Formula di sommatoria di Abele
In matematica , la formula di sommatoria di Abel , dal nome del suo autore Niels Henrik Abel , è una formula ampiamente utilizzata nella teoria analitica dei numeri . Viene utilizzato per calcolare le serie numeriche .
stati
Sia una sequenza di numeri reali o complessi e una funzione reale o complessa di classe C 1 .
(anon)non∈NON∗{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}φ{\ displaystyle \ varphi}
Ci mettiamo in posa
A(X)=∑1≤non≤Xanon.{\ displaystyle A (x) = \ sum _ {1 \ leq n \ leq x} {a_ {n}}.}
Quindi, per tutti i veri x ,
∑1≤non≤Xanonφ(non)=A(X)φ(X)-∫1XA(u)φ′(u)du{\ Displaystyle \ sum _ {1 \ leq n \ leq x} a_ {n} \ varphi (n) = A (x) \ varphi (x) - \ int _ {1} ^ {x} A (u) \ varphi '(u) \, \ mathrm {d} u}.
Dimostrazione
È un'integrazione per parti in un integrale di Stieltjes , ma questo caso particolare può essere dimostrato direttamente.
La funzione A è zero su ] –∞, 1 [ quindi se x <1 , l'equazione si riduce a 0 = 0.
Supponiamo ora x ≥ 1 e denota con N ≥ 1 la sua parte intera (quindi A ( x ) = A ( N ) ). La formula della somma per parti dà:
∑1≤non≤Xanonφ(non)-A(X)φ(X)=A(NON)φ(NON)-∑non=1NON-1A(non)(φ(non+1)-φ(non))-A(X)φ(X)=-∑non=1NON-1A(non)(φ(non+1)-φ(non)))-A(NON)(φ(X)-φ(NON))=-∑non=1NON-1∫nonnon+1A(u)φ′(u)du-∫NONXA(u)φ′(u)du=-∫1XA(u)φ′(u)du.{\ Displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {1 \ leq n \ leq x} {a_ {n} \ varphi (n)} - A (x) \ varphi (x) & = A (N) \ varphi (N) - \ sum _ {n = 1} ^ {N-1} A (n) {\ big (} \ varphi (n + 1) - \ varphi (n) {\ big)} - A (x) \ varphi (x) \\ & = - \ sum _ {n = 1} ^ {N-1} A (n) {\ big (} \ varphi (n + 1) - \ varphi (n)) {\ big )} - A (N) {\ big (} \ varphi (x) - \ varphi (N) {\ big)} \\ & = - \ sum _ {n = 1} ^ {N-1} \ int _ {n} ^ {n + 1} A (u) \ varphi '(u) \ mathrm {d} u- \ int _ {N} ^ {x} A (u) \ varphi' (u) \, \ mathrm {d} u \\ & = - \ int _ {1} ^ {x} A (u) \ varphi '(u) \ mathrm {d} u. \ end {allineato}}}
Esempi
Costante di Eulero-Mascheroni
Per e , annotando la parte intera di x , troviamo (per ogni x reale ≥ 1, o anche x > 0):
anon=1{\ displaystyle a_ {n} = 1}φ(u)=1/u{\ displaystyle \ varphi (u) = 1 / u}⌊X⌋{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}
∑1≤non≤X1non=⌊X⌋X+∫1X⌊u⌋u2du{\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq n \ leq x} {\ frac {1} {n}} = {\ frac {\ lfloor x \ rfloor} {x}} + \ int _ {1} ^ {x } {{\ frac {\ lfloor u \ rfloor} {u ^ {2}}} \ mathrm {d} u}}
da cui si deduce un'espressione integrale della costante di Eulero-Mascheroni :
γ=1-∫1∞ X-E(X)X2dX{\ displaystyle \ gamma = 1- \ int _ {1} ^ {\ infty} \ {\ frac {xE (x)} {x ^ {2}}} \, {\ rm {d}} x}
(dove E è la funzione intera ).
Serie di Dirichlet
Per qualsiasi serie classica di
Dirichlet
f(S)=∑non=1+∞anonnonS{\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}},
La formula di sommatoria di Abele, applicata a , mostra che per qualsiasi numero complesso s con una parte reale strettamente maggiore di 0 e l' ascissa di convergenza della serie:
φ(u)=u-S{\ Displaystyle \ varphi (u) = u ^ {- s}}
f(S)=S∫1∞A(u)u1+Sdu{\ displaystyle f (s) = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {A (u)} {u ^ {1 + s}}} \ mathrm {d} u}.
Di seguito sono riportati due esempi. Un altro può essere trovato nell'articolo " La funzione di Von Mangoldt ".
Funzione zeta di Riemann
Per otteniamo:
anon=1{\ displaystyle a_ {n} = 1}
∑1∞1nonS=S∫1∞⌊u⌋u1+Sdu{\ displaystyle \ sum _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lfloor u \ rfloor } {u ^ {1 + s}}} \, \ mathrm {d} u}.
Questa formula è valida per Re ( s ) > 1. Si deduce in particolare il teorema di Dirichlet secondo cui la funzione zeta di Riemann ζ ( s ) ammette un polo semplice di residuo 1 in s = 1.
Inversa della funzione zeta di Riemann
Per (la funzione Möbius ):
anon=μ(non){\ displaystyle a_ {n} = \ mu (n)}
∑1∞μ(non)nonS=S∫1∞M(u)u1+Sdu{\ displaystyle \ sum _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}} = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {{\ frac { M (u)} {u ^ {1 + s}}} \, \ mathrm {d} u}}.
Questa formula è valida per Re ( s )> 1. Il simbolo M designa la funzione di Mertens , definita da
M(u)=∑1≤non≤uμ(non){\ displaystyle M (u) = \ sum _ {1 \ leq n \ leq u} {\ mu (n)}}.
Nota
-
Questo è un caso particolare di una proprietà della serie generale di Dirichlet che è dimostrato nello stesso modo.
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