Teorema di inversione integrale in serie

In analisi , vari teoremi di inversione serie-integrale forniscono condizioni sufficienti per l' integrazione termine-termine della somma di una serie di funzioni .

Versione completa di Lebesgue

Teorema - Sia $( X , ?, μ ) tramite$ un completo spazio misurato (ad esempio un intervallo di ℝ , dotato della tribù Lebesgue e la misura di Lebesgue ), E uno spazio euclideo (ad esempio ℝ o ℂ ) e una funzione di sequenza integrabili di $X$ in E . Si presume che la serie digitale converga. $(f_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $\ sum _ {n} \ left (\ int \ | f_ {n} \ | ~ {\ mathrm d} \ mu \ right)$

Quindi la serie di funzioni converge quasi ovunque su $X$ verso una funzione integrabile e $\ sum f_ {n}$

\ int \ left (\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} f_ {n} \ right) ~ {\ mathrm d} \ mu = \ sum _ {{n = 0}} ^ { {\ infty}} \ left (\ int f_ {n} ~ {\ mathrm d} \ mu \ right).

Osservazioni

Questo teorema è dedotto dai teoremi di convergenza monotona e dominata . L'integrabilità della serie e l'inversione di e sussiste sotto un'ipotesi molto più debole: basta che la serie converga quasi ovunque e che esista una funzione integrabile tale che, per tutti . $\ sum$ $\ int$ $\ sum f_ {n}$ $g$ ${\ Displaystyle N, \ left | \ sum _ {n \ leq N} f_ {n} \ right | \ leq g}$
Questo è un caso particolare dei teoremi di Fubini dove uno degli integrali è fatto rispetto alla misura di conteggio su ℕ .
Nel caso particolare in cui lo spazio misurato è ℕ fornito con la tribù discreta e la misura di conteggio , troviamo il teorema di inversione per serie doppie con valori in E , sotto l'ipotesi di sommabilità .

Teorema - Sia $io$ un ℝ segmento e una successione di funzioni continue di $I$ in E . $(f_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$

Si presume che la serie di funzioni converge uniformemente su $I$ a una funzione $S$ . $\ sum f_ {n}$

\ int _ {I} S (x) ~ {\ mathrm d} x = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} \ left (\ int _ {I} f_ {n} (x ) ~ {\ mathrm d} x \ right).

N. Bourbaki , Integration, capitoli da 1 a 4 , Springer ,2007( leggi in linea ) , cap. IV, § 4, p. 144, corollario 2.