Sequenza geometrica

Esempi

In matematica , una sequenza geometrica è una sequenza di numeri in cui ogni termine permette di dedurre il successivo moltiplicando per un fattore costante chiamato ragione . Quindi, una sequenza geometrica ha la seguente forma:

a, \ aq, \ aq ^ {2}, \ aq ^ {3}, \ aq ^ {4}, \ \ ldots

La definizione può essere scritta sotto forma di relazione di ricorrenza , cioè per ogni numero naturale $n$ :

u_ {n + 1} = q \ volte u_ {n} \; \ \ u_ {0} = a

Questa relazione è caratteristica della progressione geometrica che si ritrova ad esempio nell'evoluzione di un conto in banca con anatocismo o nella composizione di intervalli musicali . Consente inoltre di modellare una crescita esponenziale (in cui la variazione è proporzionale alla quantità) mediante un processo a tempo discreto .

Le successioni geometriche soddisfano una formula generale per il calcolo dei termini e per le serie associate. Possono anche essere usati per calcolare soluzioni particolari per relazioni di ricorrenza lineare .

Campo di applicazione

La successione geometrica è uno strumento privilegiato per lo studio di fenomeni con crescita o decremento esponenziale (è l'equivalente discreto di una funzione esponenziale ), oppure lo studio di popolazioni la cui dimensione raddoppia o si dimezza in un intervallo di tempo (periodo) costante.

Esempio:

Il carbonio 14 14 C è un atomo radioattivo il cui periodo o emivita di T = 5730 anni (circa 40 anni). Ciò significa che, in caso di fermo del sistema (fine degli scambi con l'esterno), la quantità di carbonio-14 si dimezza ogni 5.730 anni.

N

è la quantità di 14 C nel sistema, dopo T anni (T = 5.730 anni), rimangono solo N/2 nuclei di 14 C. Alla fine di 2T, sono rimasti solo N/4 core. Alla fine di 3T rimangono solo N /8 nuclei. Se chiamiamo

N n

la quantità di nuclei 14 C alla fine di

n

periodi, la successione

( N n )

è geometrica con rapporto 1/2.

Osserviamo sequenze geometriche in natura. Ad esempio, il sistema planetario HD 158259 ha da quattro a sei pianeti i cui periodi orbitali formano quasi una sequenza geometrica della ragione $3 / 2$ .

Troviamo suite geometriche nel sistema bancario con il calcolo dell'interesse composto .

Esempio:

Un capitale $C 0$ investito al 5% produce un interesse di $0,05 \times C 0$ dopo un anno . Questi interessi aggiunti al capitale danno un nuovo capitale $C 1 = 1,05 \times C 0$ . Ripetendo il processo ogni anno, creiamo una sequenza geometrica di rapporto 1,05 perché $C n + 1 = 1,05 \times C n$ .

Si trovano anche in musicologia . Partendo da una certa frequenza iniziale, la sequenza di ottave corrisponde ad una progressione geometrica di rapporto 2 (che va verso gli acuti), la sequenza di quinte pure (quelle dell'accordo pitagorico ) ad una progressione geometrica di rapporto 3/2, la sequenza di semitoni della scala temperata ad una progressione geometrica della ragione la dodicesima tonica di 2. La scala temperata usa solo dodici quinte pure, (3/2) 12 ≈ 129.746, che valgono “quasi” 7 ottave, 2 7 = 128, vale a dire che due successioni geometriche dello stesso valore iniziale, una di rapporto 3/2 l'altra di rapporto 2, che non possono coincidere precisamente in nessun punto, coincidono approssimativamente per questi valori.

Termine generale

Se K è un campo commutativo - per esempio ℝ (campo dei numeri reali ) o ℂ (campo dei complessi ) - e se è una successione geometrica di K di rapporto q ∈ K allora, per ogni intero naturale n : $(u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}$

u_ {n} = u_ {0} q ^ {n}

(incluso se $q$ e $n$ sono zero, con la convenzione 0 0 = 1 ).

Una successione geometrica è quindi interamente determinata dai dati del suo primo termine e dalla sua ragione q .

Una successione geometrica può essere definita anche da qualsiasi rango $n 0$ , cioè per ogni $n \geq n 0$ , da:

u_ {n} = u_ {n_ {0}} q ^ {n-n_ {0}}

che segue la stessa relazione di ricorrenza. Questo caso è riportato al caso precedente ponendo $v n = u n 0 + n$ che è geometrico con lo stesso motivo di $u n$ da $v 0 = u n 0$ .

Direzione di variazione e convergenza

Assumeremo $u 0$ non zero.

Direzione di variazione

Questo paragrafo riguarda le successioni geometriche con valori in .

se $q <0$ la sequenza non è monotona e oscilla alternativamente in numeri negativi e positivi. Si dice che sia alternativo .
Se q∈[0;1[{\ stile di visualizzazione q \ in [0; 1 [} $q \ in [0; 1 [$
- se $u 0 > 0$ , la successione è positiva decrescente
- se $u 0 <0$ , la sequenza è negativa crescente
Se q∈]1;+∞[{\ displaystyle q \ in] 1; + \ infty [} $q \ in] 1; + \ infty [$
- se $u 0 > 0$ , la sequenza è positiva crescente
- se $u 0 <0$ , la sequenza è negativa decrescente
se $q = 1$ la successione è costante.

Convergenza

si , la sequenza diverge e non ha limiti. In ℝ , i valori di adesione sono $+ \infty$ e $-\infty$ . $q <-1 \,$
se , la sequenza diverge e ha due valori di adesione: $u$ $0$ e $-$ $u$ $0$ $q = -1 \,$
se , la successione converge a 0 $| q | <1 \,$
se , la successione è costante e converge a $u$ $0$ $q = 1 \,$
se , la successione è divergente ma ha limite uguale a q>1{\ stile di visualizzazione q> 1 \,} $q> 1 \,$
- $+ \ infty$ per $u 0 > 0$
- $- \ infty$ per $u 0 <0$

Dimostrazioni

Supponiamo, senza perdita di generalità , $u 0 = 1$ .

Se $q \leq 0 si$ riduce al caso $q \geq 0$ esaminando le due sottosuccessioni degli indici pari e degli indici dispari. I casi $q = 0$ e $q = 1$ sono immediati.

Se $0 < q <1$ allora la successione $( q n )$ è decrescente e positiva, quindi converge ad un reale $ℓ \geq 0$ . La successione $( q n +1 )$ converge quindi sia verso $ℓ$ - come sottosuccessione di $( q n )$ , o per il teorema dei gendarmi poiché $0 \leq q n +1 \leq q n$ - e verso $q ℓ$ - come prodotto di $( q n )$ per la costante $q$ - quindi $ℓ = q ℓ$ (per unicità del limite). Poiché $q \neq 1$ , concludiamo che $ℓ = 0$ .
Se $q > 1$ , possiamo abbassare $q n$ , usando la formula binomiale o la disuguaglianza di Bernoulli : $q n \geq 1 + n ( q - 1)$ . Poiché $q - 1> 0$ , la successione aritmetica $(1 + n ( q - 1))$ tende a $+ \infty$ quindi anche la successione $( q n )$ .

Nota: andando al contrario, possiamo dedurre ciascuno di questi due casi dall'altro, o adattare il metodo di uno per riavviare direttamente l'altro.

se , la successione converge a 0. $\ sinistra | q \ destra | <1$
si , il resto è divergente. $\ sinistra | q \ destra |> 1$
se $q = 1$ , la successione è costante e converge a $u 0$ .
se e , il risultato diverge. $q \ neq 1$ $\ sinistra | q \ destra | = 1$

Crescita comparata

Consideriamo qui sequenze con valori in .

Si mostra (dalla formula binomiale o disuguaglianza di Bernoulli ) che per ogni intero n e per ogni t reale positivo . Questa disuguaglianza permette di affermare che una successione geometrica di ragione $1 +$ $t$ e di primo termine $a$ cresce più velocemente di una successione aritmetica di ragione $a$ $\times$ $t$ . Tuttavia, in pratica, per valori piccoli di t e valori ragionevoli di $n$ , le due sequenze sono quasi le stesse. Questa approssimazione è giustificata matematicamente dallo sviluppo limitato all'ordine 1 quando t tende a 0: che fornisce l'approssimazione . $(1 + t) ^ {n} \ geq 1 + nt$ $(1 + t) ^ {n} = 1 + nt + o (t)$ $~ (1 + t) ^ {n} \ circa 1 + nt$

Illustrazione con a = 1000 e t = 0,004, ovvero un motivo a × t = 4:

non	progressione aritmetica	sequenza geometrica
0	1000	1000
1	1.004	1.004
2	1.008	1.008.016
3	1.012	1.012.048
4	1.016	1.016.096
5	1.020	1.020.161
6	1.024	1,024.241
7	1.028	1.028.338
8	1.032	1.032.452
9	1.036	1,036,581
10	1.040	1.040.728
11	1.044	1,044.891
12	1.048	1.049.070

Questa approssimazione consente l'utilizzo finanziario come tasso di interesse mensile del 12 ° tasso annuo t , invece di assumere il valore esatto ; più basso è il tasso, meglio è. ${\ sqrt [{12}] {1 + t}} - 1$

Somma dei termini

La somma dei primi n + 1 termini di una successione geometrica $( u k )$ $k$ ∈ ℕ di rapporto $q \neq 1$ verifica: $\ sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} = u_ {0} + \ cdots + u_ {n} = u_ {0} (1 + q + \ cdots + q ^ {n}) = u_ { 0} {\ frac {1-q ^ {n + 1}} {1-q}} \ \ (q \ neq 1)$ (si veda l'articolo Serie geometriche , sezione Termine generale per le dimostrazioni).

Quando q = 1, la sequenza è costante e u 0 +… + u n = ( n +1) u 0 .

La formula può essere generalizzata da qualsiasi rango m , essendo geometrica anche la successione $( u m + k )$ $k$ ∈ ℕ . Più in generale se la successione $( u k )$ segue una progressione geometrica tra m ed n , che è quindi di lunghezza n - m + 1, si ha la seguente formula quando la ragione q è diversa da 1:

$\ sum _ {k = m} ^ {n} u_ {k} = u_ {m} ~ {\ frac {1-q ^ {n-m + 1}} {1-q}} = {\ text {primo termine} } \ times {\ dfrac {1 - {\ text {motivo}} ^ {\ text {numero di termini}}} {1 - {\ text {motivo}}}}.$

Il valore della somma dei termini di una progressione geometrica è dimostrato nel Libro IX degli Elementi di Euclide , Teorema 33 Proposizione XXXV, per interi maggiori di 1 (ma con un metodo generale). La proposizione afferma che, in una progressione geometrica, le differenze tra il primo e il secondo termine da un lato e il primo e l'ultimo termine dall'altro sono proporzionali rispettivamente al primo termine e alla somma di tutti i termini precedenti .l'ultimo. O in linguaggio algebrico ${\ frac {u_ {0}} {u_ {1} -u_ {0}}} = {\ frac {u_ {0} + u_ {1} + \ cdots + u_ {n-1}} {u_ {n } -u_ {0}}}$

Note e riferimenti

" Un sistema di sei pianeti (quasi) in ritmo " , Università di Ginevra ,16 aprile 2020(consultato il 6 maggio 2020 ) .
Jean-Pierre Marco e Laurent Lazzarini, Matematica L1 , Pearson ,2012( leggi in linea ) , p. 597.
Jean-Pierre Ramis , André Warusfel et al. , Matematica: All-in-one per la Licenza - Livello L1 , Dunod , coll. "Sup Scienze",2013, 2 ° ed. ( 1 ° ed. 2006) ( leggere online ) , p. 538, prop. 16 e pag. 526 , prop. 8.
(in) Walter Rudin , Principi di analisi matematica , McGraw-Hill ,1976, 3 e ed. ( 1 ° ed. 1953) ( linea di lettura ) , p. 57, teorema 3.20e.
(in) Steen Pedersen Dal calcolo all'analisi , Springer ,2015( leggi in linea ) , p. 30.
Jean-Pierre Marco e Laurent Lazzarini , Matematica L1: Corso completo con 1000 prove ed esercizi corretti , Paris, Pearson ,2012, 1073 pag. ( ISBN 978-2-7440-7607-7 , leggi in linea ) , p. 121.
I quindici libri degli elementi geometrici di Euclide, traduzione di D. Henrion, 1632, pp.344-345 ; una dimostrazione in linguaggio algebrico moderno basata sullo stesso principio è data in serie geometrica # Proof_utilant_des_règles_de_proportionnalité .