ).

Sotto-pseudo-anelli: una sottostruttura è qui definita come un sottogruppo additivo altrimenti stabile per moltiplicazione.
Ideali e quozienti: senza che ci sia nulla da cambiare, definiamo come sugli anelli le nozioni di ideale a destra, ideale a sinistra, ideale bilaterale e quoziente per ideale bilaterale, essendo questo quoziente uno pseudo-anello .
Elementi con nomi specifici: definiamo esattamente come in un anello le potenze di un elemento x (tranne che non è più possibile definire x 0 ), i divisori di zero, gli elementi nilpotenti, gli elementi idempotenti.
Caratteristica: per mancanza di moltiplicativo neutro, si può comunque dare una definizione che poggia solo sulla struttura del gruppo abeliano come segue: sia A uno pseudo-anello. Se esiste un intero n > 0 tale che nA = {0}, chiamiamo caratteristica di A il più piccolo tale numero intero; se non esiste, diciamo che A ha caratteristica zero. Quando l'anello è unitario, questa definizione coincide con quella più comunemente data per la sua caratteristica .
Moduli: possiamo copiare la definizione di un modulo su un anello unitario rimuovendo la condizione relativa al moltiplicativo neutro (1 x = x ). Bourbaki chiama la struttura così definita pseudomodulo .

Aggiunta di un'unità

Estensione Dorroh

Sia A uno pseudo-anello. Sulla somma esterna diretta Z ⊕ A dei gruppi abeliani additivi Z e A , definiamo una moltiplicazione ponendo:

( M + α ) ( n + β ) = mn + nα + mβ + αβ per tutti m , n in Z e tutti α , β in A .

Controlliamo che questa moltiplicazione sia associativa e distributiva rispetto all'addizione. Inoltre, 1 è un elemento neutro: abbiamo quindi costruito un anello unitario .

Infine, l'inclusione i di A in Z ⊕ A è un morfismo di pseudo-ring: è stato pertanto costruito un anello unitario contenente A . Si chiama l' estensione della Dorroh di A . Sarà annotato come A 1 di seguito.

Dalla definizione di A 1 risulta immediatamente che A è un ideale (a due code).

Esempi :

se A = X Z [ X ], l'ideale dei multipli di X nell'anello dei polinomi su Z (cioè polinomi senza termine costante), l'estensione di Dorroh restituisce Z [ X ];
se invece A = 2 Z , l'ideale degli interi anche relativi, l'estensione di Dorroh non restituisce Z ma un anello avente per sottostante il gruppo additivo Z 2 e che contiene divisori di zero ;
se lo pseudo-anello A aveva già un neutro moltiplicativo, che indicheremo con ε, si consideri F : Z × A → A 1 definito da F ( k , α ) = k - kε + α . Verifichiamo che si tratta di un isomorfismo di anelli (dove Z × A è stato fornito con le operazioni di anello del prodotto ). In questo caso, l'estensione Dorroh contiene quindi necessariamente divisori di zero ed è di scarso interesse, se non a titolo di esempio.

Senza essere un processo assolutamente efficiente, l'estensione di Dorroh consente spesso di ridurre lo studio di uno pseudo-anello a quello di un anello unitario. In particolare, dato uno pseudomodulo su A , possiamo estendere il suo anello di scalari ad A 1 (con la formula ( m + α ) x = mx + αx ); inoltre, qualsiasi modulo su A 1 diventa uno pseudomodulo su A per restrizione degli scalari, essendo queste due trasformazioni reciproche. Infine, se abbiamo due pseudomoduli su A , i morfismi tra di loro sono gli stessi, sia che consideriamo le loro strutture di pseudomoduli o le loro strutture di modulo su A 1 . Le categorie dei moduli A- pseudomoduli e A 1 sono quindi esattamente le stesse.

Infine, l'estensione Dorroh controlla la seguente proprietà universale :

Sia A uno pseudo-anello, A 1 la sua estensione Dorroh e i l'inclusione di A in A 1 . Per ogni anello unitario R e qualsiasi morfismo di pseudo-anelli φ : A → R , esiste uno ed un solo morfismo di anelli unitari φ 1 : A 1 → R per cui φ = φ 1 ∘ i .

Estensione Szendrei

Sia A uno pseudo-anello senza divisore di zero . Nell'estensione di Dorroh A 1 , denotiamo con J l'insieme di elementi c tale che cA = {0}, e vediamo che J è un ideale a due code di A 1 . Si può dunque considerare l'anello unitario quoziente A 1 / J .

Inoltre, utilizzando l'assenza di un divisore di zero in A , notiamo che J ∩ A = {0} e quindi A inietta ancora in A 1 / J : abbiamo quindi costruito un nuovo anello unitario che contiene A (che non è nulla nuovo se J = {0}). Si chiama estensione Szendrei .

Questa estensione è essa stessa un anello senza un divisore di zero .

Dimostrazione

Sia una e b due elementi di A 1 il cui prodotto è zero modulo J , e supponiamo che b non è zero modulo J , in altre parole non è in J . Per definizione di J , esiste quindi un elemento α di A tale che bα ≠ 0. Consideriamo quindi il prodotto αabα = α (( ab ) α ) = 0 (in questo calcolo, ( ab ) α svanisce poiché ab ∈ J ) . Notiamo anche che αa e bα sono entrambi in A (quest'ultimo è un ideale a due code di A 1 ); quindi, l'identità ( αa ) ( bα ) = 0 nell'anello A senza divisore di zero comporta αa = 0, poiché bα ≠ 0. Ma allora, per ogni β in A , ( αa ) β = 0 che 'ci raggruppiamo in α ( aβ ) = 0. In questo prodotto, i due fattori sono in A e il fattore α non è zero; poiché A non è un divisore di zero viene ottenuta Aß = 0. Questo dimostra che un è zero modulo J .

Esempi :

se A = X Z [ X ] l'ideale J è zero in A 1 = Z [ X ]: l'estensione di Szendrei coincide con l'estensione di Dorroh;
se A è un anello unitario senza divisore di zero , con neutro annotato ε , vediamo che J è l'insieme di m (1 - ε ), m che passa per Z , allora che l'estensione di Szendrei di A è uguale ad A ;
per A = 2 Z , denotare con η l'elemento 2 di A (questo è necessario per evitare collisioni di notazioni in Z ⊕ A = Z 1 ⊕ Z η ). Si verifica quindi che J = Z (2- η ), e che l'estensione di Szendrei di A è diverso l'inclusione di 2 Z a Z .

L'estensione di Szendrei soddisfa la seguente proprietà di minimalità ( teorema di Szendrei ):

Sia A uno pseudo-anello senza divisore di zero e S la sua estensione di Szendrei. Allora S è un anello unitario senza divisore di zero; inoltre, qualsiasi estensione unitaria senza un divisore di zero di A contiene S come sottoanello.

La seconda parte dell'affermazione deve essere intesa nel seguente senso formale: se indichiamo con i l'inclusione di A in S , per qualsiasi morfismo di pseudo-anelli iniettivi φ : A → T verso un anello unitario senza divisore di zero indicato con T , esiste un morfismo anulare unitario iniettivo ψ : S → T per cui φ = ψ ∘ i .

Ideali massimi negli pseudo-anelli

In questa sezione, si presume che tutti gli anelli siano commutativi .

Possiamo definire in uno pseudo-anello commutativo un ideale primo prendendo una delle forme alternative della definizione di un ideale primo in un anello unitario:

Un ideale I di uno pseudo-anello A si dice primo quando è diverso da A e, per ogni x , y di A ,

xy ∈ I ⇒ x ∈ I o y ∈ I .

Con lo stesso ragionamento come in presenza di un neutro, otteniamo la stessa conclusione, che richiede solo una riformulazione:

Un ideale I di uno pseudo anello commutativo A è primo se e solo se il quoziente anello di A per I non è ridotto a {0} e non ha divisori zero.

Allo stesso modo, possiamo definire un ideale massimale di uno pseudo anello commutativo A come un ideale che è massimale nell'insieme (ordinato per inclusione) degli ideali di A diverso da A stesso.

Ecco un esempio. Nello pseudo-anello commutativo 2 Z , il sottogruppo additivo 4 Z è chiaramente un ideale massimale. Tuttavia l'anello quoziente di A per I non è un campo commutativo, ma è lo pseudo-anello zero quadrato a due elementi. Inoltre, 4 Z non è primo, sebbene massimo. Possiamo già ritenere da questo esempio che:

Negli pseudo-anelli commutativi, ci sono ideali massimi non primi.

Come promemoria, ricordiamo che nella teoria degli anelli commutativi unitari, gli ideali massimi sono caratterizzati dalla produzione di un anello quoziente che è un campo. Esiste un'affermazione simile ma più pesante.

Un ideale I di uno pseudo-anello commutativo A è massimo se e solo se il quoziente dell'anello di A per I è un campo o uno pseudo-anello di zero quadrato su un gruppo ciclico additivo di primo cardinale .

Un'altra differenza con la teoria dell'anello unitario riguarda il teorema di Krull . Le dimostrazioni di questo si basano in modo cruciale sulla presenza di un'unità sul ring; anzi, usiamo la stabilità della classe degli ideali propri ( cioè strettamente inclusi nell'anello) aumentando l'unione, una stabilità che è giustificata dal fatto che un'unione crescente di ideali propri, che è chiaramente un ideale, non contiene 1 quindi è ancora pulito. Non solo questo argomento di prova cade se consideriamo gli pseudo-anelli, ma anche il teorema, come mostra il seguente esempio.

Sia k un campo commutativo. Notiamo A l'anello:

A: = k [X, X ^ {{1/2}}, X ^ {{1/3}}, X ^ {{1/4}}, \ ldots].

(questa notazione è intesa come quoziente ). $k [Y_ {1}, Y_ {2}, Y_ {3}, \ ldots] / (Y_ {1} -Y_ {2} ^ {2}, Y_ {1} -Y_ {3} ^ {3}, \ ldots)$

In questo anello commutativo unitario A , consideriamo l'ideale P generato dalle potenze frazionarie di X , vale a dire:

P: = (X, X ^ {{1/2}}, X ^ {{1/3}}, X ^ {{1/4}}, \ ldots)

che è chiaramente un massimo ideale . Poi ha introdotto l' anello locale A P localizzata alla A in P , e indichiamo T il massimale unico ideale di A P . Detto più concretamente, T è quindi l'insieme degli elementi del campo delle frazioni di A che hanno espressione della forma:

cX ^ {r} {\ frac {1 + a_ {1} X ^ {{s_ {1}}} + \ cdots + a_ {m} X ^ {{s_ {m}}}} {1 + b_ {1 } X ^ {{t_ {1}}} + \ cdots + b_ {n} X ^ {{t_ {n}}}}}

dove c , a 1 , ..., a m , b 1 , ..., b n sono scalari mentre gli esponenti r , s 1 , ..., s m , t 1 , ..., t n sono strettamente numeri razionali positivi.

Lo pseudo-anello commutativo T sopra definito non ha un ideale massimale.

Note e riferimenti

N. Bourbaki , Algebra , Hermann ,1970, p. I.93.
Quindi:
- (it) Neal H. McCoy, The Theory of Rings , MacMillan ,1964( ISBN 978-1-124-04555-9 ),
- (it) David M. Burton, A First Course in Rings and Ideals , Addison-Wesley ,1970,
- (en) Joseph Gallian, Contemporary Abstract Algebra , Houghton Mifflin ,2004( ISBN 978-0-618-51471-7 ) o
- Jacqueline Lelong-Ferrand e Jean-Marie Arnaudiès , Corso di matematica , t. 1: Algebra , Dunod ,1978, p. 79.
Bourbaki 1970 , p. I-97.
McCoy 1964 , p. 9, esercizi 15 e 16.
McCoy 1964 , p. 43.
McCoy 1964 , p. 2.
McCoy 1964 , p. 21-22.
McCoy 1964 , p. 3-5.
McCoy 1964 , p. 4 o Burton 1970 , p. 11. Una diversa definizione si trova al margine in László Rédei (en) , Algebra , Pergamon Press ,1967, volo. 1, p. 64: tra i moduli Z con cancellatore banale, distingue quelli in cui qualsiasi elemento (diverso da zero) è di ordine infinito (additivo) e li dichiara di caratteristica zero, ma definisce gli altri come "di caratteristica infinita".
(a) Pierre-Antoine Grillet, Abstract Algebra , New York, Springer-Verlag ,2007, 669 p. ( ISBN 978-0-387-71567-4 ) , p. 315sotto il nome di "modulo" o Bourbaki 1970 , p. II-177 sotto il nome di "pseudomodulo".
Redei 1967 , p. 110, che attribuisce l'invenzione di questa estensione a (en) IL Dorroh , “ Riguardo alle aggiunte all'algebra ” , Bull. Amaro. Matematica. Soc. , vol. 38,1932, p. 85-88.
Burton 1970 , p. 31-32, scrive di non avere "alcun merito particolare" . La struttura come prodotto ad anello è indicata in Bourbaki 1970 , p. II.177.
Grillet 2007 , p. 108.
Bourbaki 1970 , p. II-177.
Redei 1967 , p. 335-337 (per tutta la sezione relativa all'estensione di Szendrei), che rimanda all'articolo: (en) J. Szendrei , “ Sull'estensione degli anelli senza divisori di zero ” , Acta Sci. Matematica. Szeged , vol. 13, 1949-1950, pagg. 231-234.
Burton 1970 , p. 75-77.
Redei 1967 , p. 205-206, fornisce un'affermazione leggermente più tecnica non assumendo la commutatività. La dichiarazione qui fornita è una conseguenza immediata delle informazioni a p. 133 in (en) Oscar Zariski e Pierre Samuel , Commutative Algebra , t. 1, Van Nostrand,1958.
Osservazioni sulla dimostrazione del teorema di Krull compaiono in Burton 1970 , p. 75-77. L'esempio fornito è Esempio 149 p. 129 in (in) Harry C.Hutchins Esempi di anelli commutativi , Polygonal Pub House,1984, 167 p. ( ISBN 978-0-936428-05-5 ), che non indica questa proprietà, ma è un esercizio senza difficoltà.