Serie di Dirichlet

In matematica , una serie di Dirichlet è una serie $f ( s )$ di funzioni definite sull'insieme ℂ di numeri complessi e associata a una serie $( a n )$ di numeri complessi in uno dei due modi seguenti:

{\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}} \ quad {\ text {o}} \ quad f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}}}

Qui, la sequenza $( λ n )$ è reale, positiva, strettamente crescente e illimitata. Il dominio di convergenza assoluta di una serie di Dirichlet è o un semipiano aperto di ℂ, limitato da una retta di cui tutti i punti hanno la stessa ascissa, o l' insieme vuoto , o ℂ interamente. Il dominio della convergenza semplice è della stessa natura. Nel dominio della convergenza semplice, la funzione definita dalla serie è olomorfa . Se la parte reale di $s$ tende a $+ \infty$ , la funzione somma, se esiste, tende a $0$ .

Le serie di Dirichlet sono usate nella teoria analitica dei numeri . Dirichlet ne analizza alcuni, la serie L di Dirichlet , per dimostrare nel 1837 il teorema della progressione aritmetica . L' ipotesi di Riemann è espressa in termini di zeri della continuazione analitica di una funzione somma di una serie di Dirichlet.

Definizioni ed esempi

Definizioni

Esistono due diverse definizioni della serie Dirichlet:

Una serie di Dirichlet è una serie della seguente forma, dove $( a n )$ denota una serie di numeri complessi:

{\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}}

Questo articolo utilizza una definizione più generale:

Una serie di Dirichlet è una serie della seguente forma, dove $( a n )$ denota una sequenza di numeri complessi e $( λ n )$ una sequenza reale, positiva, strettamente crescente e illimitata:

{\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}}}

La prima definizione corrisponde al caso speciale $λ n = ln ( n )$ .

Associamo classicamente a tale serie le due funzioni ${\ displaystyle A (u) = \ sum _ {1 \ leq n \ leq u} a_ {n}, \ quad A _ {\ lambda} (x) = \ sum _ {\ lambda _ {n} \ leq x } anno}}$ .

Esempi

Tra le serie di Dirichlet “classiche”, quelle della prima definizione, ci sono le serie L di Dirichlet , che corrispondono ai casi in cui la sequenza $( a n )$ è totalmente moltiplicativa e periodica . L'esempio più semplice di una tale sequenza (chiamata carattere di Dirichlet ) è la sequenza costante $a n = 1$ , che corrisponde alla serie di Riemann ${\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}}}$ .
La teoria delle serie di Dirichlet generali, consentendo altre sequenze di esponenti λ n rispetto alla successione (ln ( n )) , permette di includere altre teorie classiche:
- Se i valori $À n$ verifica: $λ n = n$ e se indichiamo con $z = e - s$ , la serie assume la forma: ${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}}$ .Troviamo la definizione di un'intera serie, ad eccezione di una costante additiva.
- Nel caso in cui $λ n = 2π n$ , il cambiamento della variabile $s = -i t$ mostra che una serie di Fourier è anche un caso speciale di una serie di Dirichlet.

Ascissa di convergenza

Convergenza semplice e convergenza assoluta

Quando la serie non ha coefficienti positivi (o dello stesso segno), è necessario distinguere la convergenza assoluta dalla convergenza semplice.

Esempio : la serie di Dirichlet della funzione eta di Dirichlet è . Converge semplicemente (è una serie alternata ) per numeri reali $> 0$ (e diverge se $s$ $<0$ ) e converge assolutamente per numeri reali $> 1$ (e solo per quelli). Inoltre, la funzione eta si estende olomorficamente all'intero piano complesso, sebbene la serie non converga se $s$ $\leq 0$ . ${\ displaystyle \ eta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {n-1} \ over n ^ {s}}}$

Diciamo che $0$ è l' ascissa della convergenza semplice , che $1$ è l' ascissa della convergenza assoluta della serie di Dirichlet e che $-\infty$ è l' ascissa dell'olomorfismo .

Ascisse di convergenza semplice

Sia $C f$ l'insieme dei numeri reali $a$ tali che la serie $f ( a + b i)$ converge per almeno un reale $b$ . Questo set consente la definizione:

L' ascissa di convergenza semplice , chiamata anche ascissa di convergenza, è il limite inferiore $σ c$ dell'insieme $C f$ . In altre parole: se $C f$ non è ridotto allora $σ c = -\infty$ , se $C f$ è vuoto allora $σ c = + \infty$ , e in tutti gli altri casi, $σ c$ è il massimo reale $σ$ tale che in tutto il punto della metà -piano $Re ( s ) <σ$ , la serie diverge.

Questa ascissa di convergenza è l'oggetto di una proposta:

Sul semipiano $Re ( s )> σ c$ , la serie $f$ è convergente.
Per ogni punto $s 0$ di questo semipiano, la convergenza è uniforme in qualsiasi settore della forma $| arg ( s - s 0 ) | \leq θ$ , dove $0 \leq θ <π / 2$ .

Deduciamo che la convergenza è uniforme su qualsiasi sottoinsieme compatto del semipiano, da cui il corollario:

La serie di Dirichlet è olomorfa sul suo semipiano di convergenza e . ${\ displaystyle f '(s) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} - \ lambda _ {n} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} }$

Se la sequenza $( A ( n ))$ è limitata , l'ascissa di convergenza è negativa o zero. Più generalmente :

Sia $L$ il seguente limite superiore : $L = \ limsup _ {{n \ rightarrow \ infty}} {\ frac {\ ln | A (n) |} {\ lambda _ {n}}}.$ Se $L > 0$ allora $σ c = L$ ; se $L \leq 0$ allora $σ c \leq 0$ .

Dimostrando questa proprietà, otteniamo di passaggio la seguente espressione integrale:

Per qualsiasi numero complesso $s$ di parte reale strettamente maggiore di $max (σ c , 0)$ , ${\ displaystyle (*) \ quad f (s) = s \ int _ {0} ^ {\ infty} A _ {\ lambda} (x) \ mathrm {e} ^ {- sx} \ mathrm {d} x }$ .

Nel caso delle serie classiche di Dirichlet (cioè per $λ n = ln ( n )$ ), questa formula diventa, per cambio di variabile:

{\ displaystyle f (s) = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {A (u)} {u ^ {1 + s}}} \ mathrm {d} u}

. Dimostrazioni

Lo strumento principale di queste dimostrazioni è una piccola variante della formula di sommatoria di Abele (ottenuta per trasformazione di Abele ):

{\ displaystyle (1) \ quad \ sum _ {n = 1} ^ {q} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} = A (q) \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {q}} - \ int _ {0} ^ {\ lambda _ {q}} A _ {\ lambda} (x) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm { d} x}} \ left (\ mathrm {e} ^ {- sx} \ right) \ mathrm {d} x = A (q) \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {q}} + s \ int _ {0} ^ {\ lambda _ {q}} A _ {\ lambda} (x) \ mathrm {e} ^ {- sx} \ mathrm {d} x}

e similmente, se $p \leq q$ :

{\ displaystyle (2) \ quad \ sum _ {n = p} ^ {q} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} = (A (q) -A (p -1)) \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {q}} + s \ int _ {\ lambda _ {p}} ^ {\ lambda _ {q}} \ left (A _ {\ lambda } (x) -A (p-1) \ right) \ mathrm {e} ^ {- sx} \ mathrm {d} x}

(che equivale a sostituire $un 1 , un 2 ,\dots, un p - 1$ con $0$ nella prima formula).

Convergenza uniforme:
Per alleggerire le notazioni possiamo innanzitutto ridurre al caso $s 0 = 0$ cambiando la variabile e modificando i coefficienti, scrivendo la serie nella forma ${\ Displaystyle \ sum \ left (a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s_ {0} \ lambda _ {n}} \ right) \ mathrm {e} ^ {- (s-s_ {0}) \ lambda _ {n}}}$ .Sia $ε$ un reale strettamente positivo e $D$ il settore $| arg ( s ) | \leq θ$ , l'obiettivo è dimostrare che: ${\ displaystyle \ esiste N \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall s \ in D \ quad \ forall p, q \ geq N {\ text {con}} p \ leq q \ quad \ left | \ sum _ {n = p} ^ {q} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} \ right | \ leq \ varepsilon}$ .Per ipotesi, la serie di Dirichlet converge per $s 0 = 0$ , vale a dire che la successione $( A ( n ))$ è convergente. Se si sceglie $N$ sufficientemente grande, si ha quindi: ${\ Displaystyle q \ geq p \ geq N \ Rightarrow | A (q) -A (p-1) | \ leq \ varepsilon \ cos (\ theta)}$ .Per ogni punto $s$ di $D$ e per ogni $q \geq p \geq N$ , deduciamo quindi dalla formula (2): ${\ displaystyle {\ begin {align} \ left | \ sum _ {n = p} ^ {q} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} \ right | & \ leq \ varepsilon \ cos (\ theta) {\ big (} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {Re} (s) \ lambda _ {q}} + {\ frac {| s |} {\ mathrm {Re } (s)}} \ left (\ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {Re} (s) \ lambda _ {p}} - \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {Re} (s) \ lambda _ {q}} \ right) {\ big)} \\ & = \ varepsilon \ cos (\ theta) \ left ({\ frac {| s |} {{\ text {Re}} (s)}} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {p} {\ text {Re}} (s)} - \ left ({\ frac {| s |} {{\ text {Re}} (s)}} -1 \ right) \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {q} {\ text {Re}} (s)} \ right) \\ & \ leq \ varepsilon \ cos (\ theta) {\ frac { | s |} {{\ text {Re}} (s)}} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {p} {\ text {Re}} (s)} \\ & \ leq \ varepsilon. \ end {allineato}}}$ L'applicazione del criterio di Cauchy pone fine alla dimostrazione.
$max (0, L ) \geq σ c$ e se $Re ( s )> max (0, L )$ allora $f ( s )$ è dato dalla formula (*):
Mostriamo per questo che se $Re ( s )> max ( 0, L )$ , allora la serie di Dirichlet in $s$ converge (che dimostrerà che $max (0, L ) \geq σ c$ ) e il suo valore è dato da questa formula. Sia $σ$ un reale tale che $Re ( s )> σ> max (0, L )$ . Poiché $σ> L$ , abbiamo, per ogni $n$ sufficientemente grande: ${\ displaystyle | A (n) | \ leq \ mathrm {e} ^ {\ sigma \ lambda _ {n}}}$ e poiché $σ> 0$ allora abbiamo: ${\ displaystyle \ forall x \ in [\ lambda _ {n}, \ lambda _ {n + 1} [\ quad | A _ {\ lambda} (x) | = | A (n) | \ leq \ mathrm { e} ^ {\ sigma \ lambda _ {n}} \ leq \ mathrm {e} ^ {\ sigma x}}$ .Quindi, quando facciamo tendere $q$ a $+ \infty$ in (1), il primo dei due termini della somma tende a $0$ e il secondo è un integrale convergente (assolutamente), che conclude.
Se $L > 0$ allora $σ c \geq L$ :
Mostriamo perché $max (0, σ c ) \geq L$ e per questo scopo, impostare una vera e propria $σ$ strettamente maggiore di $0$ e $σ c$ e poi mostrano, $σ \geq L$ .
Indichiamo con $B n$ le somme parziali della serie di Dirichlet in $σ$ e $M$ un limite superiore dei moduli di $B n$ . La trasformazione di Abele mostra che: ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} B_ {k} (\ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {k} \ sigma} - \ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {k + 1} \ sigma}) + B_ {n} \ mathrm {e } ^ {\ lambda _ {n} \ sigma}}$ .Possiamo dedurre: ${\ Displaystyle \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ right | \ leq M \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} \ left (\ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {k + 1} \ sigma} - \ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {k} \ sigma} \ right) + M \ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {n} \ sigma } \ leq 2M \ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {n} \ sigma}}$ ,che mostra che: ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ sigma \ geq {\ frac {1} {\ lambda _ {n}}} \ left (\ ln \ left (\ left | \ somma _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ right | \ right) - \ ln (2M) \ right)}$ .Perciò abbiamo $σ \geq L$ .
Sintesi dei due punti precedenti:
Se $L > 0$ allora $σ c \geq L$ e $σ c \leq max (0, L ) = L$ , quindi $σ c = L$ .
Se $L \leq 0$ allora $σ c \leq max (0, L ) = 0$ .
Infine, (*) è vero per tutti gli $s$ di parte reale strettamente maggiori di $max (0, L )$ , che in entrambi i casi è effettivamente uguale a $max (σ c , 0)$ .

Un'altra proposizione si occupa del caso in cui l'ascissa di convergenza semplice è strettamente negativa:

Se l'ascissa di convergenza semplice di una serie di Dirichlet è strettamente negativa, è uguale al seguente limite: ${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ ln \ left (\ left | \ sum _ {k = n + 1} ^ {\ infty} a_ {k} \ right | \ right) } {\ lambda _ {n + 1}}}}$ .

Ascissa olomorfa

Questa ascissa $σ h$ è definita come il limite inferiore dell'insieme dei numeri reali $x$ tali che la serie ammette un prolungamento olomorfo sul semipiano $Re ( s )> x$ .

Da quanto sopra, abbiamo sempre

{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {h}} \ leq \ sigma _ {\ mathrm {c}}}

ma una delle principali differenze con la teoria delle serie intere è che questa disuguaglianza può essere rigorosa, come mostrato dall'esempio delle funzioni L di Dirichlet associate a caratteri non principali .

Tuttavia, abbiamo l'uguaglianza se i coefficienti della serie sono positivi:

Teorema di Landau - Sia una serie di Dirichlet

{\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}}}

i cui tutti i coefficienti

a n

sono reali positivi o nulli e la cui ascissa di convergenza

σ c

è un reale. Allora,

σ c

è un punto singolare di

f

e abbiamo

σ h = σ c

. Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che la serie ammetta una continuazione analitica su un disco con centro $σ c$ e raggio $3ε> 0$ . Allora sarebbe la somma della sua serie di Taylor sul disco con lo stesso raggio e centro $σ c + ε$ . Tuttavia in questo centro, i suoi coefficienti di Taylor sono calcolati derivando termine per termine la serie di Dirichlet. Valutando nel punto $σ c - ε$ di questo disco, si otterrebbe così:

{\ displaystyle {\ begin {align} + \ infty &> \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} (- \ lambda _ {n}) ^ {k} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n} (\ sigma _ {c} + \ varepsilon)} \ right) {\ frac {(-2 \ varepsilon) ^ {k}} {k!}} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ lambda _ { n} ^ {k} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n} (\ sigma _ {c} + \ varepsilon)} \ right) {\ frac {(2 \ varepsilon) ^ {k}} { k!}} \\ & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n} (\ sigma _ {c} + \ varepsilon) } \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2 \ varepsilon \ lambda _ {n}) ^ {k}} {k!}} \\ & = \ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n} (\ sigma _ {c} + \ varepsilon)} \ mathrm {e} ^ {2 \ varepsilon \ lambda _ { n}} \\ & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n} (\ sigma _ {c} - \ varepsilon)} , \ end {allineato}}}

l'inversione nella doppia serie essendo giustificata perché in termini positivi. La serie di Dirichlet sarebbe quindi convergente in $σ c - ε$ , il che è contrario alla definizione di $σ c$ .

Abbiamo anche $σ h = σ c$ sotto altre ipotesi complementari, ponendo

\ Delta = \ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ frac n {\ lambda _ {n}}} \ quad {\ text {et}} \ quad G = \ liminf _ {{n \ to \ infty}} (\ lambda _ {{n + 1}} - \ lambda _ {n})

Se $Δ = 0$ , se $G > 0$ e se $σ c$ è finito, qualsiasi punto sulla retta $Re ( s ) = σ c$ è singolare per la funzione.
Se $Δ$ è finito, se $G > 0$ e se $σ c$ è finito, allora qualsiasi segmento di lunghezza $2 π / G$ della retta $Re ( s ) = σ c$ contiene almeno un punto singolare per la funzione (che generalizza il fatto che per un'intera serie, il bordo del disco di convergenza contiene almeno un punto singolare).

Ascisse di convergenza assoluta

Definiamo allo stesso modo l' ascissa di convergenza assoluta $σ a$ come il limite inferiore dell'insieme dei numeri reali $x$ per cui la serie è assolutamente convergente sul semipiano $Re ( s )> x$ . Le due ascisse $σ a$ e $σ c$ (ovviamente uguali per una serie a coefficienti positivi) sono generalmente legate dalle disuguaglianze:

\ sigma _ {{{\ mathrm c}}} \ leq \ sigma _ {{{\ mathrm a}}} \ leq \ sigma _ {{{\ mathrm c}}} + D \ quad {\ mathrm {o { \ grave u}}} \ quad D = \ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ frac {\ ln n} {\ lambda _ {n}}}.

Dimostriamo inoltre che:

{\ displaystyle {\ text {si}} \ quad D = 0 \ quad {\ text {quindi}} \ quad \ sigma _ {\ mathrm {c}} = \ sigma _ {\ mathrm {a}} = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ ln | a_ {n} |} {\ lambda _ {n}}}}

che generalizza il teorema di Cauchy-Hadamard sul raggio di convergenza di un'intera serie. Si noti che $D$ è zero non appena $Δ$ è finito, ma che questo non è sufficiente per garantire l'esistenza di punti singolari sulla retta critica.

Nel caso di un “classico” serie di Dirichlet : , abbiamo $D$ $= 1$ , pertanto: $\ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {a_ {n} \ over n ^ {s}}$

{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {c}} \ leq \ sigma _ {\ mathrm {a}} \ leq \ sigma _ {\ mathrm {c}} +1}

L'esempio della serie di Dirichlet della funzione eta di Dirichlet ( ) mostra che abbiamo una disuguaglianza ottimale: la serie converge semplicemente (è una serie alternata ) solo per numeri reali $> 0$ e assolutamente solo per numeri reali . Numeri reali $> 1$ . $\ eta (s) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {(- 1) ^ {{n-1}} \ over n ^ {s}}$

Unicità di sviluppo

Torniamo al caso in cui le due serie da confrontare hanno lo stesso tipo (cioè stesso $λ n$ ) prendendo l'unione (riordinata in modo crescente) dei rispettivi tipi.

In questo caso, se hanno la stessa funzione limite su un semipiano $Re ( s )> σ$ dove convergono entrambi, allora, secondo la formula di Perron , hanno gli stessi coefficienti.

Per questo basta che $σ$ sia della forma $Re ( s 0 ) + ε$ per un certo $s 0$ dove convergono le due serie e un certo $ε> 0$ e che le due funzioni su questo semipiano coincidano ad un'infinità di punti di appartenenza a un settore $| arg ( s - s 0 ) | \leq θ$ con $θ <π / 2$ . Infatti, se la differenza di queste due funzioni non è zero, allora i suoi zeri in tale dominio sono finiti poiché isolati e limitati (perché la differenza delle due serie, divisa per il suo primo termine diverso da zero, è convergente in $s 0$ quindi uniformemente convergente in questo settore , così che la funzione associata tende verso $1$ quando $s$ tende verso l'infinito).

Esempi di scomposizioni della serie di Dirichlet

${\ frac 1 {\ zeta (s)}} = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}}$ dove $μ$ è la funzione di Möbius .
${\ frac {\ zeta (s-1)} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {\ varphi (n)} {n ^ {s}}}$ dove $φ$ è l' indicatrice di Eulero
e più in generale, dove $J$ $k$ è la funzione totiente di Jordan . ${\ frac {\ zeta (sk)} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {J_ {k} (n)} {n ^ {s}}}$
$\ zeta (s) \ zeta (sa) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {\ sigma _ {{a}} (n)} {n ^ {s} }}$ dove $σ a ( n )$ è la funzione divisore .
${\ frac {\ zeta (s) \ zeta (sa) \ zeta (sb) \ zeta (sab)} {\ zeta (2s-ab)}} = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {\ sigma _ {a} (n) \ sigma _ {b} (n)} {n ^ {s}}}$ .

Proprietà analitiche

In molti casi, la funzione analitica associata a una serie di Dirichlet ha un'estensione analitica su un campo più ampio. È il caso della funzione zeta di Riemann , meromorfa su ℂ con un solo polo in $s = 1$ . Una delle congetture più importanti e irrisolte in matematica chiamata ipotesi di Riemann riguarda gli zeri di questa funzione.

Un primo passo nello studio dell'estensione analitica di una serie generale di Dirichlet

{\ displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}}}

è definire una nuova serie di Dirichlet

{\ displaystyle F (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ mathrm {e} ^ {- s \ mu _ {n}}, \ quad \ mathrm {o { \ grave {u}}} \ quad \ mu _ {n} = \ mathrm {e} ^ {\ lambda _ {n}}}

che converge almeno sul semipiano $Re ( s )> 0$ se $σ c <\infty$ (e anche su tutto il piano se $σ c <0$ ).

Usando ciò la funzione $Γ$ soddisfa, per ogni complesso $s$ di parte reale $> 0$ (per cambio di variabile $x = t μ n$ )

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} \ Gamma (s) = \ mathrm {e} ^ {- s \ lambda _ {n}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- x} x ^ {s-1} ~ \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- t \ mu _ {n}} t ^ {s-1} ~ \ mathrm {d} t}

e giustificando l' inversione serie-integrale con adeguati aumenti, otteniamo quindi, per ogni complesso $s$ tale che $Re ( s )> max (σ c , 0)$ :

f (s) = {\ frac 1 {\ Gamma (s)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} F (t) t ^ {{s-1}} ~ {\ mathrm d} t

Deduciamo per inciso che per ogni $σ> max (σ c , 0)$ , $F ( s )$ è il valore principale di

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ int _ {\ sigma - \ mathrm {i} \ infty} ^ {\ sigma + \ mathrm {i} \ infty} \ Gamma (\ zeta) f (\ zeta) \ zeta ^ {- s} ~ \ mathrm {d} \ zeta}

Ma l'espressione di $f$ in funzione di $F$ è particolarmente utile per dedurre un prolungamento meromorfo, sotto certe ipotesi:

Teorema ( Hardy - Fekete ) - Se $σ c <\infty$ e se $F si$ estende in una funzione meromorfa in $0$ , l'ordine del polo è $q \geq 0$ , allora $f si$ estende in una funzione meromorfa su tutto il piano complesso, con poli dei poli semplici in $1, 2,\dots, q$ .

Dimostrazione

Possiamo facilmente dimostrare che $F$ sta rapidamente diminuendo , quindi

\ Gamma (s) f (s) = \ int _ {0} ^ {x} F (t) t ^ {{s-1}} ~ {\ mathrm d} t + \ int _ {x} ^ {{ + \ infty}} F (t) t ^ {{s-1}} ~ {\ mathrm d} t

dove, per ogni $x > 0$ , il secondo integrale è una funzione intera . Inoltre, per ipotesi, $F$ ha intorno a $0$ uno sviluppo della forma:

F (t) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} c_ {k} t ^ {{kq}}

quindi per $x$ abbastanza piccolo e per qualsiasi complesso $s$ tale che $Re ( s )> q$ :

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} F (t) t ^ {s-1} ~ \ mathrm {d} t = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {k} x ^ {kq + s}} {kq + s}}}

Tuttavia, questa serie converge per qualsiasi complesso $s$ diverso dagli interi $q , q - 1, q - 2, ...$ (perché il raggio di convergenza dell'intera serie di coefficienti $c k$ non viene modificato quando dividiamo questi coefficienti per il $k - q + s$ ) e definisce una funzione meromorfa, con poli (semplici) $q - k$ per ogni numero naturale $k$ . Poiché la funzione $1 / Γ$ è intera, si ottiene così una continuazione meromorfa, che indicheremo ancora con $f$ , sull'intero piano complesso:

{\ displaystyle f (s) = {\ frac {1} {\ Gamma (s)}} \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {k} x ^ {k -q + s}} {kq + s}} + \ int _ {x} ^ {+ \ infty} F (t) t ^ {s-1} ~ \ mathrm {d} t \ right)}

Infine, gli zeri di $1 / Γ$ ai punti $0, -1, -2$ , ecc. compensare i corrispondenti poli semplici, quindi $f$ ha solo possibili poli (semplici) $q , q - 1,\dots, 1$ .

Possiamo anche calcolare, per interi $q - k$ , il residuo o il valore di $f$ , a seconda che $0 \leq k < q$ oppure $k \geq q$ :

\ forall n \ in \ {q, q-1, \ ldots, 1 \} \ quad {\ text {Res}} (f, n) = {\ frac {c _ {{qn}}} {\ Gamma ( n)}}

{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad f (-n) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {1} {\ Gamma (-n + \ varepsilon)}} { \ frac {c_ {q + n} x ^ {\ varepsilon}} {\ varepsilon}} = {\ frac {c_ {q + n}} {{\ text {Res}} (\ Gamma, -n)}} = (-1) ^ {n} ~ n! ~ C_ {q + n}}

Storico

Dirichlet definita queste serie nel 1837 e loro utilizzi per illustrare il teorema progressione aritmetica, secondo la quale v'è un'infinità di numeri primi in ogni progressione aritmetica $un + b come$ appena $un$ e $b$ sono primi tra loro. Furono studiati solo dal lavoro di Eugène Cahen , che ne fece il suo argomento di tesi nel 1894. Ma la sua tesi fu oggetto di molte critiche e quindi provocò nuovi lavori. La definizione di funzioni quasi periodiche di Harald Bohr ha permesso di mostrare che le funzioni definite dalla serie di Dirichlet a coefficienti positivi sono quasi periodiche nel semipiano di convergenza assoluta.

Parte dello sviluppo della teoria, visto da una prospettiva storica, si trova sotto questo collegamento.

Note e riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Dirichlet series " ( vedi la lista degli autori ) .

Appunti

Valiron 1926 .
Secondo questa definizione, l'intera serie è zero a $0$ .
Petkov e Yger 2001 , p. 8
Vedi per esempio Valiron 1926 , p. 7, Petkov e Yger 2001 , p. 11, Mandelbrojt 1969 , pag. 12 o (en) DV Widder , An Introduction to Transform Theory , Academic Press ,1971( leggi in linea ) , p. 31.
L' affermazione originale di Cahen 1894 “se σ c ≥ 0 allora σ c = N ” e la sua dimostrazione, sebbene presa come tale in Apostol 1990 , p. 162-164 ( anteprima su Google Libri ), sono false se $σ c = 0$ . Tuttavia, Hardy e Riesz 1915 , p. 6-7 dimostrano questa affermazione Cahen sotto l'ipotesi aggiuntiva che la serie diverge 0 o converge a un valore diverso da zero, e (in) Hugh L. Montgomery e RC Vaughan , Teoria dei numeri moltiplicativi I: Teoria classica , UPC ,2007( leggi in linea ) , p. 13farlo senza questa ipotesi, ma solo per una serie di Dirichlet classica ( cioè per $λ n = ln ( n )$ ).
(in) T. Kojima , " Sull'ascissa di convergenza generale della serie di Dirichlet " , TMJ , vol. 6,1914, p. 134-139ha fornito una variante $N '$ ( vista su Google Libri ) che è sempre uguale a $σ c$ , anche quando $N'$ non è strettamente positiva: cfr. Maurice Blambert , " Sull'ascissa della semplice convergenza della serie generale di Dirichlet ", Ann. Inst. Fourier , vol. 14, n o 21964, p. 509-518 ( leggi in linea ).
Per una dimostrazione diretta in questo caso ed esempi, vedere l'articolo " La formula di sommatoria di Abele ".
Petkov e Yger 2001 , p. 12
Petkov e Yger 2001 , p. 9 e Colmez 2009 , p. 274
Cahen 1894 , p. 92
Hardy e Riesz 1915 , p. 6
Petkov e Yger 2001 , p. 47
stanno emergendo la Mellin trasformare di $F$ .
Il caso particolare in cui $f$ è la funzione zeta di Riemann - $F ( t )$ allora chiaramente uguale a $1 / (e t - 1)$ - è trattato nella § “Espressione integrale” dell'articolo “Funzione zeta di Riemann” .
Petkov e Yger 2001 , p. 49
Petkov e Yger 2001 , p. 49 per il caso generale. Per la serie classica di Dirichlet, vedere anche Colmez 2009 , p. 280 e seguenti.
Colmez 2009 , p. 247: Funzioni olomorfe definite da un integrale
" [...] il primo tentativo di costruire una teoria sistematica della funzione $f '' ( s ) è$ stato fatto da Cahen in un memoriale che, sebbene gran parte dell'analisi in esso contenuta sia suscettibile di serie critiche, è servito - e forse proprio per questo motivo - come punto di partenza della maggior parte delle ricerche successive sull'argomento. » , Hardy e Riesz 1915 , p. 1-2

Riferimenti

(en) Tom M. Apostol , Funzioni modulari e serie di Dirichlet in Teoria dei numeri , Springer , coll. " GTM " ( n o 41)1990( leggi online )
Eugène Cahen , " Sulla funzione $ζ ( s )$ Riemann e funzioni simili " Asens , 3 serie E , vol. 11,1894, p. 75-164 ( leggi in linea )
Pierre Colmez , Elementi di analisi e algebra (e teoria dei numeri) , Palaiseau, Éditions de l'École polytechnique,2009, 469 p. ( ISBN 978-2-7302-1563-3 , letto online ) , cap. 7
(en) GH Hardy e Marcel Riesz , The General Theory of Dirichlet's Series , coll. "Tratti di Cambridge in matematica",1915( leggi online )
S. Mandelbrojt , Dirichlet Series. Principi e metodi , Parigi, Gauthier-Villars ,1969
Vesselin Petkov e Alain Yger , Analytical Singularities of Dirichlet Series , Università di Bordeaux I ,2001( leggi online )
G. Valiron , " Teoria generale della serie di Dirichlet ", Memoriale delle scienze matematiche , vol. 17,1926, p. 1-56 ( leggi in linea )

Bibliografia aggiuntiva

Vladimir Bernstein (de) , Lezioni sui recenti progressi nella teoria della serie di Dirichlet , 1933
Colin, La serie di Dirichlet , Magistère de Cachan, 1995-1996
(en) Edward Charles Titchmarsh , The Theory of Functions , Oxford University Press , Londra, 1939