Teoria dei numeri

Tradizionalmente, la teoria dei numeri è una branca della matematica che si occupa delle proprietà degli interi (sia interi naturali che relativi ). Più in generale, il campo di studio di questa teoria riguarda un'ampia classe di problemi che nascono naturalmente dallo studio degli interi. La teoria dei numeri occupa un posto speciale nella matematica, sia per le sue connessioni con molti altri campi, sia per il fascino dei suoi teoremi e dei problemi aperti, le cui affermazioni sono spesso facili da capire, anche per chi non lo è. . Questo è ciò che esprime la seguente citazione di Jürgen Neukirch :

“La teoria dei numeri occupa una posizione idealizzata tra le discipline della matematica analoga a quella della matematica stessa tra le altre scienze. "

Il termine " aritmetica " è anche usato per riferirsi alla teoria dei numeri. È un termine abbastanza antico, che non è più così popolare come una volta; per evitare confusione, fino all'inizio del XX secolo, la teoria dei numeri veniva talvolta chiamata anche "aritmetica superiore". Tuttavia, l'aggettivo aritmetica rimane abbastanza diffuso, in particolare per designare campi matematici ( geometria aritmetica algebrica , aritmetica delle curve e delle superfici ellittiche , ecc.), dove la restrizione di domande e soluzioni a numeri interi, o ad alcune loro estensioni, gioca un ruolo ruolo decisivo. Questo significato del termine aritmetica non va confuso con quello usato in logica per lo studio dei sistemi formali assiomatizzanti di interi, come nell'aritmetica di Peano .

La teoria dei numeri è suddivisa in diversi campi di studio a seconda dei metodi utilizzati e delle domande affrontate.

I vari rami della teoria dei numeri

Teoria elementare dei numeri

Il termine elementare designa generalmente un metodo che non utilizza analisi complesse . Ad esempio, il teorema dei numeri primi è stato dimostrato utilizzando l'analisi complessa nel 1896, ma la prova elementare non è stata trovata fino al 1949 da Erdős e Selberg . Il termine è alquanto ambiguo: ad esempio, le dimostrazioni basate su complessi teoremi tauberiani (ad esempio il teorema di Wiener-Ikehara ) sono spesso considerate molto illuminanti ma non elementari. La prova elementare può essere più lunga e più difficile per la maggior parte dei lettori rispetto alla prova non elementare.

La teoria dei numeri ha la reputazione di essere un campo in cui molti risultati possono essere compresi dal profano. Allo stesso tempo, l'evidenza di questi risultati non è particolarmente accessibile, in parte perché la gamma di strumenti che usano è insolitamente ampia in matematica.

Molte domande nella teoria dei numeri elementare sembrano semplici ma richiedono una considerazione molto profonda e nuovi approcci, come i seguenti esempi:

La congettura di Goldbach relativa all'espressione dei numeri pari come somma di due numeri primi ,
La congettura primo gemello sulla infinità di coppie di consecutivi numeri primi , e
La congettura di Siracusa riguardante una singola iterazione .

La teoria delle equazioni diofantee si è addirittura dimostrata indecidibile , vale a dire che si può costruire un'equazione esplicita la cui esistenza di soluzioni non può essere dimostrata con i soliti assiomi della matematica (c' è il teorema di Matiyasevich ).

Teoria analitica dei numeri

La teoria analitica dei numeri può essere definita:

in relazione ai suoi strumenti, vale a dire lo studio degli interi mediante strumenti di analisi reali e complessi;
in relazione ai suoi interessi, cioè studiando stime di dimensioni e densità, in contrapposizione alle identità.

Alcuni argomenti generalmente considerati parte della teoria analitica dei numeri, ad esempio la teoria del crivello , sono invece definiti dalla seconda definizione.

Esempi di problemi nella teoria analitica dei numeri sono il teorema dei numeri primi, la congettura di Goldbach (o la congettura dei primi gemelli o la congettura di Hardy-Littlewood ), il problema di Waring o l' ipotesi di Riemann . Alcuni degli strumenti più importanti nella teoria analitica dei numeri sono il metodo del cerchio , i metodi setaccio, e L funzioni . Anche la teoria delle forme modulari (e più in generale delle forme automorfe ) occupa un posto sempre più centrale nella teoria analitica dei numeri.

Teoria algebrica dei numeri

Un numero algebrico è un numero complesso che è soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti nel campo . Ad esempio, qualsiasi soluzione di è un numero algebrico. La teoria algebrica dei numeri studia i campi dei numeri algebrici. Pertanto, le teorie dei numeri analitiche e algebriche possono sovrapporsi: la prima è definita dai suoi metodi, la seconda dai suoi oggetti di studio. $\ mathbb {Q}$ $X$ ${\ stile di visualizzazione x ^ {5} + (11/2) x ^ {3} -7x ^ {2} + 9 = 0}$

Le fondamenta di questo ramo come sappiamo, sono stati stabiliti alla fine del XIX ° secolo, quando i gli ideali e la valutazione sono stati sviluppati. L'impulso per lo sviluppo degli ideali (di Ernst Kummer ) sembra provenire dallo studio delle leggi della reciprocità superiore, cioè delle generalizzazioni della legge della reciprocità quadratica .

I corpi sono spesso studiati come estensioni di altri corpi più piccoli: un corpo L si dice estensione di un corpo K se L contiene K . La classificazione delle estensioni Abelian è stato il programma di teoria dei campi di classe , avviato alla fine del XIX ° secolo (in parte da Kronecker e Eisenstein ) e realizzato in gran parte 1900-1950.

La teoria di Iwasawa è un esempio di un'area di ricerca attiva nella teoria algebrica dei numeri. Il programma Langlands , un importante programma di ricerca corrente su vasta scala in matematica, è talvolta descritto come un tentativo di generalizzare il corpo delle lezioni teoriche ad estensioni non abeliane.

Geometria diofantea

Il problema centrale con la geometria diofantea è determinare quando un'equazione diofantea ha soluzioni e, in caso affermativo, quante. L'approccio adottato consiste nel considerare le soluzioni di un'equazione come un oggetto geometrico.

Ad esempio, un'equazione a due variabili definisce una curva nel piano. Più in generale, un'equazione, o un sistema di equazioni, con due o più variabili definisce una curva, una superficie , ecc., in uno spazio n- dimensionale. Nella geometria diofantea ci chiediamo se ci sono punti razionali (punti le cui coordinate sono tutte razionali) o punti interi (punti le cui coordinate sono tutte intere) sulla curva o sulla superficie. Se ci sono tali punti, il passo successivo è chiedere quanti sono e come sono distribuiti. Una domanda fondamentale in questa direzione è: esiste un numero finito o infinito di punti razionali su una data curva (o superficie)? E i punti interi?

Un esempio potrebbe essere l' equazione pitagorica ; vorremmo studiarne le soluzioni razionali, cioè le sue soluzioni tali che x e y siano entrambi razionali . Ciò equivale a chiedere tutte le soluzioni intere di ; qualsiasi soluzione a questa equazione ci dà una soluzione , . Ciò equivale a chiedere tutti i punti con coordinate razionali sulla curva descritta da (questa curva sembra essere il cerchio unitario ). ${\ stile di visualizzazione x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ $(x, y)$ $a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}$ ${\ stile di visualizzazione x = a / c}$ ${\ stile di visualizzazione y = b / c}$ $x ^ {2} + y ^ {2} = 1$

La riformulazione delle domande sulle equazioni in termini di punti sulle curve si sta rivelando vincente. La finitezza o meno del numero di punti razionali o interi su una curva algebrica risulta dipendere in modo cruciale dal genere della curva. Quest'area è strettamente legata alle approssimazioni diofantee : dato un numero, quanto può essere vicino alla razionalità? (Consideriamo che un razionale , con un e b privilegiata tra di loro, è una buona approssimazione di se , dove è grande.) Questa domanda è di particolare interesse, se è un numero algebrico. Se non possono essere ben approssimate, alcune equazioni non hanno soluzioni complete o razionali. Inoltre, diversi concetti si rivelano cruciali sia nella geometria diofantea che nello studio delle approssimazioni diofantee. Questa domanda è di particolare interesse anche nella teoria dei numeri trascendenti : se un numero può essere approssimato meglio di qualsiasi numero algebrico, allora è un numero trascendente . È con questo argomento che è stato dimostrato che e sono trascendenti. $a / b$ $X$ ${\ displaystyle | xa / b | <{\ frac {1} {b ^ {c}}}}$ $vs$ $X$ $X$ $\ più$ ${\ displaystyle \ mathrm {e}}$

La geometria diofantea non deve essere confusa con la geometria dei numeri , che è una raccolta di metodi grafici per rispondere a determinate domande nella teoria algebrica dei numeri. Il termine geometria aritmetica è indubbiamente più utilizzato quando si vogliono enfatizzare i legami con la moderna geometria algebrica (come il teorema di Faltings ) piuttosto che sulle tecniche delle approssimazioni diofantee.

Approcci e rami recenti

Teoria probabilistica dei numeri

Prendendo un numero casuale compreso tra uno e un milione, qual è la probabilità che sia primo? Questo è solo un altro modo per chiedere quanti numeri primi ci sono tra uno e un milione. E quanti divisori avrà, in media?

Gran parte della teoria probabilistica dei numeri può essere vista come una branca dello studio delle variabili quasi indipendenti l' una dall'altra. A volte un approccio probabilistico non rigoroso porta a una serie di algoritmi euristici e problemi aperti, in particolare la congettura di Cramér .

Teoria dei numeri combinatoria

Sia A un insieme di N interi. Consideriamo l'insieme A + A = { m + n | m , n ∈ A } consiste di tutte le somme di due elementi di A . A + A è molto maggiore di A ? Appena più alto? A sembra una sequenza aritmetica ? Se partiamo da un insieme infinito A abbastanza grande, contiene molti elementi nella progressione aritmetica ? ${\ displaystyle a + b, a + 2b, a + 3b, \ ldots, a + nb}$

Queste domande sono caratteristiche della teoria dei numeri combinatoria. Il suo interesse per i temi della crescita e della distribuzione è in parte dovuto allo sviluppo dei suoi legami con la teoria ergodica , la teoria dei gruppi finiti , la teoria dei modelli e altre aree. Gli insiemi studiati non devono essere necessariamente insiemi di interi, ma piuttosto sottoinsiemi di gruppi non commutativi , per i quali si usa tradizionalmente il simbolo di moltiplicazione e non di addizione; possono anche essere sottoinsiemi di anelli .

Teoria dei numeri algoritmica

Ci sono due domande principali: "possiamo calcolarlo?" E "possiamo calcolarlo velocemente?" ". Chiunque può verificare se un numero è primo o, se non lo è, ottenere la sua scomposizione in fattori primi ; farlo diventa rapidamente più complicato. Oggi conosciamo algoritmi veloci per testare la primalità , ma, nonostante un sacco di lavoro (sia teorico che pratico), nessun algoritmo è veramente veloce per questo compito.

La difficoltà di un calcolo può essere utile: i moderni protocolli di crittografia dei messaggi (ad esempio RSA ) dipendono da funzioni note a tutti, ma le cui inverse sono note solo a un piccolo numero, e trovarle con le proprie risorse richiederebbe troppo tempo. Sebbene siano noti molti problemi computazionali al di fuori della teoria dei numeri, la maggior parte dei protocolli di crittografia attuali si basa sulla difficoltà di alcuni problemi teorici.

Si scopre che alcune cose potrebbero non essere affatto calcolabili ; questo può essere dimostrato in alcuni casi. Ad esempio, nel 1970 si dimostrò, risolvendo così il decimo problema di Hilbert , che non esiste una macchina di Turing in grado di risolvere tutte le equazioni diofantee. Ciò significa che, dato un insieme di assiomi computabili ed enumerabili, ci sono equazioni diofantee per le quali non c'è prova, dagli assiomi, che l'insieme di equazioni abbia o meno soluzioni intere. .

Storia

Origini

L'alba dell'aritmetica

Il ritrovamento storico di natura aritmetica è un frammento di una tavola: la tavoletta d'argilla rotta Plimpton 322 ( Larsa , Mesopotamia , 1800 aC circa) contiene un elenco di " triple pitagoriche ", cioè interi come . Questi sono troppo grandi per essere stati ottenuti da una ricerca esaustiva . Il layout del tablet suggerisce che sia stato costruito utilizzando ciò che equivale, nel linguaggio moderno, all'identità ${\ stile di visualizzazione a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$

{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {2}} \ left (x - {\ frac {1} {x}} \ right) \ right) ^ {2} + 1 = \ left ({\ frac {1} {2}} \ sinistra (x + {\ frac {1} {x}} \ destra) \ destra) ^ {2}}

Mentre la teoria dei numeri babilonese consiste in questo singolo frammento, l'algebra babilonese (nel senso di "algebra" delle scuole superiori ) era eccezionalmente ben sviluppata. Pitagora avrebbe imparato la matematica dai babilonesi. Molte fonti precedenti affermano che Talete e Pitagora viaggiarono e studiarono in Egitto .

La scoperta dell'irrazionalità di √ 2 è attribuita ai primi pitagorici. Questa scoperta sembra aver causato la prima crisi nella storia della matematica; la sua prova e diffusione è talvolta attribuita a Ippaso , che fu espulso dalla setta pitagorica. Ciò ha costretto a fare una distinzione tra numeri (interi e razionali), da un lato, e lunghezze e proporzioni (numeri reali), dall'altro.

Il teorema cinese del resto appare come un esercizio di trattato Sunzi Suanjing ( III E , IV E e V ° secolo aC. ).

L'antica Grecia e l'inizio del periodo ellenistico

A parte qualche frammento, la matematica dell'antica Grecia ci è nota o attraverso i resoconti di non matematici contemporanei o attraverso opere matematiche del periodo ellenistico. Nel caso della teoria dei numeri, questo include Platone ed Euclide . Platone era interessato alla matematica e distingueva chiaramente tra aritmetica e calcolo. (Per l'aritmetica, ha sentito la teoria sul numero.) È attraverso uno dei dialoghi di Platone, Teeteto , che sappiamo che Teodoro ha dimostrato che sono i numeri irrazionali . Teeteto era, come Platone, discepolo di Teodoro; ha lavorato sulla distinzione tra diversi tipi di commensurabilità , ed è stato quindi probabilmente un pioniere nello studio dei sistemi digitali. ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}, {\ sqrt {5}}, \ punti, {\ sqrt {17}}}$

Euclide dedicò parte dei suoi Elementi ai numeri primi e alla divisibilità, argomenti centrali nella teoria dei numeri (Libri dal VII al IX degli Elementi di Euclide ). In particolare, ha fornito un algoritmo per calcolare il massimo comun divisore di due numeri ( Elementi , Prop. VII.2) e la prima prova nota dell'esistenza di un'infinità di numeri primi ( Elementi , Prop. IX. 20).

Diofanto

Sappiamo molto poco di Diofanto di Alessandria ; visse probabilmente nel III secolo dC, cioè circa cinquecento anni dopo Euclide. L' Aritmetica è una raccolta di problemi in cui il compito è trovare soluzioni razionali ad equazioni polinomiali, solitamente nella forma o o . Così, oggigiorno, parliamo di equazioni diofantee quando parliamo di equazioni polinomiali per le quali dobbiamo trovare soluzioni razionali o intere. ${\ stile di visualizzazione f (x, y) = z ^ {2}}$ ${\ stile di visualizzazione f (x, y, z) = w ^ {2}}$

Mentre Diofanto era principalmente interessato alle soluzioni razionali, ha congetturato sugli interi naturali, come il fatto che ogni intero è la somma di quattro quadrati .

Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara

Mentre l'astronomia greca ha probabilmente influenzato l'apprendimento indiano, al punto da introdurre la trigonometria, sembra che la matematica indiana sia una tradizione indigena; Infatti, non v'è alcuna prova che l' Elementi di Euclide hanno raggiunto l'India prima del XVIII ° secolo.

Aryabhata dimostrato che le coppie di congruenza (476-550 aC.) , Possono essere risolti mediante un metodo ha chiamato Kuttaka ; è una procedura stretta e generalizzata dell'algoritmo di Euclide , che è stato probabilmente scoperto indipendentemente in India. Brahmagupta (628 a.C.) iniziò lo studio delle equazioni quadratiche, in particolare l' equazione di Pell-Fermat , alla quale si era già interessato Archimede , e che iniziò ad essere risolta in Occidente solo con Fermat ed Eulero . Una procedura generale (Metodo chakravala ) per risolvere l'equazione di Pell fu trovata da Jayadeva (citato nell'XI ° secolo, la sua opera è andata perduta); la prima esposizione superstite appare in Bija-ganita di Bhāskara II . Matematica indiana è rimasta sconosciuta in Europa fino alla fine del XVIII ° secolo. L'opera di Brahmagupta e Bhāskara fu tradotta in inglese nel 1817 da Henry Colebrooke . ${\ displaystyle n \ equiv a_ {1} {\ bmod {m}} _ {1}}$ ${\ displaystyle n \ equiv a_ {2} {\ bmod {m}} _ {2}}$

Aritmetica nell'età dell'oro islamica Islamic

All'inizio del IX ° secolo, il califfo Al-Ma'mun ordinato la traduzione di numerose opere di matematica greca e almeno un lavoro sanscrito (l' Sindhind , che possono o non possono essere il Brāhmasphuṭasiddhānta di Brahmagupta ). L'opera principale di Diofanto, l' Arithmetica , fu tradotta in arabo da Qusta ibn Luqa (820-912). Secondo Roshdi Rashed, Alhazen , un contemporaneo di Al-Karaji , conosceva quello che in seguito sarebbe stato chiamato il teorema di Wilson .

L'Europa occidentale nel Medioevo

A parte un trattato sui quadrati in progressione aritmetica di Fibonacci , nessun progresso nella teoria dei numeri è stato fatto nell'Europa occidentale nel Medioevo . Le cose cominciarono a cambiare in Europa alla fine del Rinascimento, grazie a un rinnovato studio delle opere dell'antica Grecia.

Teoria dei numeri moderna

Fermat

Pierre de Fermat (1601-1665) non pubblicò mai i suoi scritti; in particolare, il suo lavoro sulla teoria dei numeri è contenuto quasi interamente in Lettere ai matematici e in Note e margini privati. Non scrisse quasi nessuna prova della teoria dei numeri. Non aveva un modello in campo. Fece uso ripetuto del ragionamento ricorrente , introducendo il metodo della discesa infinita . Uno dei primi interessi di Fermat furono i numeri perfetti (che compaiono negli Elementi IX di Euclide ) ei numeri amichevoli ; questo lo porta a lavorare sui divisori di interi, che furono fin dall'inizio tra i soggetti della corrispondenza (anno 1636 e seguenti) che lo misero in contatto con la comunità matematica dell'epoca. Aveva già studiato attentamente l'edizione Bachet di Diofanto; dopo il 1643 i suoi interessi si volsero ai problemi diofantei e alla somma dei quadrati (trattati anche da Diofanto).

I risultati di Fermat in aritmetica includono:

Il piccolo teorema di Fermat (1640), che indica che, se a non è divisibile per un numero primo p , allora . ${\ displaystyle a ^ {p-1} \ equiv 1 {\ bmod {p}}}$
Se un e b non sono primi tra loro, non è divisibile per qualsiasi numero congruenti primo a -1 modulo 4 e qualsiasi numero primo congruo a 1 modulo 4 può essere scritto come . Queste due dichiarazioni risalgono al 1640; nel 1659, Fermat scrisse a Huygens di aver dimostrato l'ultima affermazione per discendenza infinita. Fermat e Frenicle hanno svolto alcuni lavori (alcuni errati) su altre forme quadratiche. $a ^ {2} + b ^ {2}$ $a ^ {2} + b ^ {2}$
Fermat pose il problema della risoluzione come una sfida per i matematici inglesi (1657). Il problema è stato risolto in pochi mesi da Wallis e Brouncker. Fermat considerò valida la loro soluzione, ma fece notare che avevano fornito un algoritmo senza dimostrazione (come Jayadeva e Bhaskara, anche se Fermat non lo avrebbe mai saputo). Afferma che la prova può essere trovata per discendenza infinita. ${\ displaystyle x ^ {2} -Ny ^ {2} = 1}$
Fermat dichiara e dimostra (per discendenza infinita) in appendice alle osservazioni su Diofanto (Obs XLV) che l' equazione diofantea non ha soluzioni non banali negli interi. Fermat ha anche detto ai suoi corrispondenti che non ci sono soluzioni non banali per , e che questo potrebbe essere dimostrato dalla discendenza infinita. La prima prova nota è dovuta a Eulero (1753, per discendenza infinita). ${\ stile di visualizzazione x ^ {4} + y ^ {4} = z ^ {4}}$ ${\ stile di visualizzazione x ^ {3} + y ^ {3} = z ^ {3}}$

L'affermazione di Fermat ("ultimo teorema di Fermat") di aver dimostrato che non ci sono soluzioni all'equazione per tutto appare solo a margine di una copia dell'Arithmetica di Diofanto. ${\ stile di visualizzazione x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n}}$ $n \ geq 3$

Eulero

L'interesse di Leonhard Euler (1707-1783) per la teoria dei numeri fu stimolato per la prima volta nel 1729 quando uno dei suoi amici, il dilettante Goldbach , lo indirizzò ad alcuni dei lavori di Fermat sull'argomento. Questa è stata definita la "rinascita" della moderna teoria dei numeri, dopo la relativa mancanza di successo di Fermat nell'attirare l'attenzione dei suoi contemporanei sull'argomento. Il lavoro di Eulero sulla teoria dei numeri include quanto segue:

Dimostrazione delle affermazioni di Fermat . Questo include il piccolo teorema di Fermat (generalizzato da Eulero a moduli non primi); il fatto che se e solo se ; un lavoro verso una dimostrazione del teorema dei quattro quadrati (la prima dimostrazione completa è di Joseph-Louis Lagrange (1770), poi migliorata dallo stesso Eulero); l'assenza di soluzioni intere non nulle a (implicando il caso n = 4 dell'ultimo teorema di Fermat, il caso n = 3 è stato trattato anche da Eulero). ${\ stile di visualizzazione p = x ^ {2} + y ^ {2}}$ ${\ displaystyle p \ equiv 1 {\ bmod {4}}}$ ${\ stile di visualizzazione x ^ {4} + y ^ {4} = z ^ {2}}$
L' equazione di Pell-Fermat e il suo legame con le frazioni continue .
Primi passi verso la teoria analitica dei numeri . Nel suo lavoro sulle somme di quattro quadrati, le partizioni , i numeri pentagonali e la distribuzione dei numeri primi, Eulero ha aperto la strada all'uso di quelli che in teoria possono essere visti come analisi (in particolare, serie infinite ). Fece un lavoro iniziale notevole (ma non del tutto rigoroso) su quella che in seguito sarebbe stata chiamata la funzione zeta di Riemann .
Forme quadratiche. Seguendo Fermat, Eulero continuò la sua ricerca sulla questione di quali numeri primi potessero essere espressi nella forma , prefigurando così la legge della reciprocità quadratica . ${\ displaystyle x ^ {2} + Ny ^ {2}}$
Equazioni diofantee. Eulero lavorò su alcune equazioni diofantee. In particolare, studiò l'opera di Diofanto e cercò di sistematizzarla, ma i tempi non erano ancora maturi per un tale sforzo: la geometria algebrica era ancora agli inizi. Notò un legame tra i problemi diofantei e gli integrali ellittici , di cui lui stesso aveva iniziato lo studio.

Lagrange, Legendre e Gauss

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) fu il primo a dare prove complete a certi lavori e osservazioni di Fermat ed Eulero - per esempio, il teorema dei quattro quadrati e la teoria dell'equazione di Pell-Fermat . Studiò anche le forme quadratiche definendo la loro relazione di equivalenza, mostrando come metterle in forma ridotta, ecc.

Adrien-Marie Legendre (1752-1833) fu il primo a enunciare la legge della reciprocità quadratica . Ha anche ipotizzato che oggi è equivalente al teorema dei numeri primi e al teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche . Ha fornito un'analisi completa dell'equazione . Durante la fine della sua vita, fu il primo a dimostrare l'ultimo teorema di Fermat per n = 5. ${\ displaystyle ax ^ {2} + di ^ {2} + cz ^ {2} = 0}$

Nelle sue Disquisitiones Arithmeticae (1798), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) dimostrò la legge della reciprocità quadratica e sviluppò la teoria delle forme quadratiche. Introdusse anche la notazione di congruenza e dedicò una sezione ai test di primalità . La sezione finale delle Disquisitiones collega le radici dell'unità alla teoria dei numeri. In questo modo, Gauss ha indubbiamente avviato il lavoro di Évariste Galois e la teoria algebrica dei numeri .

Divisione in sottodomini

A cominciare nei primi anni del XIX ° secolo, i seguenti sviluppi si sono verificati a poco a poco:

L'emergere della teoria dei numeri come campo di studio.
Lo sviluppo di gran parte della matematica moderna necessaria per la moderna teoria dei numeri: analisi complessa , teoria dei gruppi , teoria di Galois - accompagnata da un maggiore rigore di analisi e astrazione in algebra.
La suddivisione primitiva della teoria dei numeri nei suoi sottodomini moderni, in particolare la teoria dei numeri analitica e algebrica . La teoria algebrica dei numeri emerge con lo studio della reciprocità e della ciclotomia, ma quest'ultima è realmente decollata con lo sviluppo dell'algebra astratta e della teoria della valutazione . Un punto di partenza per la teoria analitica dei numeri è il Teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche (1837), la cui dimostrazione introdusse le funzioni L e coinvolse l'analisi asintotica . Il primo uso delle idee analitiche nella teoria dei numeri risale a Eulero (1730) con l'uso di serie e limiti. L'uso dell'analisi complessa nella teoria dei numeri viene dopo: il lavoro di Bernhard Riemann (1859) sulla funzione zeta è il punto di partenza. Il teorema dei quattro quadrati di Jacobi (1839) ha assunto un ruolo di primo piano nella teoria analitica dei numeri ( forme modulari ).

Citazione

“La matematica è la regina della scienza e la teoria dei numeri è la regina della matematica. » Gauss

Riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato “ Teoria dei numeri ” ( vedi elenco degli autori ) .

Introduzione alla Coomologia di Number campi . “ Die Zahlentheorie nimmt unter den mathematishen Disziplinen eine ähnlich idealsierte Stellung ein wie die Mathematik selbst unter den anderen Wissenschaften. "
Vedi ad esempio il commento introduttivo di Iwaniec e Kowalski 2004 , p. 1.
Apostol 1976 , p. 7.
Granville 2008 , sezione 1: " La differenza principale è che nella teoria algebrica dei numeri [...] si considerano tipicamente domande con risposte date da formule esatte, mentre nella teoria analitica dei numeri [...] si cercano buone approssimazioni . "
Granville 2008 , sezione 3: " [Riemann] ha definito quella che oggi chiamiamo funzione zeta di Riemann [...] Il profondo lavoro di Riemann ha dato vita al nostro soggetto [...] "
Vedi le osservazioni nella introduzione al Iwaniec e Kowalski 2004 , p. 1: "Per quanto molto più forte... " .
Edwards 2000 , pag. 79.
Martin Davis , Yuri Matiyasevich e Julia Robinson , “Il decimo problema di Hilbert: Equazioni diofantee: aspetti positivi di una soluzione negativa” , in Felix E. Browder (a cura di), Sviluppi matematici derivanti dai problemi di Hilbert , AMS , coll. “Proc. Bello. Matematica pura. "( N o XXVIII.2)1976( ISBN 0-8218-1428-1 , zbMATH 0346.02026 ) , pag. 323-378. Ristampato in The Collected Works of Julia Robinson , a cura di Solomon Feferman , p. 269-378, AMS, 1996.
Neugebauer ( Neugebauer 1969 , p. 36-40) discute la tabella in dettaglio e cita incidentalmente il metodo di Euclide nella notazione moderna: ( Neugebauer 1969 , p. 39).
Neugebauer e Sachs 1945 , p. 40. Porzione di testo inglese da tradurre in francese
Testo inglese da tradurre:
Il termine takiltum è problematico. Robson preferisce il rendering
Traduci questo testo • Strumenti • (+) " Il quadrato della diagonale da cui viene strappato 1, in modo che il lato corto emerga... " Robson 2001 , p. 192.
Robson 2001 , p. 189. - Altre fonti danno la formula moderna . Van der Waerden dà sia la formula moderna che quella che Robson sembra preferire. ( van der Waerden 1961 , p. 79). ${\ stile di visualizzazione (p ^ {2} -q ^ {2}, 2pq, p ^ {2} + q ^ {2})}$
van der Waerden 1961 , p. 184.
van der Waerden 1961 , p. 43.
Jamblique , Vita di Pitagora , citato in van der Waerden 1961 , p. 108. Cfr. anche Porfirio , Vita di Pitagora , paragrafo 6. Van der Waerden ( van der Waerden 1961 , p. 87-90) rafforza l'idea che Talete conoscesse la matematica babilonese.
Erodoto (II. 81) e Isocrate ( Busiris 28), citati in (en) Carl A. Huffman e Edward N. Zalta , "Pitagora" in Stanford Encyclopaedia of Philosophy ,8 agosto 2011( leggi in linea ). Su Talete, vedi Eudemo Porzione di testo inglese da tradurre in francese
Testo inglese da tradurre:
ap.
Traduci questo testo • Strumenti • (+) Proclo, 65.7 (ad es. in Morrow 1992 , p. 52) citato in: O'Grady 2004 , p. 1. Proclo utilizza un'opera di Eudemo di Rodi (ora defunto), il Catalogo dei Geometri . Si veda anche l'introduzione, Morrow 1992 , p. xxx Porzione di testo inglese da tradurre in francese
Testo inglese da tradurre:
sull'affidabilità di Proclo
Traduci questo testo • Strumenti • (+) .
Platone, Teeteto , p. 147 B, citato in von Fritz 2004 , p. 212: " Teodoro scriveva per noi qualcosa sulle radici, come le radici di tre o cinque, mostrando che sono incommensurabili dall'unità; ... " . Vedi anche spirale di Teodoro di Cirene .
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Becker 1936 .
von Fritz 2004 .
Heath 1921 , p. 76.
Sunzi Suanjing , cap. 3, problema 26. Questo può essere trovato in Lam e Ang 2004 , p. 219-220, che contiene una traduzione completa di Suan Ching (dopo Qian 1963 ). Si veda anche la discussione in Lam e Ang 2004 , p. 138-140.
Porzione di testo inglese da tradurre in francese
Testo inglese da tradurre:
La data del testo è stata ristretta al 220-420 d.C. (Yan Dunjie) o 280-473 d.C. (Wang Ling) attraverso prove interne (= sistemi di tassazione assunti nel testo).
Traduci questo testo • Strumenti • (+) Vedi Lam e Ang 2004 , p. 27-28.
Boyer e Merzbach 1991 , p. 82.
Plofker 2008 , p. 119.
La possibilità di contatto precoce tra babilonesi e matematica indiana rimane oggetto di congetture. ( Plofker 2008 , p. 42).
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Āryabhaṭa, Āryabhatīya , cap. 2, c.32-33 , citato in: Plofker 2008 , p. 134-140. Vedi anche Clark 1930 , p. 42-50. Una descrizione significativamente più esplicita di kuṭṭaka fu poi fatta in Brahmagupta , Brāhmasphusasiddhānta , XVIII, 3-5 (in Colebrooke 1817 , p. 325, citato in Clark 1930 , p. 42).
Mumford 2010 , pag. 388.
Plofker 2008 , p. 194.
Plofker 2008 , p. 283.
Colebrooke 1817 .
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Rashed 1980 , p. 305-321.
Weil 1984 , p. 45-46.
Weil 1984 , p. 118. Porzione di testo inglese da tradurre in francese
Testo inglese da tradurre:
Questo era più vero nella teoria dei numeri che in altre aree (osservazione in Mahoney 1994 , p. 284). Le stesse prove di Bachet erano "ridicolamente goffe"
Traduci questo testo • Strumenti • (+) ( Weil 1984 , p. 33).
Mahoney 1994 , p. 48, 53-54. Porzione di testo inglese da tradurre in francese
Testo inglese da tradurre:
Gli argomenti iniziali della corrispondenza di Fermat includevano divisori ("parti aliquote") e molti argomenti al di fuori della teoria dei numeri; vedi l'elenco nella lettera di Fermat a Roberval, 22.IX.1636
Traduci questo testo • Strumenti • (+) , Tannery e Henry 1891 , vol. II, pag. 72, 74, citato in Mahoney 1994 , p. 54.
Weil 1984 , p. 1-2.
Weil 1984 , p. 53.
Conceria e Henry 1891 , vol. II, pag. 209, Lettera XLVI da Fermat a Frenicle, 1640, cit. in Weil 1984 , p. 56.
Conceria e Henry 1891 , vol. II, pag. 204, citato in Weil 1984 , p. 63. Porzione di testo inglese da tradurre in francese
Testo inglese da tradurre:
Tutte le seguenti citazioni dalla Varia Opera di Fermat sono tratte da Weil 1984 , cap. II. Il lavoro standard di Tannery & Henry include una revisione della postuma Varia Opera Mathematica di Fermat originariamente preparata da suo figlio
Traduci questo testo • Strumenti • (+) ( Fermat 1679 ).
Conceria e Henry 1891 , vol. II, pag. 213.
Conceria e Henry 1891 , vol. II, pag. 423.
Weil 1984 , p. 80, 91-92.
Weil 1984 , p. 92.
Conceria e Henry 1891 , vol. io, pag. 340-341.
Weil 1984 , p. 115.
Weil 1984 , p. 115-116.
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Varadarajan 2006 , p. 9.
Weil 1984 , p. 2 e Varadarajan 2006 , p. 37
Varadarajan 2006 , p. 39 e Weil 1984 , pag. 176-189.
Weil 1984 , p. 178-179.
Weil 1984 , p. 174. Porzione di testo inglese da tradurre in francese
Testo inglese da tradurre:
Eulero è stato generoso nel dare credito agli altri ( Varadarajan 2006 , p. 14), non sempre correttamente.
Traduci questo testo • Strumenti • (+)
Weil 1984 , p. 183.
Varadarajan 2006 , p. 45-55; vedi anche cap. III.
Varadarajan 2006 , p. 44-47.
Weil 1984 , p. 177-179.
Edwards 1983 , p. 285-291.
Varadarajan 2006 , p. 55-56.
Weil 1984 , p. 179-181.
Weil 1984 , p. 181.
Weil 1984 , p. 327-328 e 332-334.
Weil 1984 , p. 337-338.
Goldstein e Schappacher 2007 , pag. 14.
Porzione di testo inglese da tradurre in francese
Testo inglese da tradurre:
Dalla prefazione di
Traduci questo testo • Strumenti • (+) Disquisitiones Arithmeticae ; Porzione di testo inglese da tradurre in francese
Testo inglese da tradurre:
la traduzione è tratta da
Traduci questo testo • Strumenti • (+) Goldstein e Schappacher 2007 , pag. 16
Porzione di testo inglese da tradurre in francese
Testo inglese da tradurre:
Vedi la discussione nella sezione 5 di Goldstein e Schappacher 2007 . I primi segni di autocoscienza sono presenti già nelle lettere di Fermat: così le sue osservazioni su cosa sia la teoria dei numeri, e come "l'opera di Diofanto [...] non gli appartenga realmente" (citato in
Traduci questo testo • Strumenti • (+) Weil 1984 , p. 25).
Davenport e Montgomery 2000 , p. 1.
Porzione di testo inglese da tradurre in francese
Testo inglese da tradurre:
vedere la prova in Davenport e Montgomery 2000 , sezione 1.
Traduci questo testo • Strumenti • (+)
Iwaniec e Kowalski 2004 , pag. 1.
Varadarajan 2006 , sezioni 2.5, 3.1 e 6.1.
Granville 2008 , p. 322-348.
Porzione di testo inglese da tradurre in francese
Testo inglese da tradurre:
Vedi il commento sull'importanza della modularità in Iwaniec e Kowalski 2004 , p. 1.
Traduci questo testo • Strumenti • (+)

Opere citate

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Vedi anche

Bibliografia

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(it) CA Truesdell , “Leonard Euler, Supreme Geometer” , in William Dunham, Il genio di Euler: riflessioni sulla sua vita e opera , New York, MAA , coll. “Maa trecentenario celebrazione di Eulero” ( n o 2),2007( ISBN 978-0-88385-558-4 , leggi online )

link esterno

Introduzione alla teoria dei numeri
Supplemento didattico da OpenClassRoom
(it) JS Milne , " Teoria algebrica dei numeri " ,2014