In matematica , e in particolare nell'aritmetica elementare , il teorema fondamentale dell'aritmetica o del prodotto della scomposizione in fattori primi recita: qualsiasi intero strettamente positivo può essere scritto come prodotto di numeri primi in un modo unico, da ordinare vicino ai fattori .
Ad esempio, possiamo scrivere che: 6.936 = 2 3 × 3 × 17 2 o anche 1.200 = 2 4 × 3 × 5 2 e non c'è altra fattorizzazione di 6.936 o 1.200 come prodotti di numeri primi, se non riordinando i fattori di cui sopra .
Il numero 1 è il prodotto di zero numeri primi (vedi prodotto vuoto ), quindi il teorema è vero anche per 1.
Questo risultato può essere generalizzato ad altri insiemi: anelli fattoriali , come quello dei polinomi con coefficienti in numeri reali o complessi (cfr. “ Aritmetica dei polinomi ”).
Nel libro VII dei suoi Elementi , Euclide afferma una proposizione più debole, sufficiente per certe applicazioni: ogni numero non primo è divisibile per un numero primo. Ma dal suo tempo, la scomposizione di un numero in fattori primi è nota e comunemente usata. Se il teorema non è enunciato in tutta la sua generalità, è essenzialmente perché il formalismo dell'epoca, privato tra l'altro di poteri, non permetteva di esprimerlo semplicemente.
Nel 1801 nel suo libro Disquisitiones arithmeticae , Carl Friedrich Gauss sviluppò l' aritmetica su altre strutture . L'esistenza di una fattorizzazione è estesa agli interi relativi , ai polinomi con coefficienti in un campo commutativo nonché ad un nuovo anello di interi algebrici , gli interi gaussiani . La nozione di numero primo viene quindi estesa. Si applica allo stesso modo per i polinomi irriducibili oi numeri primi di Gauss . In tutti questi casi la scomposizione è completata da un fattore corrispondente ad un elemento invertibile : nel caso di interi relativi, il fattore è pari a +1 se il numero è positivo ea –1 se è negativo.
La scomposizione in fattori primi generalizza a una classe più ampia di anelli: gli anelli fattoriali .
La dimostrazione si compone di due parti. Dobbiamo mostrare:
La seguente prova di esistenza si basa sul principio di ricorrenza . Le varianti applicano il metodo della discesa infinita .
Grazie alla scelta di cui sopra di un " p più piccolo " (invece, se n non è primo, di qualsiasi scomposizione n = ab con 1 < a , b < n ), questa dimostrazione rende un algoritmo (non molto efficiente però) di scomposizione di a numero naturale in un prodotto di numeri primi.
La prova dell'unicità si ottiene dal lemma di Euclide secondo il quale, se un numero primo p divide un prodotto ab , allora divide a o divide b . Ora prendiamo due prodotti di numeri primi uguali. Prendiamo un qualsiasi numero primo p del primo prodotto. Divide il primo prodotto, e quindi anche il secondo. Per quanto sopra, p deve quindi dividere almeno un fattore nel secondo prodotto. Ma i fattori sono tutti numeri primi stessi, quindi p deve essere uguale a uno dei fattori del secondo prodotto. Possiamo quindi semplificare per p i due prodotti. Proseguendo in questo modo, vediamo che i fattori primi dei due prodotti coincidono precisamente.
Il teorema fondamentale dell'aritmetica è legato al fatto che ogni numero naturale maggiore o uguale a 2 ammette un fattore primo (vedi la dimostrazione dell'esistenza della scomposizione in fattori primi). Euclide usò questo risultato per mostrare che i numeri primi sono in quantità inesauribile: per una famiglia finita di primi p 1 , p 2 ,…, p n , il minimo divisore maggiore o uguale a 2 dell'intero 1 + p 1 p 2 … p n è un numero primo che non è nella famiglia iniziale. Di conseguenza, nessuna famiglia finita contiene tutti i numeri primi (cfr. “ Teorema di Euclide sui numeri primi ”).
Il teorema fondamentale interviene esplicitamente nello studio delle funzioni additive e moltiplicative . In particolare, qualsiasi funzione completamente moltiplicativa è determinata in modo univoco dai valori presi dagli interi primi.