In matematica , la funzione zeta di Riemann è definita come la somma di una particolare serie , le cui applicazioni alla teoria dei numeri e in particolare allo studio dei numeri primi si sono rivelate essenziali. Questo articolo presenta una storia della funzione zeta di Riemann e la comprensione che ha fornito della distribuzione dei numeri primi .
Un numero intero naturale ( positivo ) si dice primo se ammette esattamente due divisori (1 e se stesso). Il numero 1 non è primo. Fu nell'antichità che furono scoperti i numeri primi , probabilmente all'epoca dell'invenzione delle frazioni. Il ruolo dei numeri primi è fondamentale in aritmetica per effetto del teorema di scomposizione, noto fin dall'antichità, che afferma che ogni intero positivo è il prodotto di numeri primi, se non è esso stesso primo.
I numeri primi, inizialmente riscontrati nella semplificazione delle frazioni, giocano un ruolo in strutture finite come l' anello ( Z / n Z , +, ×) che è un campo commutativo se e solo se n è primo.
Attribuiamo tradizionalmente a Euclide il seguente teorema : "I numeri primi sono più numerosi di qualsiasi moltitudine di numeri primi proposti" che oggi si traduce nell'affermazione "C'è un'infinità di numeri primi".
Tuttavia, questo risultato non risolve il problema fondamentale della teoria dei numeri primi: come trovarli "senza difficoltà"? Se esistesse un'espressione che dia facilmente, per ogni intero n , il numero primo di rango n , la questione della distribuzione dei numeri primi non si porrebbe. Ma la natura del problema significa che tale espressione è attualmente sconosciuta e probabilmente rimarrà fuori portata per molto tempo (vedere l'articolo dettagliato Formule per numeri primi su questo argomento ). Questo articolo mostra come storicamente una funzione matematica complicata, la funzione zeta di Riemann , sia apparsa in questo contesto e come abbia permesso alla conoscenza dei numeri primi di evolversi .
Successivamente, questa funzione è stata studiata per se stessa, passando così da strumento di analisi allo status di oggetto matematico di analisi.
La storia matematica inizia quindi nell'antichità greca con la ricerca dei numeri primi. Si prosegue al momento della rinascita europea (che spingerà fino al XVII ° secolo) dalla comparsa di varie tematiche legate con numeri primi non è immediato, ma emergerà nel corso del tempo che porta alla funzione zeta di Riemann di oggi.
Di antichità conosciamo solo il famoso setaccio di Eratostene , che permette di trovare senza troppi sforzi i numeri primi inferiori ad un dato limite, purché il limite non sia troppo grande.
Costruiamo un array contenente gli interi fino al limite desiderato e cancelliamo da 2 tutti gli interi da due a due.
Il numero intero più piccolo n non barrato è primo. Da questo, cancelliamo gli interi dell'array da n a n . E ricominciamo da capo, il più piccolo degli interi rimanenti è primo ...
Il metodo del Setaccio di Eratostene porta a una formula chiamata formula dello schermo e assegnata a Daniel da Silva (in) e James Joseph Sylvester , ma probabilmente molto prima in una forma o nell'altra.
La formula del setaccio di Da Silva e SilvestroNell'insieme {1, 2,…, n }, siano P 1 , P 2 ,…, P m m le relazioni che hanno a che fare con questi numeri interi e W ( r ) il numero di interi che soddisfano le relazioni r P i .
Quindi, il numero di interi che non soddisfano nessuna delle relazioni P i è data dalla formula
Facciamo un esempio:
Il numero di interi minori di n che non sono divisibili per m numeri a 1 , a 2 , ..., a m , presunti primi tra loro due a due è uguale a
dove [ x ] denota la parte intera di x .
Questa formula del setaccio è generalizzata in un processo sistematico chiamato metodo del setaccio , inaugurato nel 1919 da Viggo Brun e il suo famoso risultato : “La serie degli inversi dei numeri primi gemelli è convergente. "
Da allora, il metodo del setaccio Brown è stato migliorato ( schermo Selberg (in) , tra gli altri).
Il setaccio di Erathostene non fornisce (almeno immediatamente) alcuna informazione sulla distribuzione dei numeri primi, hanno proposto i ricercatori, in assenza di una formula che dia l' ennesimo numero primo o di una formula che consenta di dire con certezza se un numero è primo , formule che danno sempre numeri primi o proprietà simili.
Il mondo dei numeri primi è pieno di congetture non dimostrate come:
Abbiamo progredito nello studio di queste due congetture mostrando, per la prima, che ogni numero dispari abbastanza grande è la somma di tre numeri primi, e per la seconda, che ogni numero perfetto dispari ha almeno 21 divisori .
Dopo Euclide, né l' Antichità né il Medioevo , né l'inizio del Rinascimento , hanno avanzato lo studio della distribuzione dei numeri primi. Un'analisi dell'elenco dei numeri primi suggerisce che sono distribuiti in modo casuale e in nessun ordine particolare. Questa era l'opinione di coloro che allora erano interessati a questa domanda. Lo stesso Pierre de Fermat non fece congetture riguardo a questa distribuzione. Abbiamo cercato a lungo una formula che producesse tutti i numeri primi e un semplice algoritmo in grado di decidere se un intero è primo. Senza molto successo. Le formule ottenute ( ce ne sono alcune ) sono molto spesso basate sul teorema di Wilson o su un risultato simile, il che ne rende impossibile l'uso nella pratica.
Fu nel 1644 che Pietro Mengoli pose una domanda che porterebbe direttamente alla funzione ζ : quanto vale la somma delle serie digitali ?
Noi Afferma che Tartaglia aveva già riscontrato questo problema (e sapeva che la somma delle serie armoniche , è infinita). Né Leibniz , né i Bernoulli riescono a riassumere la serie. Né James Stirling , che pubblicò la sua famosa formula nel 1730, in un'opera che tratta appunto della somma di serie numeriche, e in cui dà solo una somma approssimativa mediante un metodo di accelerazione di convergenza.
Eulero , nel 1731, calcola la somma 10 -6 vicino congetture e, nel 1735, è π 2 /6. Fu finalmente nel 1743, per inversione serie integrale , che ottenne la prima rigorosa giustificazione di questa congettura:
Teorema -
Ne rimarrà molto orgoglioso e dirà anche che se solo una delle sue opere dovesse essere conservata, lascia che sia questa. Ma non si ferma a questo risultato e, usando i numeri B 2 k , chiamati dai numeri di Bernoulli , trova finalmente la formula generale
e definisce la funzione zeta , annotata ζ , sui reali maggiori di 1 da
Utilizzando manipolazioni di serie divergenti , riesce anche a definire e calcolare il valore di ζ ( k ) per interi negativi k e trova così una forma particolare di quella che sarà la relazione funzionale della funzione zeta.
Non riuscirà a calcolare ζ (2 k + 1) ma troverà questa curiosa formula che fa il collegamento con la teoria dei numeri primi, e che chiamiamo da un prodotto euleriano :
dove il prodotto infinito viene eseguito sull'insieme di numeri interi primi p .
Di conseguenza, esiste un legame, fino ad allora sconosciuto, tra i numeri primi e la funzione ζ .
Eulero coglie l'occasione per dare una nuova dimostrazione dell'infinità dei numeri primi, considerando il particolare valore k = 1 . Infatti la serie armonica è divergente, il che è incompatibile con un numero finito di fattori nel prodotto euleriano.
Infine, mostra che la serie degli inversi dei numeri primi è divergente, o per essere più fedele al suo lavoro, che la sua somma è il logaritmo del logaritmo dell'infinito. Eulero considera infatti l'infinito, ∞ , come un numero piuttosto particolare che manipola liberamente. Per questo calcola il logaritmo di ζ (1) : da un lato come logaritmo della serie armonica, che è quindi per lui il logaritmo del logaritmo dell'infinito, e dall'altro dal prodotto euleriano, in ardita espansione il logaritmo di Taylor in (e non intorno) k = 1 . Trova così due termini, la somma che vuole stimare
e la serie convergente
Questo gli permette di affermare:
" . "Tuttavia, Eulero scrisse nel 1751:
“I matematici hanno finora tentato invano di scoprire qualsiasi ordine nella progressione dei numeri primi, e c'è motivo di credere che sia un mistero che la mente umana non potrà mai penetrare. Per essere convinti di questo, dobbiamo solo gettare gli occhi sulle tabelle dei numeri primi che alcuni si sono presi la briga di continuare oltre i centomila e prima ci accorgeremo che non c'è ordine o regola lì. "
che esprime bene lo stato di scoraggiamento dei matematici da mille anni davanti a questa questione che difficilmente progredisce.
Riprendendo la prova di Eulero sull'infinità dei numeri primi, Dirichlet riuscì tra il 1837 e il 1839 a dimostrare una conseguenza di una congettura di Legendre risalente al 1785.
Teorema - Se i numeri uno e B sono primi tra loro, v'è un'infinità di numeri primi nella progressione aritmetica di un + b , n ∈ ℕ .
Ma per questo associa una serie, che da allora è stata chiamata serie di Dirichlet , e che è della forma
Riprendendo l'argomento della dimostrazione di Eulero sull'infinità dei numeri primi e sulla divergenza della serie degli inversi dei numeri primi, deduce il suo teorema dalla presenza di un polo della serie associata in s = 1 .
Mostra che abbiamo
φ ( s ) è una funzione intera .
Analizzando una tabella di numeri primi fino a 6.000.000, Joseph Bertrand afferma la congettura:
Tra n e 2 n esiste sempre un numero primo.
È sulla dimostrazione di questo risultato che Tchebycheff lavorerà.
Nel 1849, Tchebycheff dimostrò che se π ( x ) ln ( x ) / x tende a un limite, il limite è uguale a 1. Poi nel 1850, usando abilmente la formula di Stirling, dimostra una forma debole della congettura di Legendre,
Teorema - Per ogni x sufficientemente grande, abbiamo:e ne deduce il postulato di Bertrand. Ma non è in grado di dimostrare l'esistenza del limite di π ( x ) ln ( x ) / x .
Egli mostra nel 1852 che il numero di Legendre , 1.08366 ..., deve essere sostituito da 1 dimostrando che se il limite di
esiste (che La Vallée Poussin confermerà nel 1899) quindi può essere solo 1.
Questi risultati avranno una notevole influenza. Qui dobbiamo ricordare che la matematica a fare fino a quando XIX ° è calcolato in uguaglianze secolo. Vediamo qui apparire disuguaglianze, qualcosa di molto insolito anche se sono valute comuni nel nostro tempo.
L'inizio del XIX ° secolo ha visto la creazione della teoria delle funzioni analitiche complesse e metodi di analisi moderna. Cauchy scoprì il teorema dei residui , intravisto da Siméon Denis Poisson nel 1813, e si occupava di funzioni analitiche complesse e integrazione. Sarà lui a definire la nozione di convergenza uniforme , spazzando via così la convinzione che il limite di una serie di funzioni continue sia sempre continuo. Fa lo stesso con le serie definendo la nozione di convergenza assoluta e si astiene, o quasi, dal sommare serie divergenti, a differenza dei suoi predecessori che scrivono senza formalità
In questo contesto, Bernhard Riemann riprende il lavoro di Tchebycheff e in un libro di memorie del 1859 farà avanzare decisamente la ricerca sulla congettura di Legendre. Per questo, utilizza un'analisi complessa, estendendo i metodi di Tchebycheff, questa teoria ancora nuova in pieno svolgimento. Prima estende la funzione ζ di Eulero a tutti i reali positivi maggiori di 1, quindi passa ai valori complessi della variabile, che chiama s = σ + i t , con σ> 1 . Infine, utilizzando le proprietà di Eulero funzione Γ , deduce una rappresentazione di ζ ( s ) da un integrale curvilineo , che poi gli permette di estendere la funzione ζ all'intero del piano complesso, ad eccezione di s = 1 che Dirichlet aveva dimostrato di essere un semplice palo con residuo 1.
il dominio è un laccio intorno a 0 e si estende verso + ∞ .
Dimostra una relazione fondamentale chiamata equazione funzionale che mette in relazione il valore della funzione ζ in s con quello in 1 - s
Questa relazione mostra che l'asse Re ( s ) = 1/2 gioca un ruolo fondamentale nello studio della funzione ζ . Se conosciamo il comportamento di ζ a destra di questo asse, l'equazione funzionale ci permette di completare e quindi sappiamo tutto di ζ .
Riemann mostra facilmente che la funzione ζ non si annulla sul semipiano Re ( s )> 1 , e quindi, con l'equazione funzionale, ζ non si annulla neanche su Re ( s ) <0 , eccetto gli interi anche negativi designato da "zeri banali". D'altra parte, è facile dimostrare che ciascuno di questi banali zeri è semplice.
ζ ( s ) può quindi svanire, a parte interi anche negativi, solo nella banda 0 ≤ Re ( s ) ≤ 1 , e Riemann fa la seguente congettura:
Tutti gli zeri non banali di ζ hanno una parte reale uguale a 1/2.
Nella teoria della funzione ζ , come risultato del teorema di fattorizzazione di Hadamard relativo alle funzioni meromorfe di ordine finito ρ , gli zeri ei poli giocano un ruolo centrale. Per la funzione di Riemann ζ , che è di ordine 1, abbiamo:
con b = ln (2π) - 1 - γ / 2 , γ che indica la costante di Eulero-Mascheroni .
Possiamo vedere che la determinazione degli zeri ρ è una questione centrale. Tuttavia, questi zeri ρ sono distribuiti simmetricamente rispetto all'asse reale poiché la funzione è reale sull'asse reale ( principio di simmetria di Schwarz (in) ), ma sono anche distribuiti simmetricamente rispetto all'asse Re ( s ) = 1 / 2.
La soluzione più semplice e gradita al matematico è che tutti gli zeri non banali ρ siano sull'asse 1/2. Non si dovrebbe vedere nient'altro come motivazione iniziale per l'ipotesi di Riemann. Questa ipotesi è tuttavia carica di conseguenze. Ma né Riemann né i suoi seguaci riusciranno a dimostrarlo.
Il resto della tesi fa il collegamento tra gli zeri della funzione ζ ( s ) e le funzioni di aritmetica, ma le dimostrazioni sono solo abbozzate. Innanzitutto, fornisce il numero di zeri della funzione ζ ( s ) nel rettangolo [0, 1] × [0, i T ] come se fosse:
Quindi arriva il collegamento tra la funzione π ( x ) e la funzione ζ ( s ) nella forma:
(con Re ( s )> 1 ) che si tratta di invertire per ottenere il teorema dei numeri primi. Scrive per questo
e usando un'espansione di ζ ( s ) in funzione degli zeri ρ di ζ ( s ) , annuncia la formula che von Mangoldt giustificherà pienamente nel 1894:
dove li è la funzione logaritmo integrale . Infine, Riemann afferma che questo spiega perfettamente la congettura di Legendre e che possiamo anche dedurre che li ( x ) major π ( x ) con un termine di errore O ( x 1/2 ) . È infatti una congettura gaussiana che abbiamo π ( x ) ≤ li ( x ) (ma è falsa ).
Questa tesi è l'unica tesi di Riemann sulla teoria dei numeri. Riemann morì nel 1866, all'età di 40 anni.
Da allora, la congettura di Riemann e lo studio della funzione ζ ( s ) hanno occupato le menti di molti matematici, che non tutti apprezzano la difficoltà del compito lasciato in eredità da Riemann. Le dimostrazioni di Riemann sono, quando esistono, spesso incomplete o addirittura totalmente false. Ad esempio, occorrerà molto tempo per avere una prova reale del teorema di mappatura conforme di "Riemann". E questo vale anche per le sue memorie del 1859 sulla funzione ζ ( s ) . Tuttavia, l'audacia di Riemann, che credeva fermamente nel potere dei metodi variabili complessi, fu una rivoluzione per l'epoca.
Le formule delle memorie di Riemann sono dimostrate da Hadamard nel 1893 e da von Mangoldt nel 1894 (con un piccolo errore riguardante la formula sul numero di zeri di ζ , fissata nel 1905). Dimostreremo rapidamente il teorema:
Teorema - Le seguenti tre proposizioni sono equivalenti:
“Dimostrerò infatti che la funzione di M. Tchebychef, somma dei logaritmi dei numeri primi inferiori a x , è asintotica a x , cosa che fino ad ora non eravamo stati in grado di ottenere. " Halphen ha riconosciuto che il suo metodo ha incontrato difficoltà inaspettate su questo tema e non ha pubblicato il risultato annunciato. Riprendendo questo metodo, Cahen non ebbe più successo nel 1893. La soluzione fu quella di venire da Hadamard la cui dimostrazione era parzialmente ispirata al metodo di Halphen, morto nel frattempo il21 maggio 1889.
ma il suo errore è di affermare di avere una prova che la serie a destra converge non appena Re ( s )> 1/2. Due giorni prima, in una lettera a Hermite, aveva dettagliato il suo argomento: secondo lui, la funzione M ( x ) sarebbe stata in O ( x 1/2 ) , ma ancora senza prova. Mittag-Leffler gli chiede immediatamente i dettagli della sua nota. Nelle sue risposte (una lettera nel luglio 1885 e poi, a seguito di un rilancio via Hermite, tre nella primavera del 1887), Stieltjes insiste nelle sue affermazioni, che ancora non sono giustificate.
Nel 1896 Jacques Hadamard e Charles-Jean de La Vallée Poussin dimostrarono indipendentemente la congettura di Legendre nella forma seguente:
Le dimostrazioni sono abbastanza diverse, ma un passaggio intermedio cruciale in ciascuna è mostrare che la funzione ζ ( s ) non si annulla sulla linea di ascissa σ = 1 .
Franz Mertens ha dimostrato nel 1898 la seguente disuguaglianza per σ> 1
che fornisce una prova più semplice di questo passaggio cruciale. Finora, nessuno è riuscito a fare molto meglio, cioè mostrare che ζ ( s ) è diverso da zero su una banda [1 - δ, 1] , qualunque sia δ> 0 , quindi che una parte importante della comunità matematica crede che ζ ( s ) non scompare sulla banda] 1/2, 1], secondo l'ipotesi di Riemann.
Edmund Landau ha semplificato nel 1903 la dimostrazione di La Vallée Poussin del 1899, al prezzo di una stima leggermente peggiore del resto (vedi sezione successiva). Nel 1908 propose altre dimostrazioni più semplici del teorema dei numeri primi "a secco" (senza valutazione del resto) e utilizzando solo il comportamento della funzione zeta sulla retta dell'ascissa σ = 1 .
Nel 1928 Norbert Wiener diede la prima dimostrazione del teorema dei numeri primi partendo dall'ipotesi minima “La funzione ζ ( s ) non si annulla sulla retta dell'ascissa σ = 1 ”.
Il teorema dei numeri primi di Hadamard e La Vallée Poussin del 1896 viene riscritto:
Nel 1899, La Vallée Poussin diede, senza alcuna condizione, un aumento più preciso del resto:
Helge von Koch mostra nel 1901 che l'ipotesi di Riemann è equivalente alla stima più precisa
Successivamente, il resto incondizionato di La Vallée Poussin sarà migliorato da
di Littlewood all'inizio degli anni '20 prima del lavoro di Vinogradov .
È stato con grande difficoltà che siamo riusciti a dimostrare la congettura di Legendre-Gauss. Inoltre, qualsiasi teorema che fosse equivalente al teorema di Hadamard-La Vallée Poussin era qualificato come trascendente. In effetti, si è scoperto che i teoremi trascendenti iniziali facevano un uso estensivo della teoria della variabile complessa. Si è anche forgiata la convinzione che non si potesse fare a meno della teoria della variabile complessa nella dimostrazione del teorema dei numeri primi poiché quest'ultimo equivaleva a dimostrare che la funzione ζ ( s ) non si annulla sull'asse 1 (teorema di Landau) .
I matematici distinguevano così quei teoremi della teoria dei numeri che richiedevano la teoria della variabile complessa qualificandoli come trascendenti, mentre gli altri teoremi avevano una dimostrazione qualificata come elementare. Questa classificazione aveva il difetto di essere fluttuante. Pertanto, alcuni legami avevano un membro qualificato come trascendente, mentre l'altro no! D'altra parte, con il tempo, abbiamo finito per trovare prove elementari per teoremi qualificati per un tempo come trascendentali. Il colpo di grazia arrivò nel 1949 quando Selberg ed Erdős diedero finalmente una dimostrazione elementare - nel senso precedente - del grande teorema dei numeri primi.
Le difficoltà incontrate nel giustificare pienamente le affermazioni di Riemann spingono i matematici a inventare nuovi strumenti. Due emergeranno all'alba del ventesimo secolo: la teoria della serie di Dirichlet che sarà iniziata da Eugène Cahen , e la teoria delle funzioni quasi periodiche, opera di Ernest Esclangon , ma principalmente di Harald Bohr e Edmund Landau , e che sarà continua con Jean Favard e Abram Besicovitch prima di essere assorbito dall'analisi armonica ( Wiener …).
Bohr e la teoria delle funzioni quasi periodicheLa teoria delle funzioni quasi periodiche è essenzialmente opera di Bohr e Landau del 1909, anche se Esclangon propose all'inizio del XX secolo una teoria simile, quella delle funzioni quasi periodiche ( fr ) . L'obiettivo è la generalizzazione delle serie di Fourier e lo studio delle proprietà di queste funzioni. Nella serie di Fourier di una funzione, i coefficienti, si ricorderà, sono calcolati da un integrale della funzione, assunto periodico. La funzione viene quindi scritta come una somma di funzioni trigonometriche la cui frequenza è un multiplo del periodo della funzione. E, senza grandi difficoltà, si passa dalla rappresentazione classica per seno e coseno a una rappresentazione che coinvolge un esponenziale il cui argomento è puro immaginario.
Nella teoria delle funzioni quasi periodiche, o ci diamo i coefficienti di “Fourier” di una serie trigonometrica e ne studiamo le proprietà, oppure cerchiamo quali devono essere le proprietà di una funzione perché sia “quasi” periodica. Dimostriamo che i due punti di vista coincidono se rimaniamo ragionevoli nelle nostre richieste.
Diciamo che una funzione f , definita e continua su ℝ, è quasi periodica (nel senso di Bohr) se per ogni ε> 0 esiste un numero L > 0 tale che ogni intervallo di lunghezza L contiene un ε- quasi periodo , cioè un numero τ tale che
Questa definizione si estende alle funzioni complesse e diciamo che f , una funzione analitica complessa, è quasi periodica nella banda [σ 1 , σ 2 ] se f (σ + i t ) è quasi periodica in t , uniformemente rispetto a σ ∈ [σ 1 , σ 2 ] .
Viene quindi mostrato che qualsiasi funzione quasi periodica è limitata, che una funzione analitica complessa può essere quasi periodica in una banda solo se rimane limitata lì, che la quasi periodicità è preservata dalla somma, dal prodotto e dal limite uniforme e che quando un periodico funzione ha una derivata uniformemente continua , questa stessa derivata è quasi periodica.
Il risultato principale riguarda la rappresentazione in serie di Fourier generalizzata
“ Viene scritta qualsiasi funzione f quasi periodica "formula in cui λ n è una serie di numeri reali che svolgono il ruolo di frequenze di Fourier, dove a n sono i coefficienti di Fourier della serie.Per quanto riguarda la teoria delle funzioni analitiche complesse quasi periodiche in una banda, in congiunzione con il teorema di Phragmén-Lindelöf che è solo l'estensione del principio del massimo a un insieme illimitato (banda o settore angolare, qui banda) dimostriamo che la derivata di una funzione analitica complessa quasi periodica in una banda [σ 1 , σ 2 ] è essa stessa quasi periodica nella stessa banda. Abbiamo anche il seguente risultato dovuto a Doetsch (de) (1920):
Teorema - Sia f ( s ) una funzione analitica regolare e limitata nella banda [σ 1 , σ 2 ] . Alloraè una funzione convessa di σ in [σ 1 , σ 2 ] .
Da tutto ciò risulta che una funzione analitica regolare quasi periodica per un valore σ è quasi periodica in una banda massima [σ 1 , σ 2 ] dove rimane limitata, al di fuori di questa banda o non è più regolare (poli ...) non è più limitato o cessa di esistere. La sua serie di Fourier lo rappresenta nella sua fascia massima.
Applicata alla funzione di Riemann ζ , la teoria delle funzioni quasi periodiche mostra che ζ ( s ) è una funzione quasi periodica nella banda ] 1, ∞ [ , dove è rappresentata dalla sua serie di Fourier-Dirichlet la banda ] 1, ∞ [ essere il massimo. Tutti i suoi derivati sono anche funzioni quasi periodiche sullo stesso nastro. È lo stesso per la funzione 1 / ζ ( s ) .
Il teorema di Dirichlet ci permette persino di mostrare il teorema (Bohr e Landau):
Esiste un numero A > 0 e, per quanto grande sia t 0 , t > t 0 tale che | ζ (1 + i t ) | > A ln ln ( t ) .
Poiché 1 / ζ ( s ) esiste per tutti gli s di parte reale maggiori o uguali a 1, e poiché non ammette alcun polo sull'asse 1, deduciamo che non è limitato su questo asse. D'altra parte, a causa della quasi periodicità sul semipiano σ> 1 , per ogni ε> 0 , esiste un'infinità di valori di t tali che
e analogamente per la funzione 1 / ζ :
La teoria generale della serie di DirichletLa teoria generale della serie di Dirichlet è stata avviata da Eugène Cahen nella sua tesi Sulla funzione di Riemann e su funzioni analoghe, supportata dal16 marzo 1894. Questo lavoro è oggetto di gravissime riserve da parte dei matematici di questo tempo ma servirà da cornice e guida per i successivi studi perché cerca di fare una teoria sistematica delle funzioni rappresentabili per serie di Dirichlet.
La teoria si basa sulla nozione di ascisse di convergenza non appena si dimostra che la convergenza delle serie per un valore s 0 = σ 0 + i t 0 porta alla convergenza per i valori s = σ + i t con σ> σ 0 (teorema di Jensen , 1884). E ora si definiscono classicamente diverse ascisse di convergenza. C'è l'ascissa di convergenza assoluta che corrisponde all'ascissa di convergenza della serie di Dirichlet i cui coefficienti sono i valori assoluti dei coefficienti della serie di partenza. Questa ascissa sarà indicata con σ a . Le ammette prima serie, da parte sua, un cosiddetto semplice ascissa convergenza, osservato σ s e verifica: σ s ≤ σ una .
Nel semipiano di convergenza semplice, la somma della serie di Dirichlet rappresenta una funzione analitica complessa regolare, e la sua derivata è essa stessa analitica regolare nello stesso semipiano.
Teorema - Sia una serie di Dirichlet di cui si suppone che l'ascissa di convergenza semplice sia strettamente positiva. Allora l'ascissa di convergenza è data daFacciamo due piccole applicazioni alla funzione di Riemann ζ .
Abbiamo per ζ ( s ) : a n = 1 e λ n = ln n . Da dove | A ( n ) | = N e la formula dà σ s = 1 .
D'altra parte per la funzione
era a n = μ ( n ) , λ n = log ( n ) e A ( n ) = M ( n ) , la funzione di somma della funzione di Möbius. Supponiamo che M ( n ) = O ( n θ ) . La formula fornisce quindi il valore θ come ascissa di convergenza . E la funzione sarà regolare per σ> θ quindi ζ ( s ) non si annullerà sul semipiano σ> θ .
Vediamo che esiste un collegamento tra la funzione ζ ( s ) , l'ipotesi di Riemann e la funzione di somma M ( x ). Infatti, grazie alla formula di sommatoria di Abele , abbiamo la formula integrale
il che mostra che qualsiasi ipotesi di crescita su M ( x ) si traduce immediatamente nella convergenza dell'integrale. Tali ipotesi sono state formulate in tempi diversi e portano il nome generico delle ipotesi di Mertens .
Applicando uno dei suoi teoremi
“ Sia f (σ + i t ) una funzione analitica complessa che è o (exp ( et )) in una banda [σ 1 , σ 2 ] per ogni e > 0; se è O ( t a ) su σ = σ 1 e O ( t b ) su σ = σ 2
allora f è O ( t k (σ) ) nella banda [σ 1 , σ 2 ] dove k (σ) è la funzione
" Lindelöf ha mostrato nel 1908 il seguente teorema:“ La funzione μ (σ) è una funzione convessa, positiva e decrescente di σ . "
Per la funzione ζ ( s ) , sappiamo che μ (σ) = 0 se σ> 1 poiché è limitata sul semipiano di convergenza. D'altra parte mostriamo che μ (σ) = 1/2 - σ se σ ≤ 0 dalla relazione funzionale. Si tratta quindi di collegare il punto (0, 1/2) al punto (1, 0) mediante una curva positiva decrescente e convessa. La retta che unisce questi due punti è di equazione t = 1/2 - σ / 2 e questo dà μ (1/2) ≤ 1/4 . Finora abbiamo mostrato μ (1/2) ≤ 32/205 (Huxley). Ipotizziamo che μ (1/2) = 0 ( ipotesi di Lindelöf ).
La prima congettura che risolve l'ipotesi di Riemann è quella di Mertens . Ricordiamo che Stieltjes nella sua “prova” del 1885 affermò che era facile vedere che la serie di Dirichlet che definiva 1 / ζ ( s ) convergeva fintanto che Re ( s )> 1/2 . Questa asserzione era equivalente a asserendo che M ( u ) = O ( u 1/2 + ε ) , qualunque sia ε> 0 .
In un articolo del 1897, utilizzando una tabella numerica fino a 10.000, Mertens rileva che | M ( n ) | ≤ √ n per n <10.000 , risultato presto confermato da von Sterneck , nel 1901, fino a 500.000, e al Congresso internazionale dei matematici nel 1912 per 16 valori inferiori a 5 milioni. Questo coglie l'occasione per proporre l'aumento | M ( n ) | ≤ √ n / 2 che sarà confutata numericamente nel 1963 da Neubauer mostrando che M (7 760 000 000) = 47 465 , che è maggiore del limite di von Sterneck. Specifichiamo che Wolfgang Jurkat (de) , nel 1973, mostrerà che la congettura di von Sterneck è asintoticamente falsa.
La congettura di Mertens si presenta in tre forme:
La forma normale implica la forma generalizzata che coinvolge la forma indebolita.
Risultati attuali sulle congetture di MertensAttualmente sappiamo che la prima forma è falsa ( Odlyzko e te Riele , 1985) ma le prove fornite non ci permettono di rispondere sulle altre due forme. Attualmente si ipotizza che anche la seconda forma sia falsa. Tuttavia, la formula di sommatoria di Abel applicata a 1 / ζ ( s ) mostra che, se l'ipotesi di Riemann è vera, M ( u ) = O ( u 1/2 + ε ) . Quest'ultimo risultato è quasi il migliore che possiamo attualmente sperare.
Come abbiamo visto per le serie di Dirichlet, l'ipotesi di Mertens, qualunque sia la sua forma, implica l'ipotesi di Riemann, ma ha una conseguenza interessante, la semplicità degli zeri della funzione ζ . Abbiamo però calcolato milioni di zeri della funzione ζ e li abbiamo trovati tutti con una parte reale uguale a 1/2 e semplice.
Tuttavia, non è noto se l'ipotesi di Lindelöf coinvolga l'ipotesi di Riemann.
Teorema - Esiste un numero δ> 0 tale che in ogni intervallo [ T , T + 1] esiste un'infinità di valori di t per cui | ζ (σ + i t ) | ≥ t –δ , e qualunque cosa σ ∈ [–1, 2] .
L'importanza di questo teorema sta nel fatto che è l'unico che consente un attraversamento della banda critica [0, 1].
La teoria delle serie di Dirichlet mostra che δ ≤ 1 senza assunzione ma non conosciamo un valore di δ senza assunzione aggiuntiva. D'altra parte, se ammettiamo l'ipotesi di Lindelöf, allora δ può essere considerato piccolo quanto vogliamo, e questo vale anche per l'ipotesi di Riemann. Infatti, dimostriamo quindi di avere un teorema di Valiron con per δ una funzione decrescente tendente allo 0 per t tendente all'infinito.
Il teorema di Valiron è usato essenzialmente per aumentare (o diminuire) integrali complessi che coinvolgono la funzione ζ ( s ) su un percorso che attraversa la banda critica. È grazie a lui che dimostriamo che l'ipotesi di Mertens indebolita (e quindi le altre ipotesi) implica non solo l'ipotesi di Riemann ma anche la semplicità degli zeri della funzione di Riemann e certe minorazioni tra gli zeri della funzione ζ .
Teorema - O la funzione ζ ( s ) , o la funzione ζ '( s ) ha un infinito di zeri nel semipiano σ> 1 - δ , essendo δ una quantità positiva arbitrariamente piccola.
“L'ipotesi di Riemann è equivalente all'assenza di uno zero non banale della derivata ζ '( s ) nel semipiano σ <1/2 . "
Nel 1996, Cem Yıldırım ha dimostrato
“L'ipotesi di Riemann implica che le funzioni ζ '' ( s ) e ζ '' '( s ) non si annullano a vicenda nella banda 0 <Re ( s ) <1/2 . "
È alla dimostrazione di questo risultato che Phragmén affronterà .
Teorema di Phragmén (1891):
“Sia f ( u ) una funzione reale integrabile localmente per u > 1 . Assumiamo che l'integrale
converge per Re ( s )> 1 e definisce una serie intera il cui raggio di convergenza è strettamente maggiore di 1.Allora
che è storicamente il primo teorema di oscillazione.
Il calcolo di Jørgen Pedersen Gram dei primi zeri non banali di ζ ( s ) nel 1895 e nel 1903, consente a Erhard Schmidt di provare nel 1903 il primo teorema di oscillazione che non è un'alternanza di segni:dove Ω ± è la notazione di Hardy-Littlewood-Landau .Teorema - Sia f ( u ) una funzione reale integrabile localmente. Definiamo la funzione
e chiamiamo σ c la sua ascissa di convergenza.Se esiste un u 0 tale che f ( u )> 0 per ogni u> u 0 , allora σ c è una singolarità di ϕ ( s ) .
da cui deduciamo che se σ c non è una singolarità, allora f non mantiene un segno costante.
Un'immediata applicazione del teorema di Landau a 1 / s ζ ( s ) per cui la funzione f ( u ) del teorema è M ( u ) , funzione di sommatoria di Möbius, dà, poiché 1 / s ζ ( s ) è regolare su l 'intervallo reale [0; 2]:
Abbiamo utilizzato per passare il risultato che zeta svanisce per ρ 1 = 1/2 + 14,1… i .
Hardy aveva dimostrato nel 1914 che c'era un numero infinito di zeri sull'asse 1/2. Ma la sua dimostrazione ha fornito solo una piccola quantità rispetto al numero di zeri nella banda critica. Abbiamo quindi cercato di completare il teorema di Hardy.
Convenzionalmente chiamiamo N 0 ( t ) il numero di zeri sull'asse 1/2 e di parte immaginaria positivo minore di T e N ( T ) il numero di zeri non banali nella banda critica e della parte immaginaria positivo minore di T . L'ipotesi di Riemann afferma che N 0 ( T ) = N ( T ) . Ma ancora oggi non sappiamo se N 0 ( T ) ~ N ( T ) . La questione del confronto tra N 0 ( T ) e N ( T ) nasce dalla dimostrazione del teorema di Hardy. Ricorda che N ( T ) cresce come T ln ( T ) .
In primo luogo, nel 1921, Hardy e Littlewood mostrano che esiste una costante A per la quale abbiamo N 0 ( T )> AT . Selberg, nel 1942, riprendendo la dimostrazione di Hardy e Littlewood riesce a migliorare la stima fino a N 0 ( T )> A T ln ( T ) . Ora abbiamo l'ordine giusto e il lavoro si concentrerà sul miglioramento del rapporto N 0 ( T ) / N ( T ) . Nel 1974, Levinson ha dimostrato che il rapporto è almeno uguale a 1/3 quando T si avvicina all'infinito. E un'osservazione di Heath-Brown e Selberg mostra che questo terzo è composto solo da zeri semplici. Conrey ( pollici ) migliora il rapporto nel 1983 a 0,3658 nel 1989 e poi a 0,4. Al contrario, un teorema di Bohr e Landau del 1914 mostra che la crescita di | ζ ( s ) | 2 è correlato alla distribuzione degli zeri. Il valore medio di | ζ ( s ) | 2 viene incrementato sulle rette σ = cte. Deduciamo che la proporzione di zeri al di fuori della banda 1/2 - δ <σ <1/2 + δ tende a 0 quando T tende a infinito. Questo porta direttamente all'ipotesi di densità.
Ci sono stati a lungo i cosiddetti teoremi di universalità che esprimono che una data funzione si avvicina a qualsiasi funzione analitica in una data area. Tali teoremi furono dimostrati tra le due guerre mondiali da vari autori. Voronin (de) ha dimostrato nel 1975 che la funzione zeta di Riemann aveva questa proprietà. Successivamente Bhaskar Bagchi ha esteso questo risultato e chiamiamo così la seguente affermazione:
Teorema - Sia ε> 0 fisso. Per qualsiasi compact K inclusa nella fascia ] 1/2; 1 [ e per ogni funzione analitica f che non svanisce su K , esiste un t 0 tale che per ogni s ∈ K abbiamo | ζ ( s + i t 0 ) - f ( s ) | ≤ ε.
La teoria della funzione M è molto oscura, anche con ipotesi forti. Il miglior risultato attualmente conosciuto è un leggero miglioramento di un risultato già noto a Landau nel 1909:
Siamo riusciti solo a migliorare la potenza della ln ( u ), che è passata da 1/2 a 3/5 in quasi un secolo.
Se c'è uno zero della funzione di Riemann in s = β + iγ , mostriamo che M ( x ) = O ( x β + ε ) per ogni ε> 0.
L'ipotesi indebolita di Mertens ha conseguenze molto interessanti:Successivamente, un metodo essenzialmente dovuto a van der Corput negli anni '20 ha migliorato la regione senza zero, per t abbastanza grande, da
questo poco prima che Vinogradov, per un percorso completamente diverso, fece compiere alla teoria un progresso decisivo ottenendo nel 1936 la regione senza zero
Dal 1958, la migliore regione senza zero noto è della forma, per t> T 0
Qualsiasi miglioramento della regione zero-zero della funzione ζ di Riemann si traduce in un miglioramento dei resti nell'espansione asintotica di molte funzioni aritmetiche come θ ( x ), π ( x ), M ( x ) ...
Ivan Vinogradov , proseguendo le ricerche di Hardy, Littlewood e Weyl sulla stima delle somme trigonometriche riesce finalmente (dopo diverse comunicazioni risalenti agli anni '30) a dimostrare che abbiamo:
per N <t e due costanti ben scelte K e γ . Possiamo prendere K = 9,463 e γ = 1 / 133,66.
Da lì, usando la formula di sommatoria di Abele , deduciamo che la funzione zeta di Riemann non si annulla per s appartenenti alla regione definita da
dove t indica la parte immaginaria di s e c una costante appropriata. Questo risultato è dovuto a Vinogradov e Korobov nel 1958, indipendentemente. Al momento della loro pubblicazione, gli articoli di Vinogradov e Korobov hanno affermato senza piena prova che la regione zero-zero era della forma
Questa affermazione fu contestata dalla comunità matematica, e fu solo nel 1967 e il lavoro di Hans-Egon Richert (de) per avere una dimostrazione rigorosa. Finora nessuno è riuscito ad eliminare il fattore 1 / (ln ln t ) 1/3 .
per le costanti adattate A e c . Kevin Ford ha dimostrato che potevamo prendere A = 76,2 e c = 4,45 per t > 3 . Questo risultato è legato alla teoria della funzione μ (σ) .
Pál Turán dimostrò nel 1948 che l'ipotesi di Riemann era implicita nell'ipotesi che le somme parziali
non aveva zero nel semipiano Re ( s )> 1 non appena n era abbastanza grande. Successivamente, ha migliorato il suo criterio dimostrando che era sufficiente che le somme parziali non avessero zero nella regione Re ( s )> 1 + cn –1/2 non appena n era sufficientemente grande. È stato dimostrato che S 19 è svanito nel semipiano Re ( s )> 1 e Hugh Montgomery ha mostrato nel 1983 che S n aveva uno zero nel semipiano
per ogni c <4 / π - 1.
Bertil Nyman nel 1950 e poi Arne Beurling nel 1955 dimostrarono indipendentemente un legame tra gli spazi L p ([0,1]) e l'ipotesi di Riemann:
Sia M lo spazio delle funzioni f della formache sono funzioni limitate misurabili che si annullano per x maggiore del maggiore di θ k .Il teorema di Beurling è affermato come segue:
“ M è denso in L p ([0,1]), 1 ≤ p ≤ ∞ , se e solo se la funzione di Riemann ζ non ha zero nel semipiano σ> 1 / p . "
Hu, nel 1990 ha dimostrato che l'ipotesi di Riemann è implicita da
Li ha dimostrato nel 1997 che l'ipotesi di Riemann era equivalente alla positività di una sequenza di numeri:Il criterio Li (en) afferma:
L'ipotesi di Riemann è equivalente alla proprietà che λ n > 0 per ogni intero positivo n .
Mostriamo che i numeri λ n sono espressi in funzione degli zeri non banali della funzione di Riemann ζ secondo la formula
dove, come al solito, la somma viene eseguita in modo simmetrico
Eulero era riuscito a dare il valore di ζ (2 n ) , esprimendo questi valori come π 2 n moltiplicato per un numero razionale. Questi valori erano quindi trascendenti , nel senso dato a questa parola da Joseph Liouville nel 1844, poiché secondo il teorema di Hermite-Lindemann (1882), π era trascendente (quindi anche tutti i suoi poteri). Ma la questione della natura dei valori con numeri interi dispari rimane aperta. Conosciamo molte espressioni dei numeri ζ (2 n + 1) sia sotto forma di serie infinite che sotto forma di integrali, ma questo non sembra aver illuminato indebitamente i matematici sulla natura di questi numeri. Ipotizziamo che tutti i numeri ζ (2 n + 1) siano trascendenti. Ma non sappiamo ancora se siano addirittura irrazionali. Qui, va detto che la questione della natura di un numero definito da una serie è un problema di una folle difficoltà che si può risolvere solo in pochi casi generali: il teorema di Liouville- Thue - Siegel - Dyson - Roth che sarà dichiarato nella sua forma finale:
Teorema - Qualsiasi numero algebrico è avvicinabile da un'infinità di frazioni con ordine 2 e non oltre.
Il primo risultato degno di nota è il teorema di Apéry , che presentò oralmente nel 1978, provocando controversie sulla validità della sua argomentazione. La prova è stata successivamente pienamente giustificata e da allora sono state ottenute varie semplificazioni.
Teorema - ζ (3) è irrazionale.
Successivamente, Keith Ball e Tanguy Rivoal, nel 2000, hanno dimostrato l'irrazionalità di un numero infinito di valori della funzione zeta con numeri interi dispari Wadim Zudilin (in) , l'anno successivo (2001), ha dimostrato che almeno uno dei numeri ζ (5) , ζ (7) , ζ (9) , ζ (11) è irrazionale. Questo risultato è stato ottenuto tramite serie ipergeometriche .
Oltre al luogo degli zeri della funzione di Riemann ζ , un'altra questione tormenta le menti dei matematici: la questione della semplicità degli zeri. Si presume comunemente che tutti gli zeri siano semplici. Sono stati compiuti alcuni progressi su questo tema. Diciamo che uno zero ρ è di ordine k se la funzione ζ svanisce in ρ così come le sue k - 1 derivate, mentre ζ ( k ) (ρ) ≠ 0 . Diciamo quindi che la molteplicità di ρ è uguale a k .
Chiamiamo nella successione m (ρ) la molteplicità di zero ρ .
Come risultato della formula che dà il numero N ( T ) di zeri, abbiamo senza alcuna ipotesi m (ρ) = O (ln | ρ |) .
Sotto l'ipotesi di Lindelöf, abbiamo immediatamente, seguendo il limite superiore S ( t ) = o (ln t ) , la disuguaglianza m (ρ) = o (ln | ρ |) e sotto l'ipotesi di Riemann, abbiamo la stessa Queste disuguaglianze derivano dal fatto che abbiamo ma sembra che sia difficile migliorare la stima in questo modo.
Senza alcuna ipotesi, sappiamo che la serie non converge quando T si avvicina all'infinito.L'ipotesi di Mertens indebolita (ea fortiori l'ipotesi di Mertens generalizzata) implica la semplicità degli zeri. Dimostriamo infatti di avere, sotto questa ipotesi,
E anche un po 'di più è convergente.Cramér e Landau, nel 1920, dimostrarono che era coinvolta l'ipotesi indebolita di Mertens
Montgomery ha mostrato che, sotto l'ipotesi di Riemann e l'ipotesi delle coppie correlate (vedi sotto), avevamo
da cui deduciamo
dove N 1 ( t ) indica il numero di minore di modulo di zeri semplice T .Questo valore è stato migliorato, a scapito dell'ipotesi Lindelöf generalizzata, da Conrey, Ghosh e Gonek
In uno studio del 1999, Aleksandar Ivić ha fornito alcuni dettagli sul valore di m (ρ) . Ha dimostrato, grazie alla disuguaglianza di Jensen, il seguente teorema
"Se ζ (β + iγ) = 0 con 1/2 <β <1 , allora abbiamo
"da cui deduciamo che m (ρ) è tanto minore quanto β è più vicino a 1. Ha precisato che avevamo in effetti
"Se ζ (β + iγ) = 0 con 1/2 <β <1 e γ> γ 0 > 0 , allora
Inoltre, se allora, esiste una costante C > 0 tale che, per γ> γ 0 > 0 ,
"Quest'ultimo risultato migliora rispetto a un risultato Levinson ottenuto nel 1969.
Il problema del momento è un classico problema in letteratura sulla funzione ζ .
Kannan Soundararajan lo ha dimostrato nel 2008
“Assumendo l'ipotesi di Riemann, e per tutti k fissi e tutti ε> 0, abbiamo
"E subito dopo, lo stesso anno, Ivić generalizzò il risultato di Soundararajan dimostrando il seguente risultato
“Ammettendo l'ipotesi di Riemann e per tutti k fissi e tutti θ ∈] 0, 1 [ , ponendo H = T θ , abbiamo
"Nel 1972, Hugh Montgomery, durante un simposio presso l' Università di St. Louis , ha emesso una congettura da allora conosciuta sotto il suo nome o sotto il nome di coppie congetture di correlazione (in) .
Montgomery considerò, secondo l'ipotesi di Riemann, la funzione
la somma che si estende sulle parti immaginarie γ degli zeri ρ = 1/2 + iγ della funzione di Riemann ζ .
Lo ha dimostrato così per 1 ≤ x ≤ o ( T ) ed estesa a Goldston 1 ≤ x ≤ T .Montgomery ipotizzò che, per T ≤ x , avessimo
che è la forte ipotesi delle coppie correlate .La debole congettura delle coppie correlate , che deduciamo, lo esprime
Quest'ultima congettura fa il collegamento con la teoria delle matrici aleatorie.
La congettura di Hilbert e PólyaL'ipotesi della densità
L'ipotesi di Riemann ha da tempo dato luogo a dimostrazioni più o meno fantasiose, e questo con altre congetture. Abbiamo già fornito esempi di annunci prematuri di matematici seri. Questo non ha esaurito l'argomento: