La radice quadrata di due , indicata con √ 2 (o talvolta 2 1/2 ), è definita come l'unico numero reale positivo che, moltiplicato per se stesso, dà il numero 2 , in altre parole √2 × √2 = 2 . È un numero irrazionale , il cui valore approssimato a 10-9 è:
.Calcolare un valore approssimativo di √2 è stato un problema matematico per secoli. Questa ricerca ha permesso di perfezionare gli algoritmi per il calcolo dell'estrazione delle radici quadrate. In informatica, questa ricerca è continuata per ottimizzare questi algoritmi riducendo i tempi di calcolo e il consumo di memoria.
Geometricamente, √2 è il rapporto tra la diagonale di un quadrato sul suo lato, altrimenti noto come il rapporto tra la dell'ipotenusa di un isoscele destra triangolo su uno dei lati del retto, che è un caso particolare del teorema di Pitagora .
Il numero √2 è noto da molto tempo: in Mesopotamia , gli scribi sapevano già come calcolare un valore approssimato molto precisa, nel primo terzo del II millennio aC .
Presumibilmente al V ° secolo aC. AC , i matematici greci dimostrarono che la diagonale di un quadrato e il suo lato erano incommensurabili , il che equivale a dire che √2 è irrazionale . Lo studio dell'incommensurabilità ha svolto un ruolo importante nello sviluppo della matematica greca. Per i greci, né le frazioni né gli irrazionali sono numeri. Questo passo è compiuto dai matematici arabi all'origine dell'algebra .
Questo numero viene utilizzato nelle applicazioni quotidiane:
L'espressione " radice quadrata " deriva dalla notazione geometrica europea che prevaleva prima della notazione algebrica , e più in particolare da una delle costruzioni di √2 che saranno presentate nella sezione dedicata alla storia ; anzi, i problemi matematici sono stati spesso presentati in forma geometrica prima di essere ridotti ad espressioni algebriche. È stato utilizzato anche il termine "radicale di due".
√2 si trova talvolta chiamata costante pitagorica , forse a causa di una leggenda che attribuisce la scoperta dell'irrazionalità di √2 alla scuola pitagorica .
I formati carta A, B e C della norma ISO 216 , di uso comune al di fuori del Nord America , sono stati progettati per verificare una notevole proprietà: un foglio tagliato in due parti uguali dalla larghezza, produce due fogli simili all'originale; vale a dire con lo stesso rapporto lunghezza / larghezza. L'area essendo ridotta di un fattore 2 , questo è possibile solo se questo rapporto è uguale a √2; in pratica le dimensioni sono arrotondate.
Di seguito sono riportati i valori approssimativi delle dimensioni da A0 a A5 in funzione di √2.
formato | lunghezza (m) | larghezza (m) | superficie (m 2 ) |
---|---|---|---|
A0 | √√2 | √√2 ⁄ √2 | 1 |
A1 | √√2 ⁄ √2 | √√2 ⁄ 2 | 1 ⁄ 2 |
A2 | √√2 ⁄ 2 | √√2 ⁄ (2√2) | 1 ⁄ 4 |
A3 | √√2 ⁄ (2√2) | √√2 ⁄ 4 | 1 ⁄ 8 |
A4 | √√2 ⁄ 4 | √√2 ⁄ (4√2) | 1 ⁄ 16 |
Le serie B e C differiscono dalla serie A rispettivamente per un fattore di √√2 (~ 1,19) e √√√2 (~ 1,09).
I fattori di ingrandimento del 200%, 141%, 71%, 50% offerti dalle fotocopiatrici sono approssimazioni di (√2) n che consentono il passaggio a formati carta più grandi o più piccoli, sia fisicamente che stampando 2 n pagine per foglio.
Nota che in matematica indichiamo più facilmente e .
La scala del temperamento equabile è costruita come segue: il rapporto di frequenza tra le note estreme dell'ottava è 2; e la scala è divisa in dodici semitoni di rapporti di frequenza uguali ƒ. Il rapporto di frequenza tra la nota più alta e quella più bassa è quindi ƒ 12 , che è uguale, come sopra indicato, a 2. Il semitono ha quindi un rapporto ƒ = 2 1/12 .
fare | fare ♯ | ri | d ♯ | metà | fa | fa ♯ | terra | terra ♯ | il | il ♯ | Se | fare |
1 | 2 1/12 | 2 1/6 | 2 1/4 | 2 1/3 | 2 5/12 | √2 | 2 7/12 | 2 2/3 | 2 3/4 | 2 5/6 | 2 11/12 | 2 |
In questo sistema, l' aumentata quarto ( C - F ♯) e la diminuita quinto (C-G ♭) sono uguali e valgono sei semitoni; hanno un rapporto di frequenza di √2. Il canto gregoriano utilizza questo intervallo, il tritono , ma alla fine del Medioevo viene sistematicamente evitato perché ritenuto troppo dissonante. Ha poi ricevuto il soprannome di " Diabolus in Musica ".
In elettricità , la tensione effettiva U eff di un singolo - fase sinusoidale corrente alternata - per esempio 110 V o 220 V di corrente domestica - è legata all'ampiezza della tensione U max da
U max = U eff √2, annotato anche Û = U√2,oppure, nelle applicazioni più comuni:
U eff = 0,7 U max .Ciò è più generalmente valido per il valore efficace delle grandezze lineari di un'onda sinusoidale. Lo noteremo anche
20 log (U / √2) = 20 log U - 20 log √2 = 20 log U - log ((√2) 20 ) = 20 log U - log 1024 ≃ 20 log U - 3 .Stiamo parlando di larghezza di banda a -3 decibel.
I diaframmi delle fotocamere seguono la sequenza standard f / 1.4, f / 2 f / 2.8 f / 4 f / 5.6 f / 8 f / 11 f / 16 f / 22, f / 32, ecc. Il rapporto tra due aperture consecutive è un valore prossimo a √2, che è stato scelto in modo che il rapporto di flusso luminoso sia in un rapporto di 2 (flusso = diametro²). Riducendo l'apertura di una "tacca", il tempo di esposizione richiesto viene raddoppiato o la sensibilità della pellicola richiesta viene ridotta di un fattore 2 .
In pratica l'apertura indicata è un arrotondamento; l'apertura effettiva potrebbe attaccarsi alla più vicina a . Ci sono suddivisioni sui dispositivi moderni, spesso nei report o .
Apertura | f / 1.4 | f / 2 | f / 2.8 | f / 4 | f / 5.6 | f / 8 | f / 11 | f / 16 | f / 22 | f / 32 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Diametro | d | d / √2 | d / 2 | d / 2√2 | d / 4 | d / 4√2 | d / 8 | d / 8√2 | d / 16 | d / 16√2 |
Flusso | io | I / 2 | I / 4 | I / 8 | I / 16 | I / 32 | I / 64 | I / 128 | I / 256 | I / 512 |
La questione della duplicazione di un quadrato corrisponde alla costruzione di una piazza con un'area doppia rispetto a quella di una data piazza. Supponiamo di avere un quadrato di area 1 e proviamo a costruire un quadrato di area 2. Per definizione, il quadrato di area 1 ha un lato di lunghezza 1 e il quadrato di area 2 ha la stessa area di quello di due quadrati dell'area 1.
Ci sono due semplici modi per convincerti di questo. Il più diretto è studiare la figura a sinistra. Il quadrato di lato 1 è composto da due triangoli, quello di lato indicato con √2 è formato esattamente da quattro triangoli dello stesso tipo, quindi ha doppia area. Un altro modo per realizzare il rapporto due tra le aree dei quadrati della figura è l'uso del teorema di Pitagora . Un isoscele destra triangolo del lato corto di lunghezza 1 ha un ipotenusa del quadrato eguale a 1 + 1 = 2. Questa ipotenusa è la diagonale di un quadrato di lato di lunghezza 1.
L'area di un quadrato si ottiene moltiplicando la lunghezza del lato per se stesso. La lunghezza del lato del quadrato dell'area 2 moltiplicata per se stessa è quindi pari a 2. Per definizione di √2, la lunghezza di questo lato è √2.
È anche possibile, utilizzando un cerchio, duplicare il quadrato senza modificarne l'orientamento. Nella figura a fianco il quadrato grande ha una doppia area del quadrato piccolo. Per convincersene, basta ruotare il quadratino di un ottavo di giro. Il rapporto tra i lati dei due quadrati è quindi √2. La figura a sinistra illustrerà, per i futuri matematici, la presenza della radice quadrata di due nel seno e nel coseno dell'ottavo di giro.
cos (45 °) = sin (45 °) = 1 / √2 = √2 / 2Successivamente, questo layout ha sedotto molti architetti come Andrea Palladio nella sua Villa Rotonda o nella Chiesa rotonda di Preslav . Si trova nel chiostro della cattedrale di Cahors dove la superficie del cortile interno è uguale alla superficie della galleria che lo circonda o nei taccuini di Villard de Honnecourt .
Ecco alcune delle tante prove che √ 2 è irrazionale . Molti di loro usano solo conoscenze aritmetiche molto minime, altri sono generalizzati sostituendo √ 2 con √ n dove il numero naturale n non è un quadrato perfetto (vedi l'articolo " Quadratic irrational "). Alcune sono riformulazioni, con concetti e linguaggi matematici correnti, di prove antiche o presunte ( cfr. § Storia ).
Spesso procedono per assurdo , supponendo che √ 2 sia, al contrario, razionale , vale a dire che possa essere scritto nella forma p / q per certi interi q > 0 ep , quindi deducendo una contraddizione da questa ipotesi √ 2 = p / q , che si scrive anche p 2 = 2 q 2 .
Sia p il più piccolo intero strettamente positivo tale che p 2 sia il doppio di un quadrato, e sia q l'intero positivo tale che p 2 = 2 q 2 . Allora, p > q (poiché p 2 > q 2 ) ep è pari (poiché il suo quadrato è) . Notando p = 2 re semplificando per 2, l'equazione viene riscritta q 2 = 2 r 2 , con 0 < q < p , che contraddice la minimalità nella scelta di p .
Una variante consiste nel praticare una discesa infinita da una soluzione (ipotetica) p 2 = 2 q 2 : costruiamo r come sopra, quindi s , t , ecc. tale che p 2 = 2 q 2 , q 2 = 2 r 2 , r 2 = 2 s 2 … e p > q > r > s >… , il che è assurdo poiché non esiste una sequenza infinita rigorosamente decrescente di interi positivi.
Siano ancora p e q interi> 0 tali che p / q = √ 2 con pq il più piccolo possibile o, che equivale alla stessa cosa, q il più piccolo possibile. Deduciamo da p 2 = 2 q 2 che p ( p - q ) = p 2 - pq = 2 q 2 - pq = (2 q - p ) q , quindi impostando
r = p - q e s = 2 q - p :p / q = s / r , che contraddice la minimalità di q , poiché 0 < r < q .
Riassumendo: sia q il più piccolo intero> 0 tale che q √ 2 sia un intero, allora q √ 2 - q è ancora un tale numero che è strettamente minore di q , quindi una contraddizione.
(Possiamo, come prima, trasformare questo ragionamento in una discesa infinita.)
Dimostrare l'irrazionalità di √2 equivale a dimostrare che, per una data unità, non esiste un triangolo isoscele retto i cui lati sono ciascuno di lunghezza un numero intero di unità.
Se esiste un triangolo di questo tipo, allora ne esiste necessariamente uno più piccolo i cui lati sono anch'essi di lunghezza intera (la sua costruzione è data nel disegno a fianco e dettagliata sotto). Tuttavia, se esiste un tale triangolo, esiste necessariamente un minimo avente questa proprietà (quello il cui lato dell'angolo retto, ad esempio, è minimo ) da cui una contraddizione.
Sia ABC un triangolo isoscele retto in B con lati interi. Quindi, il cerchio centrato in A con raggio della lunghezza del lato corto AB interseca l'ipotenusa [AC] in un punto B 'tale che B'C è ancora a tutta lunghezza, poiché AC e AB' lo sono. La perpendicolare condotta in B 'all'ipotenusa [AC] interseca il lato [BC] in A'. Il triangolo A'B'C è isoscele rettangolo in B ', poiché l'angolo in B è retto e l'angolo in C è quello del triangolo originale. Le rette (A'B) e (A'B ') sono le tangenti da A' al cerchio con centro A e raggio AB = AB ', e quindi A'B = A'B', quindi A'B = A 'B' = B'C e A'C è l'intera lunghezza. Si può anche interpretare la costruzione come la piegatura del triangolo ABC in cui si riporta il lato [AB] sull'ipotenusa.
Possiamo, spiegando i calcoli dei lati del triangolo, dare una versione puramente aritmetica di questa dimostrazione che è poi quella del paragrafo precedente (prendiamo p = AC eq = AB = BC).
Sia q il più piccolo intero> 0 tale che il numero p : = q √ 2 sia un intero, allora q è primo con p , oppure divide p 2 . È quindi uguale a 1 e p 2 = 2, il che è impossibile. È, particolarizzato a 2, un argomento generale che mostra che la radice quadrata di un intero che non è un quadrato perfetto è irrazionale.
La coppia ( p , q ) tale che p 2 = 2 q 2 essendo questa volta arbitraria (cioè q non necessariamente minima), la contraddizione deriva dal fatto che nella scomposizione in prodotto di fattori primi , p 2 ha un numero pari di fattori e 2 q 2 un numero dispari. Una variazione consiste nel contare solo i fattori uguali a 2. Questo argomento, ancora una volta, si adatta immediatamente alla radice quadrata di un numero intero che non è un quadrato perfetto.
Con p e q primo all'altro come sopra, quindi non sia divisibile per 3, p 2 - 2 q 2 non può essere zero dal modulo 3, è congruente a 0 2 - 2 × (± 1) 2 o (± 1) 2 - 2 × 0 2 o (± 1) 2 - 2 × (± 1) 2 , ovvero ± 1. (Usando la nozione di inverso modulare , possiamo, in questo metodo, sostituire 3 con qualsiasi numero primo P tale che 2 non sia un modulo P quadrato , cioè P congruente a 3 o 5 modulo 8 ).
Come tutte le radici quadrate dei numeri interi, √2 è costruibile con un righello e un compasso ; al contrario , questo non è il caso della radice cubica di 2, per esempio.
Dato un segmento AB di lunghezza unitaria, ecco i diversi passaggi per costruire un segmento di lunghezza √2 con un righello non graduato e un compasso :
A questo punto viene costruito il segmento [BC] di lunghezza √2.
Come ogni numero che può essere costruito con un righello e un compasso, √2 può essere costruito solo con un compasso . Le fasi di una possibile costruzione sono:
A questo punto viene costruito il segmento [AC] di lunghezza √2.
Elementi di dimostrazione: IC = IG = √3, perché secondo il teorema di Pitagora , le altezze in I e G dei triangoli equilateri di lato 1, IHA e HAG, che sono portate dalla bisettrice perpendicolare di (H, A), avere la lunghezza √3 / 2. Per costruzione (A e C sulla bisettrice perpendicolare di BI) (AC) è perpendicolare a (AI) e il teorema di Pitagora in IAC dà AC² = 2 .
La cultura matematica del periodo paleobabilonese è soprattutto algoritmica. Ha un sistema di numerazione con notazione posizionale . Alcune tavolette, come quella annotata BM 13901 , mostrano una buona conoscenza di questioni quadratiche , probabilmente affrontate con semplici metodi geometrici, mediante copia e incolla di aree rettangolari. Oltre ad avere metodi di risoluzione, i babilonesi sanno come calcolare approssimazioni di radici quadrate. La tavoletta YBC 7289 , scritta nel primo terzo del secondo millennio a.C., fornisce un'approssimazione di √2, interpretata come il rapporto tra la diagonale del quadrato e il lato, nella seguente forma:
Questa scrittura corrisponde alla migliore approssimazione possibile di √2 con quattro cifre significative in numerazione babilonese ( base 60). L'approssimazione è precisa al milionesimo. Denota la conoscenza di un algoritmo di approssimazione della radice quadrata, ma non è noto quale. Potrebbe essere del metodo Heron , ancora oggi uno dei più efficaci.
Gli Śulba-Sūtras , testi rituali indiani del periodo vedico, stabilivano regole geometriche per la costruzione di altari sacrificali. la data della loro composizione è difficile da determinare, la più antica potrebbe essere stata composta tra l'800 e il 500 a.C. AD . Forniscono un'affermazione di quello che ora chiamiamo teorema di Pitagora , incluso il caso speciale della diagonale del quadrato, che consente di raddoppiare la sua area. Forniscono anche una regola per calcolare la lunghezza di questa diagonale in funzione del lato, che è equivalente a un'approssimazione razionale notevolmente precisa di √2:
,o circa 1,4142157 , un valore preciso a poco più di 2 milionesimi. Uno degli Śulba-sūtra, quello di Kātyāyana, specifica che questo è solo un valore approssimativo. I trattati non danno alcuna indicazione di come sia stata derivata questa formula, sebbene diversi metodi siano stati proposti dagli storici.
I matematici dell'antica Grecia hanno scoperto e dimostrato l'irrazionalità di √2 in un momento che è difficile da determinare, al più tardi, nei primi decenni del IV ° secolo aC. DC , e probabilmente non prima del V ° secolo aC. AD . Non l'hanno espresso in questo modo: per loro non si tratta di un numero √2, ma di una relazione (nel senso di relazione) tra la diagonale e il lato del quadrato, e mostrano che quelli - questi sono incommensurabili , vale a dire che non si trova un segmento unitario, per quanto piccolo sia con cui misurare esattamente queste due lunghezze.
La scoperta dell'irrazionalità, la sua data, le circostanze che l'hanno condotta, le sue conseguenze, la natura delle prime dimostrazioni ... tutto questo ha dato luogo a molto lavoro tra gli storici, senza che questi arrivassero a un consenso.
Non abbiamo testimonianze archeologiche analoghe alle tavolette d'argilla dei Babilonesi, per la matematica dell'antica Grecia , ma testi trasmessi per tradizione, per copia e ricopiatura. Il primo ad aver raggiunto noi risalgono al IV ° secolo aC. D.C. , in opere di cui la matematica non è l'obiettivo primario, gli scritti di Platone , poi quelli di Aristotele .
Platone e AristoteleIn un noto passaggio di Meno , Platone mette in scena Socrate che fa scoprire a un giovane schiavo la duplicazione del quadrato , costruendo un quadrato sulla diagonale. Socrate vuole convincere Menone che il giovane schiavo trova una conoscenza che è già in lui. Ma per David Fowler che data il testo dal 385 aC. DC , è anche la prima sostanziale testimonianza diretta della pratica della matematica greca.
La prima menzione nota di incommensurabilità si deve anche a Platone, in un'opera successiva, Il Theaetetus , dove descrive Teodoro di Cirene esponendo ciò che corrisponde all'irrazionalità delle radici quadrate dei numeri da 3 a 17 che non sono quadrati perfetti. Si deduce da questo passaggio che l'irrazionalità di √2 è ben noto nel momento in cui Platone scrisse, anche quella in cui Theodore dovrebbe insegnare, essere i primi decenni del IV ° secolo aC. AD .
Nel Organon , Aristotele prende come esempio di ragionamento per assurdo ciò che porta alla incommensurabilità della diagonale e specifica (in due posti) che l'ipotesi di porta commensurability ad un numero pari essendo uguale a uno. Numero dispari. L'indicazione è imprecisa, ma è la più antica che abbiamo di una dimostrazione. Anche Aristotele prende regolarmente come esempio nelle sue opere l'incommensurabilità della diagonale di lato.
EuclideNegli Elementi di Euclide - il primo trattato matematico sopravvissuto, scritto intorno al -300 - il trattamento dell'incommensurabilità è già molto sviluppato. L'incommensurabilità è definita e trattata nel libro X , e la Proposizione 2 ne dà una caratterizzazione mediante un processo di sottrazioni alternate, l' antiferesi , analogo a quello che oggi chiamiamo algoritmo di Euclide in aritmetica (una divisione può essere vista come una serie di sottrazioni) e ha continuato frazione per i numeri reali (le quantità non sono misurabili se c'è sempre un resto, il processo continua indefinitamente). La Proposizione 9 permette la relazione con le proprietà aritmetiche trattate nel libro VII e nel libro VIII . Alcune vecchie edizioni del libro X danno in appendice una proposizione (a volte numerata 117) che tratta direttamente l'irrazionalità di √2 (l'incommensurabilità della diagonale del quadrato e del suo lato) con un argomento di parità e una discesa infinita. Ma questo non si adatta al resto del testo, avrebbe potuto essere aggiunto per il suo interesse storico, e molto probabilmente dopo Euclide. Lei sembra essere dietro l'altra dimostrazione, sempre sulla base di una parità argomento fornito in commento di uno dei passaggi di Aristotele citato da Alessandro di Afrodisia in II ° secolo ( dC. DC. ), Il più antico completo e veramente databili che è venuto fino a noi (per l'incommensurabilità della diagonale del quadrato e del suo lato).
Ipotesi e ricostruzioniQuello che si può sapere sulla scoperta dell'irrazionalità dipende, oltre a questi elementi, da frammenti di testi antichi di autori successivi, in particolare quelli di una storia (perduta) di un allievo di 'Aristotele, Eudemo di Rodi , e più in generale di testi storici tardivi, la cui attendibilità non è ovvia.
Diverse sono anche le tesi sia per il contesto che per le cause della scoperta dell'incommensurabilità, e per le sue prime dimostrazioni, essendo gli storici ridotti a ricostituirle, in modo coerente con la conoscenza (assunta) del tempo. Questi ricostruzione speculativa sviluppato nel tardo XIX ° secolo e il XX ° secolo, sono ben lungi dall'essere convergenti e ancora in discussione.
Il pari e il dispariMolto spesso, √2 (la diagonale del quadrato) assume il primo ruolo, in particolare perché una dimostrazione per parità (il principio è quello della prima dimostrazione di irrazionalità sopra) richiede come sola conoscenza aritmetica la dicotomia tra numeri pari e dispari, e in grado di recuperare dalla conoscenza aritmetica che gli storici ritengono possono essere quelli dei matematici greci del V ° secolo aC. AD . Sarebbe quindi a questo che allude Aristotele.
AnthypheresisUn'altra possibilità è fare affidamento sulla proposizione di Euclide X, 2 (citata sopra) che potrebbe testimoniare antiche dimostrazioni particolari di irrazionalità di anthyphérèse (sottrazioni alternative come l'algoritmo di Euclide). Tuttavia, tali dimostrazioni non compaiono in Euclide, né in alcun testo greco antico pervenuto a noi. Matematicamente il principio è quello esposto sopra nella seconda (versione aritmetica) e nella terza dimostrazione (versione geometrica) . Il fatto di trovare la stessa figura nella versione geometrica, mostra che il processo di sottrazioni reciproche continua così indefinitamente a concludere con la proposizione X, 2. Bisogna tuttavia ammettere che un segmento è divisibile all'infinito, e per questo Euclide fonda la sua proposizione X, 2 sulla proposizione X, 1 (che tratta della dicotomia ), e utilizza l '“ assioma di Archimede ”, attribuito a Eudosso e presente negli Elementi. Tale ripetizione si verifica per qualsiasi irrazionale quadratico , corrisponde allo sviluppo periodico della sua frazione continua . Questa periodicità rende operativa la caratterizzazione euclidea per i rapporti corrispondenti a questi numeri. Nel caso di √2 è immediato, in un solo passaggio, ed è facilmente illustrato geometricamente. Questo è anche il caso della proporzione in ragione estrema e media (la nostra sezione aurea ), che è il rapporto tra una diagonale e il lato del pentagono , che ha portato alcuni storici a considerare che questo rapporto, piuttosto che √ 2, ha portato alla scoperta dell'irrazionalità.
Queste possibilità non sono necessariamente contraddittorie, la scoperta dell'irrazionalità essendo stata fatta rispetto alla diagonale del quadrato e / o quella del pentagono con un processo simile all'antiferesi e la prima dimostrazione procede dal pari e dal dispari.
La storia della radice di due si fonde poi con quella della radice quadrata e più in generale degli irrazionali, in poche righe:
Dedekind poté così affermare nel 1872, quando pubblicò il suo trattato sulla costruzione dei reali, che fino ad allora l'uguaglianza √2 × √3 = √6 non era mai stata rigorosamente dimostrata.
La normalità è un concetto basato sulla distribuzione delle cifre di sviluppo decimale di un numero irrazionale, cioè se tutte le cifre da 0 a 9 compaiono in questo sviluppo e con la stessa frequenza. Per quanto riguarda √2, non è noto se sia normale nel sistema decimale o in qualsiasi altra base di numerazione .
√ 2 è un numero algebrico di grado 2, detto intero quadratico , perché soluzione dell'equazione polinomiale di secondo grado con coefficienti interi x ² - 2 = 0 e di monomiale dominante con coefficiente uguale a 1, ma nessuna di grado 1 a causa della sua irrazionalità. Sappiamo quindi che è difficile avvicinarsi con una sequenza razionale p n / q n ; l'errore è nella migliore delle ipotesi in
Come con qualsiasi numero algebrico irrazionale , la sua misura di irrazionalità è 2.
La parte intera di √2 è 1 e la sua parte decimale è quindi √2 - 1 , o ancora11 + √2. Possiamo scrivere questo risultato nel modulo:
Sostituendo √2 sul lato destro con 1 +11 + √2, otteniamo successivamente
Ciò fornisce l'espansione frazionaria continua periodica di √2
così come alcuni valori approssimativi di questo numero: 3/2, 7/5, 17/12
√2 è correlato a un certo numero di espansioni in frazioni continue periodiche, per proprietà degli interi quadratici .
Per a , b interi strettamente positivi tali che a 2 - 2 b 2 = –1, abbiamo la seguente espansione
Questo sviluppo è comunemente notato in modo più conciso:
b √ 2 = [ a ; 2 a , 2 a , 2 a ...].Otteniamo i seguenti valori di √ 2 :
√ 2 = 1/5 × [7; 14, 14, 14 ...], √ 2 = 1/29 × [41; 82, 82, 82 ...].Più in generale, per a , b interi strettamente positivi tali che a 2 - 2 b 2 = k , abbiamo la seguente frazione continua generalizzata :
che notiamo in una forma più concisa
b √ 2 = [ a ; - k , 2 a ; - k , 2 a ; - k , 2 a ; ...]Ne deduciamo i seguenti sviluppi di √2:
√ 2 = 1/2 × [3; −1, 6; −1, 6; −1, 6; ...] √ 2 = 1/12 × [17; −1, 34; −1, 34; −1, 34; ...] √ 2 = 1/70 × [90; −1, 180; −1, 180; −1, 180; ...]Elementi di prova: sia la successione ( u n ) definita dalla relazione di ricorrenza u n +1 = - k / (2 a + u n ) e sia ε n = | u n - ( b √ 2 - a ) |. Allora possiamo mostrare che ε n +1 < Kε n , con 1 / | 1 + 2 a / ( b √ 2 - a ) | < K <1 se u n è sufficientemente vicino a b √ 2 - a .
L'identità cos (π / 4) = sin (π / 4) = 1 / √2 e la rappresentazione come prodotto infinito del seno e del coseno portano ai seguenti sviluppi
L'ultimo prodotto può essere scritto in modo equivalente:
SerieIl numero può anche essere valutato come una serie utilizzando l' espansione di Taylor di una funzione trigonometrica in :
Possiamo anche usare la funzione √ 1 + x in 1:
La convergenza dell'ultima serie può essere accelerata mediante una trasformazione di Eulero per dare:
√ 2 è di circa 213 562 373 1.414 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737. Per più decimali, vedere prosecuzione A002193 della OEIS .
Calcolare un valore approssimativo di √ 2 è stato un problema matematico per secoli. Questa ricerca ha permesso di migliorare gli algoritmi per il calcolo dell'estrazione delle radici quadrate. Nell'informatica, questa ricerca è continuata per ottimizzare questi algoritmi riducendo i tempi di calcolo e il consumo di memoria.
Escludendo l'algoritmo delle radici , i metodi di approssimazione numerica presentati di seguito sono intesi per il calcolo di un gran numero di cifre decimali. Sono generalmente basati su una sequenza convergente di numeri razionali ; così l'iterazione è svincolata dal costo del calcolo sui numeri in virgola mobile - di cui sarebbe anche necessario conoscere a priori la precisione . Le migliori approssimazioni di una successione razionale p n / q n danno un errore in 1 / q n ², una proprietà dell'approssimazione diofhantina di interi quadratici .
Questo antico metodo (si trova in Cina nel Nove capi su arte matematica in III ° secolo e India nel Aryabhatiya del V ° secolo) determina consegnare le cifre successive di una radice quadrata, ma le divisioni da effettuare rapidamente aumento di dimensioni. Di seguito, l'algoritmo del patibolo per il calcolo delle prime 5 cifre decimali di √ 2 .
2 | 1.41421 | |||||||||||
- | 1 | 1 × 1 = 1 | ||||||||||
1 | 0 | 0 | ||||||||||
- | 9 | 6 | 2 4 × 4 = 96 | |||||||||
4 | 0 | 0 | ||||||||||
- | 2 | 8 | 1 | 28 1 × 1 = 281 | ||||||||
1 | 1 | 9 | 0 | 0 | ||||||||
- | 1 | 1 | 2 | 9 | 6 | 282 4 × 4 = 11296 | ||||||
6 | 0 | 4 | 0 | 0 | ||||||||
- | 5 | 6 | 5 | 6 | 4 | 2828 2 × 2 = 56564 | ||||||
3 | 8 | 3 | 6 | 0 | 0 | |||||||
- | 2 | 8 | 2 | 8 | 4 | 1 | 28284 1 × 1 = 282841 | |||||
1 | 0 | 0 | 7 | 5 | 9 |
Dobbiamo a Teone di Smirne queste due sequenze ( p n ) e ( q n ) definite per induzione:
p n + 1 = p n + 2 q n , p 0 = 1; q n + 1 = p n + q n , q 0 = 1.Queste sequenze hanno un valore intero strettamente positivo, quindi strettamente crescente per induzione, e verificano
p n ² - 2 q n ² = (−1) n ( p 0 ² - 2 q 0 ²)così che p n / q n tende a √2.
Non è noto se l'intenzione di Theon di Smyrna fosse quella di calcolare un valore approssimativo di √2.
Soluzioni dell'equazione diofantina a ²− 2 b ² = kLe soluzioni intere dell'equazione a ² - 2 b ² = k sono generate per induzione
a m + 1 = 3 a m + 4 b m b m + 1 = 2 a m + 3 b mdai valori iniziali ( a 0 , b 0 ) = (1, 1) per k = −1 e (3, 2) per k = 1.
Questo metodo è dedotto da quello di Théon: ogni iterazione del presente corrisponde a due iterazioni di quello. Pertanto, a n / b n tende linearmente verso √2.
Le prime soluzioni sono:
Diamo a noi stessi ( a , b ), ottenuto con il metodo di Theon, che è quindi una soluzione di una delle due precedenti equazioni diofantine 2b 2 = a 2 - k = K, con k = ± 1 e K> 1. Possiamo allora Scrivi
√2 = ( a / b ) √ K / (K + k )Le sequenze p n e q n definite da
p n + 1 = (2K + k ) p n + 2K q n , p 0 = 1; q n + 1 = (2K + 2 k ) p n + (2K + k ) q n , q 0 = 1.dai un'occhiata
(K + k ) p n + 1 2 - K q n + 1 2 = (K + k ) p n 2 - K q n 2 =… = k ,e quindi, come sopra, la successione p n / q n converge a √ K / (K + k ) = ( b / a ) √ 2 . Inoltre, se k = 1, questa sequenza è crescente quindi si avvicina a questo valore di default, e se k = –1, è decrescente quindi si avvicina a questo valore per eccesso.
Possiamo usare questa relazione per stimare l'errore:
ε n + 1 ≃ ε n (4K + 3 k ) −2ed è un aumento se k = 1. La convergenza è quindi lineare : salva un numero approssimativamente costante di decimali ad ogni iterazione.
Questo metodo corrisponde a una generalizzazione del metodo del paragrafo precedente al radicale √ K / (K + k ) . Per K maggiore, la sequenza ( q n ) cresce più velocemente, quindi la convergenza è accelerata.
iterazione | valore frazionario | decimali esatti |
0 | 1 | 1 |
1 | 19 601/13 860 | 1.414 213 56 |
2 | 22 619 537/15 994 428 | 1.414 213562 373 09 |
3 | 26102926 097/18 457 556052 | 1.414 213562 373095 048 80 |
4 | 30122754096401/21 300003 689580 | 1.414 213562 373095 048801688 72 |
Un altro metodo consiste nell'accostare b √2 - a dalla sua frazione continua generalizzata per ( a , b ) soluzione dell'equazione diofantina 2 b 2 = a 2 - k , con k = ± 1:
b √2 - a = [0; - k , 2 a ; - k , 2 a ; - k , 2 a …] è approssimato usando la sequenza ( p n / q n ) determinata dalla relazione di ricorrenza p n + 1 = q n q n + 1 = 2 aq n + kp nL'errore viene verificato in modo asintotico
ε n + 1 <| b √2 - a | / (2 a - 1) ε niterazione | valore frazionario | decimali esatti |
0 | 1 | 1 |
1 | 114 243/80 782 | 1.414 213.562 |
2 | 54 608 393/38 613 965 | 1.414 213562 373 09 |
3 | 26102926 097/18 457 556052 | 1.414 213562 373095 048 80 |
4 | 12477253 282759/8 822750 406 821 | 1.414 213562 373095 048801688 7 |
Diamo a noi stessi ( a , b ) la soluzione dell'equazione diofantina 2b 2 = a 2 - k = K, con k = ± 1. Possiamo quindi scrivere √ K / (K + k ) come somma di una serie tramite l'espansione in serie intera di (1+ z ) -½ (o la formula binomiale generalizzata , variante semplice dell'esposizione).
e usa √2 = ( a / b ) √ K / (K + k ) .
Con a = 7, b = 5 (i.e. K = 50, k = -1) e quindi √2 = (7/5) √ 50/49 , i primi termini della serie sono particolarmente semplici, come ha sottolineato Leonhard Euler in 1755 :
iterazione | valore frazionario | decimali esatti |
0 | 1 | 1 |
1 | 239/169 | 1.414 2 |
2 | 6238763163557/4 411471739168 | 1.414 213 562 373 09 |
3 | 712741 258 857 407 103/503 984177369508992 | 1.414 213 562 373095 048 |
4 | 325705649507622500000000/230 30867343760875000000 | 1.414 213562 373095 048 801 688 |
È possibile avvicinarsi a √2 per bisezione . Questo metodo è di lenta convergenza lineare: si guadagnano tre cifre decimali per ogni dieci iterazioni.
Il metodo di Newton applicato alla funzione radice quadrata calcola un valore approssimativo di √2 iterativamente con una convergenza quadratica, cioè raddoppiando il numero di cifre decimali ad ogni iterazione. La ricorrenza ha la forma
u n + 1 = u n / 2 + 1 / u nQuesto algoritmo è chiamato metodo di Heron o metodo babilonese perché sembra essere quello utilizzato dai babilonesi per trovare valori approssimativi di radici quadrate.
Se siamo interessati alle frazioni successive a partire da un valore iniziale p 0 e q 0 , la ricorrenza sul numeratore e sul denominatore sono
p n + 1 = p n ² + 2 q n ² q n + 1 = 2 p n q niterazione | valore frazionario | decimali esatti |
0 | 1 | 1 |
1 | 3/2 | 1 |
2 | 12/17 | 1.41 |
3 | 577/408 | 1.414 21 |
4 | 665 857/470 832 | 1.414 213 562 37 |
5 | 886 731 088 897/627 013 566048 | 1.414 213562 373095 048801 68 |
Il metodo di Halley è un esempio di metodo cubico. Cerca lo zero di ƒ ( x ) = x ² - 2 utilizzando le prime due derivate . La soluzione iterativa è
x n + 1 = x n × ( x n ² + 6) / (3 x n ² + 2)o impostando x n = p n / q n :
p n + 1 = p n ( p n ² + 6 q n ²) q n + 1 = q n (3 p n ² + 2 q n ²)Questo metodo è di convergenza cubica: il numero di decimali esatti triplica ad ogni iterazione.
iterazione | valore frazionario | decimali esatti |
0 | 1 | 1 |
1 | 7/5 | 1.4 |
2 | 1393/985 | 1.414.213 |
3 | 10812 186 007/7 645 370 045 | 1.414 213 562 373095 048 |
4 | - | 213 562 373 1.414 095 048 801 688 724 209 698 100.000 6 718 753 769 480 731 000 000 |
L' iterazione Householder applicata a ƒ ( x ) = 1 / x ² - 1 / √2 dà una sequenza convergente a 1 / √2:
x n + 1 = x n + x n / 8 × (2 x n ² - 1) (6 x n ² - 7)Usiamo un metodo di Newton modificato per trovare lo zero di ƒ ( x ) = 1 / x ² - 1/2. Questo dà la sequenza ricorrente:
x n + 1 = x n + x n / 16 × (8 h n + 6 h n ² + 5 h n ³)con
h n = 1 - x n ² / 2Questo metodo è di convergenza quartica , cioè di ordine 4: il numero di cifre significative corrette quadruplica (asintoticamente) ad ogni iterazione.
iterazione | valore frazionario | decimali esatti |
0 | 3/2 | 1 |
1 | 23 169/2 14 | 1.414 |
2 | 57367 3174781810000000000000000/2 105 | 1.414 213 562 373 09 |
3 | - | 213 562 373 1.414 09 5 048 801 688 724 209 6 980 785 696 718 753 76 948 073 176 679 737 |
Esistono metodi di ordine superiore, soprattutto tra i metodi Householder.
Ludmila Duchêne e Agnès Leblanc, Rationnel mon Q , Hermann ,2009( presentazione online ) (dimostrazioni dell'irrazionalità della radice di 2)