Nell'analisi complessa , un'intera funzione è una funzione olomorfa definita sull'intero piano complesso . È il caso della funzione esponenziale complessa , delle funzioni polinomiali e delle loro combinazioni per composizione, quantità e prodotto, come le funzioni seno , coseno e iperboliche .
Il quoziente di due funzioni intere è una funzione meromorfa .
Considerata come un caso particolare della teoria delle funzioni analitiche, la teoria elementare delle funzioni intere trae solo le conseguenze dalla teoria generale. Questo è ciò che vediamo principalmente in un primo corso sulla teoria delle funzioni complesse (spesso arricchito dal teorema di fattorizzazione di Weierstrass ). Ma lo studio, iniziato a partire dalla metà del XIX ° secolo da Cauchy , Laguerre , Weierstrass ... è cresciuta notevolmente sotto la guida di Borel , Hadamard , Montel , Picard , Valiron , Blumenthal ... (bene Nevanlinna ) ed è ora un teoria imponente.
La teoria delle funzioni intere si pone l'obiettivo di classificare le funzioni intere in base alle loro crescite, di specificare il legame tra i coefficienti di Taylor della funzione e la crescita, il legame tra gli zeri eventuali e il comportamento della funzione, e le relazioni tra i funzione e le sue derivate su queste domande.
Questi aspetti della teoria delle funzioni intere sono stati estesi alle funzioni meromorfiche.
Di solito classifichiamo funzioni analitiche complesse in base alla loro complessità, e questa complessità è quella delle loro singolarità. A parte le funzioni polinomiali, appaiono così le funzioni intere che sono oggetto di questo articolo, le funzioni meromorfe che sono quozienti di funzioni intere e le cui uniche singolarità sono polari, le funzioni che presentano singolarità essenziali o punti di ramificazione formando così le funzioni più complicate tra le funzioni analitiche di una singola variabile complessa.
Le funzioni intere appaiono come generalizzazioni di funzioni polinomiali: si comportano come "polinomi di grado infinito". Sono quindi le più semplici funzioni analitiche a parte i polinomi, non avendo singolarità a distanza finita e una sola singolarità all'infinito, come vedremo. Tuttavia, lo studio di queste funzioni è difficile e ci sono ancora molte domande aperte, sebbene questo studio sia iniziato quasi duecento anni fa.
Sia f una funzione analitica complessa olomorfa in z . Può essere sviluppato in una serie intera attorno al punto z secondo la formula di Taylor:
conLa teoria delle serie intere mostra che la serie precedente converge in modo assoluto e uniforme nel disco con centro ze raggio r tali che 0 < r < R , R data dal teorema di Cauchy-Hadamard : (si noti che non converge uniformemente su il disco aperto di centro ze raggio R, altrimenti, secondo il criterio uniforme di Cauchy , convergerebbe sul disco chiuso di centro ze raggio R , che generalmente è falso).
Il risultato principale della teoria delle funzioni analitiche complesse è che il raggio di convergenza è determinato dalla distanza tra il punto e la singolarità più vicina.
Sia f una funzione intera; quindi non ha singolarità a distanza finita. Come prima, è sviluppabile come tutta una serie convergente della forma e, poiché non ha altra singolarità che il punto all'infinito, il raggio di convergenza è infinito. In altre parole, la serie converge qualunque sia il valore di z .
Quindi abbiamo
Ed è lo stesso per ciascuno dei suoi derivati che sono anche interi.
permette, espandendo la frazione 1 / ( s - z ) in serie intere, di identificare i coefficienti di Taylor agli integrali:
In entrambi i casi è un percorso chiuso (un laccio ) senza un anello che circonda z .
Nella formula integrale che dà i coefficienti, chiamando il massimo del modulo della funzione sul disco di centro ze raggio R , un semplice aumento dà le importanti disuguaglianze di Cauchy
Per una funzione intera, R è un reale positivo.
Un risultato importante sulle funzioni intere è il teorema di Liouville :
Teorema di Liouville - Se una funzione intera è limitata, allora è costante.
Una possibile prova è l'applicazione delle disuguaglianze di Cauchy notando che è poi limitato qualunque . È quindi sufficiente tendere verso l'infinito per ottenere il risultato.
Questo può essere usato per fornire una dimostrazione elegante, assurda, del teorema di d'Alembert-Gauss :
Teorema di D'Alembert-Gauss - Qualsiasi polinomio di grado n ammette esattamente n radici complesse contate con la loro molteplicità.
Il piccolo teorema di Picard rafforza notevolmente il teorema di Liouville
Il piccolo teorema di Picard - Qualsiasi funzione intera non costante assume, sul piano complesso, tutti i valori tranne uno al massimo.
In un certo senso, che verrà specificato in seguito, la teoria delle funzioni intere ruota interamente attorno al piccolo teorema di Picard.
Poiché una funzione intera è costante se è limitata e non può avere nessun altro punto singolare oltre all'infinito, il punto all'infinito è un punto singolare per qualsiasi funzione intera non costante. Può essere solo questione di un polo o di una singolarità essenziale. Nel primo caso (il polo all'infinito), l'intera funzione è un polinomio. Nel secondo caso (singolarità essenziale all'infinito), diciamo che la funzione è trascendente .
Per definizione, le funzioni intere hanno solo il punto all'infinito solo per la singolarità. Ci mettiamo in posa
Questa funzione è crescente, secondo il principio del massimo , e come corollario del teorema di Liouville , non è limitata per funzioni intere non costanti. Si chiama modulo massimo della funzione .
La funzione ln è una funzione convessa di ln r . ( Hadamard )
La funzione ln è continua e analitica a intervalli. ( Blumenthal )
Come conseguenza della convessità, ln ammette una derivata destra e una derivata sinistra, e queste derivate sono in aumento. Esiste una funzione crescente (ma non necessariamente continua) tale che
può crescere arbitrariamente velocemente con r . Più precisamente, sia una funzione crescente g : [0, + ∞ [→ [0, + ∞ [ . Esiste una funzione intera f tale che per ogni x reale , f ( x ) è reale e strettamente maggiore di g (| x |), ad esempio scegliendo f della forma:
,dove gli n k formano una sequenza crescente di interi ben scelti; possiamo quindi prendere c : = g (2) e per ogni k ≥ 1, .
Questo risultato è infatti un caso speciale del teorema di approssimazione uniforme di Carleman (en) : o Q una funzione continua definita su valori complessi R , S : R → ] 0, + ∞ [ una funzione continua; esiste una funzione intera f tale che, per ogni x reale, abbiamo .
Se per un certo valore , abbiamo
,allora la funzione f è un polinomio di grado al massimo uguale a .
Quando l'uguaglianza precedente non si verifica per alcun valore di , confrontiamo la crescita di a . Se abbiamo, da un valore di , la disuguaglianza
diciamo che la funzione è di ordine finito. L'ordine di crescita (superiore) di è dato dalla formula
Si distinguono, tra le funzioni intere dello stesso ordine , le funzioni di tipo definite dalla formula
A seconda del valore di , viene fatta una distinzione tra il tipo minimo ( ), normale ( ) o massimo ( ).
Mostriamo i seguenti risultati:
La funzione è di ordine 1 così come le funzioni e .
La funzione Mittag-Leffler
è l'ordine . Lo stesso vale per la funzione Lindelöf definita da
.Da questo risultato deduciamo
L'ordine dell'intera funzione è determinato dalla formula
Il tipo della funzione numero intero è determinato dalla formula
Abbiamo visto che il massimo su un cerchio è correlato ai coefficienti della funzione sviluppata in tutta la serie. Ci si può chiedere se è lo stesso, ad esempio, con solo la parte reale della funzione. Questo collegamento è fornito in modo generale dal lemma Borel-Carathéodory , che fornisce inoltre una stima relativa alle derivate:
Sia f una funzione analitica nella sfera chiusa B (0, R) di centro 0 e raggio R, e A (r) il massimo della sua parte reale presa sul cerchio di raggio r.
Allora abbiamo la seguente disuguaglianza, per ogni r incluso in] 0, R [:
e se
La derivata di una funzione intera è ottenuta dalla derivazione formale della sua intera serie. Applicando la formula di Cauchy-Hadamard, vediamo che la derivata di una funzione intera è essa stessa intera. La questione dell'ordine del derivato si pone quindi naturalmente. Il calcolo dell'ordine con la formula data sopra lo mostra
L'ordine della derivata di una funzione intera è uguale all'ordine di quella funzione.
E, poiché un'intera funzione è differenziabile indefinitamente, lo sono anche tutti i suoi derivati.
Per confrontare in modo più preciso la crescita delle funzioni intere, dobbiamo guardare all'ordine di crescita inferiore, definito dalla quantità
Lo dimostriamo
L'ordine inferiore della derivata di una funzione intera è uguale all'ordine inferiore di quella funzione.
Ma questo non basta. Mostriamo l'esistenza, per una funzione intera di ordine finito , di una funzione avente le seguenti proprietà:
Abbiamo così definito uno specifico ordine L di .
Nei suoi studi sulle funzioni intere, Émile Borel ha definito le funzioni intere con crescita regolare supponendo che l'ordine della funzione intera sia
Dalla definizione deriva che gli ordini superiore e inferiore sono uguali. È in questo senso che la funzione è in costante crescita.
Una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione intera di ordine sia una funzione con crescita regolare è
per ogni intero abbastanza grande e tutto e che esista una sequenza di interi tale che
e per il quale abbiamo
con
Weierstrass ha mostrato che per qualsiasi funzione intera f di ordine finito e che svanisce su numeri complessi , esiste un polinomio di grado minore o uguale a , e un intero tale che abbiamo
,con . Il fattore corrisponde alle funzioni aventi uno zero di ordine p a 0.
Il teorema di Boutroux-Cartan afferma un risultato frequentemente utilizzato nella ricerca sulle funzioni intere. Il problema è stimare il prodotto fuori dall'intorno degli zeri. Partiamo dal presupposto di sapere .
Teorema di Boutroux-Cartan - Per qualsiasi numero , abbiamoa parte al massimo i cerchi dove la somma dei raggi è al massimo .Sia una funzione intera. La serie è una serie decrescente da un certo rango e tendente a 0, qualunque essa sia . Esiste quindi, per ciascuno, un termine maggiore o uguale a tutti gli altri. O il valore di questo termine e il rango (il più grande, se ce ne sono diversi) di questo termine. è una funzione crescente di cui tende all'infinito. Secondo la disuguaglianza di Cauchy, abbiamo .
Il rango è una funzione non decrescente di cui tende all'infinito con .
Tra le funzioni , e c'è un doppio disuguaglianza:
e da questa doppia disuguaglianza si deduce
Per una funzione di ordine finito, le funzioni e sono asintoticamente uguali.
Si deduce quindi una relazione su :
Per una funzione intera perfettamente regolare di ordine finito e di ordine specificato , abbiamo
In generale, abbiamo la formula
Il piccolo teorema di Picard diceva che un'intera funzione non costante assume tutti i valori complessi tranne uno al massimo. Risultati più precisi (riguardanti il numero di antecedenti del modulo limitato di un dato complesso) dipendono dal tasso di crescita della funzione.
Se non imponiamo alcuna restrizione alla crescita della funzione (come vedremo più avanti), essa può assumere valori fissi arbitrari su un insieme U senza punto di accumulazione (ad esempio l'insieme degli interi). In altre parole, o una serie iniettiva di complessi privi di valore di adesione e una serie di valori complessi arbitrari; v'è un intero funzione tale che per tutti n , . Questo risultato, analogo al teorema di interpolazione di Lagrange , è una conseguenza del teorema di fattorizzazione di Weierstrass e del teorema di Mittag-Leffler . Inoltre, la differenza di due di queste funzioni è una funzione intera che si annulla su U , alla quale possiamo applicare i teoremi dei paragrafi seguenti.
Sia una funzione della variabile complessa definita dalla serie
la serie di moduli essendo convergente. Se R è una regione del piano complesso in cui la variazione dell'argomento di è minore di quando varia, la funzione può annullarsi solo al di fuori di questa regione.
Come risultato del teorema fondamentale dell'algebra, un polinomio di grado n ammette n radici in . Quindi, più zeri ammette un polinomio, più velocemente cresce.
Questo è anche il caso di intere funzioni ma in un modo più complesso. Uno dei temi principali della teoria di queste funzioni è la relazione tra la crescita delle funzioni intere e la distribuzione dei loro zeri.
Questa formula è fondamentale nel resto della teoria, anche se non interviene esplicitamente. È dimostrato ad esempio dall'uso della formula di Green.
Abbiamo, per una funzione che ha zeri nei punti , che non presenta polo nel disco e per impostazione
.Questa formula è la formula di Poisson-Jensen .
Deduciamo la formula di Jensen :
Sia f una funzione analitica nel disco contenente gli zeri . Allora
Questa formula consente di correlare il numero di zeri alla crescita della funzione. Sia una funzione intera avente tutti i suoi zeri nel disco di raggio . Chiamiamo il numero di zeri dei moduli minore o uguale a .
Allora abbiamo
e quindi, per una funzione diversa da zero a 0, troviamo la seguente forma della formula di Jensen:
Per una funzione intera di ordine finito, lo vediamo .
Lo deduciamo dalla serie
è convergente per
Chiamiamo quindi ordine reale (Borel) o esponente di convergenza della successione di zeri il valore del più piccolo per il quale converge la serie. Deduciamo quindi questo teorema di Borel:
L'esponente di convergenza della successione di zeri è al massimo uguale all'ordine.
Diciamo che l'intera funzione f è di genere p , secondo Laguerre, quando possiamo metterla nella forma o senza che questa scomposizione possa essere fatta per p - 1, dove Q è un polinomio di grado p al massimo, P , qualsiasi polinomio e il prodotto infinito è il prodotto Weierstrass.
Il più piccolo numero intero che ingrandisce l'esponente di convergenza è anche il genere della funzione.
Il genere è determinato dalla formula di Laguerre:
Una funzione intera è di genere se e solo se si avvicina a 0 in modo uniforme man mano che si avvicina all'infinito.
Non si può stare troppo attenti alla nozione di genere. Lindelöf ha dimostrato che la funzione
dove è di ordine 1 e di genere 0 ma è di genere 1. Allo stesso modo, è di genere 1 ma è di genere 0.
Valiron tuttavia ha mostrato il seguente teorema:
Se f è una funzione di tipo n , anche le funzioni f - a sono di tipo n tranne che per un valore di a al massimo.
Laguerre lo ha dimostrato nelle sue indagini su intere funzioni che seguono le memorie fondanti di Weierstrass
Se una funzione intera f ammette tutti zeri reali, è lo stesso per la sua derivata a condizione che il tipo di f sia uguale a 0 o a 1.
Il risultato più profondo è il piccolo teorema di Picard, che affermiamo così
Qualsiasi funzione intera non costante accetta tutti i valori complessi tranne uno al massimo.
Qualsiasi valore non preso è chiamato valore eccezionale di Picard .
Sia una funzione di ordine finito , di ordine L specificato e il numero di zeri di modulo minore o uguale a . Abbiamo la disuguaglianza
Nel caso di funzioni intere di ordine non intero, queste non ammettono alcun valore eccezionale nel significato del teorema di Picard. Queste funzioni hanno quindi un'infinità di soluzioni all'equazione , qualunque sia il valore di e in particolare
Qualsiasi funzione intera di ordine non intero ammette un infinito di zeri.
Se l'ordine è intero, è possibile il caso eccezionale del teorema di Picard. In questo caso, abbiamo il seguente chiarimento fornito da Émile Borel:
Il numero di radici dell'equazione con modulo inferiore a può essere solo un ordine di grandezza inferiore a quello per un singolo valore di al massimo.
È dimostrato che esistono funzioni intere di ordine intero aventi solo un numero finito di zeri e che non si riducono a un polinomio. Ma questo non può essere il caso per le funzioni intere pari il cui ordine è un numero intero dispari.
Un'intera funzione di ordine è l'ordine in qualsiasi angolo di misurazione maggiore di .
Il matematico francese Milloux, nella sua tesi difesa nel 1924, definì particolari cerchi, da lui chiamati cerchi di riempimento e il cui raggio aumenta indefinitamente, in cui l'intera funzione assume tutti i valori al di sotto di un numero A ( r ) tendente all'infinito con r tranne forse in un cerchio il cui raggio tende a 0 con 1 / r. Ha dimostrato il seguente risultato:
Sia f (z) una funzione intera e una quantità piccola quanto vogliamo e minore di 1. Poniamo e . Assumiamo che r sia abbastanza grande da superare . Allora f (z) soddisfa una delle seguenti due proprietà:
I cerchi di riempimento sono utili per specificare soluzioni all'equazione f ( z ) = a .
Possiamo chiederci se una funzione intera non costante può, in alcune regioni, avere un valore asintotico finito o se hanno sempre un limite finito. Sappiamo che non possono avere valori asintotici finiti in tutte le direzioni come risultato del teorema di Liouville. Diciamo che f ammette il valore asintotico a se esiste un cammino, chiamato cammino di determinazione a per cui f (s) tende verso a quando s tende all'infinito rimanendo sul sentiero.
Quindi, per qualsiasi funzione intera non costante, esiste almeno un percorso di determinazione .
Per una funzione di ordine inferiore a 1/2, esiste un'infinità di cerchi di centro origine e di raggio indefinitamente crescente su cui il modulo minimo tende verso l'infinito. Non esiste quindi un valore asintotico finito per funzioni intere di ordine inferiore a 1/2. Infatti, Wiman ha mostrato il seguente teorema:
Per una funzione di ordine e di ordine specificato L , abbiamo, per ogni cosa , la disuguaglianza
su un'infinità di cerchi di raggi tendenti all'infinito .
Quindi abbiamo su questi cerchi
Supponiamo ora che un'intera funzione abbia due percorsi di determinazioni a e b . Poi, nel dominio definito tra i due percorsi determinazione sia esiste un cammino determinazione , oppure i valori di e b sono uguali e qualsiasi percorso all'infinito compresa tra i due percorsi determinazione è un percorso determinazione una (= b ).
Denjoy ha ipotizzato che una funzione intera di ordine finito abbia al massimo valori asintotici. Questa congettura è diventata il teorema di Ahlfors (in) .
Possono quindi esserci al massimo linee rette che vanno da 0 a infinito e che portano a valori asintotici differenti. Pertanto, l'angolo tra due di tali linee è almeno .
La definizione dell'ordine di una funzione intera di ordine finito e i teoremi di Phragmén-Lindelöf suggeriscono l'interesse che ci sarebbe nello studio della funzione
in funzione di poiché la crescita su una semiretta si riflette nelle linee adiacenti.
Per definizione, è l'indicatrix Phragmén-Lindelöf. È una funzione periodica del periodo che può assumere valori reali, ma può essere o .
Abbiamo quindi:
Sia un'intera funzione di ordine e indicatrice . Se è finito nell'intervallo allora, qualunque cosa sia , esiste tale che per ogni cosa , abbiamo
uniformemente in qualsiasi sottointervallo di .
da cui deduciamo:
Nelle condizioni del teorema precedente, qualsiasi sottointervallo in cui è di lunghezza maggiore di . Qualsiasi sottointervallo in cui è di lunghezza minore o uguale a . Inoltre, qualsiasi sottointervallo in cui è seguito da un punto in cui e da un intervallo in cui .
Potremmo chiederci se ci sono condizioni che assicurano che un'intera funzione sia definita in modo univoco dai valori che assume su un insieme numerabile. Detto in questo modo, senza restrizione nel complesso, sembra che la risposta sia negativa a priori . In realtà, non lo è e in questo genere di domande il risultato di Carlson è all'origine di tutta una serie di ricerche. Può essere espresso come segue:
Sia una funzione intera di ordine 1 e di tipo . La funzione è interamente determinata dai valori , per . Inoltre, se il tipo è rigorosamente inferiore a , allora
La sua dimostrazione utilizza l'indicatrix Phragmén-Lindelöf.
I valori interi presi su un insieme da una funzione intera impongono restrizioni alla sua crescita. Pólya , nel 1915, ad esempio dimostrò il seguente teorema
Sia una funzione intera che assume valori interi sull'insieme di numeri interi non negativi. sì
allora è un polinomio.
In altre parole, la funzione intera non polinomiale più piccola (nel senso di crescita) che assume valori interi rispetto agli interi naturali è la funzione
Questi risultati sono stati generalizzati a funzioni intere che assumono valori interi su una sequenza geometrica ...
Un'intera funzione è di ordine infinito quando non è di ordine finito. Era stato notato molto presto da Emile Borel che, nel caso di funzioni intere di ordine finito , se ci fosse un'infinità di cerchi di raggio r su cui la crescita era dell'ordine di , era possibile che la crescita o di un ordine notevolmente inferiore su un'infinità di altri cerchi. Si dice che queste funzioni abbiano una crescita irregolare. Lo stesso fenomeno esiste per funzioni di ordine infinito.
La teoria si basa sull'esistenza di funzioni standard e sulla definizione dell'ordine secondo la formula
La teoria delle funzioni intere permette, attraverso il teorema di Liouville, di dimostrare in modo semplice ed elegante il teorema fondamentale dell'algebra .
Questa teoria appare anche nella dimostrazione dell'esistenza di un'infinità di zeri della funzione zeta di Riemann nella banda dalla proprietà che le funzioni intere di ordine non intero hanno un'infinità di zeri.
La teoria permette anche lo studio delle funzioni meromorfe come quozienti di due funzioni intere. Le funzioni meromorfe appaiono naturalmente in molti problemi di equazioni differenziali.
Questi metodi rimangono anche un'importante fonte di ispirazione per lo studio di funzioni analitiche più complicate, con diverse variabili ...
La teoria delle funzioni intere è di uso indispensabile nella dimostrazione di Harald Cramér di una congettura di Paul Lévy che se la somma di due variabili casuali indipendenti segue una distribuzione normale, allora ciascuna delle due variabili segue una distribuzione normale.