Standard operatore
In matematica , e più particolarmente nell'analisi funzionale , una norma operatore o norma subordinata è una norma definita sullo spazio di operatori limitati tra due spazi vettoriali normati . Tra due di questi spazi, gli operatori limitati non sono altro che mappe lineari continue .
Su un corpo K "valore" (nel senso fornito con un valore assoluto ) e non discreto (tipicamente K = R o C ) sono E ed F due spazi normati rispettivamente provvisti degli standard ‖ ‖ 1 e ‖ ‖ 2 .
Lasciate che f sia una mappatura lineare di E in F . Considera .
Se N < + ∞ , diciamo che N è la norma dell'operatore f , subordinato a ‖ ‖ 1 e ‖ ‖ 2 .
Proprietà
- N è finito se e solo se esistono numeri reali C tali che, per ogni v ∈ E , ‖ f ( v ) ‖ 2 ≤ C ‖ v ‖ 1 (in altre parole: tali che f è C - Lipschitziano ), e in questo caso, N è uguale al più piccolo di questi effettivo C .
- Se N è finito allora f è N - Lipschitziano e di conseguenza uniformemente continua , quindi continua, quindi continua in 0. Viceversa, se f è continua in 0, allora N è finito (la dimostrazione, classica per K = R o C , è generalizzata ).
- N è finito se e solo se l'immagine di f di qualsiasi parte delimitata di E (o semplicemente: della palla unitaria) è delimitata. Questo spiega il nome di operatori limitati dato anche mappature lineari continui di E in F .
- Nello spazio delle mappe lineari da E a F , il sottospazio di quelle continue può quindi essere fornito con la norma subordinata. Quindi l'applicazione bilineare è continua.
- Se E è di dimensione finita, qualsiasi mappatura lineare E in F è continua: .
- se K = R o C , anche N è uguale aNella dimensione infinita, questo limite superiore non è sempre raggiunto (cfr. " Caso estremo della disuguaglianza di Hölder ").
Analisi approfondita
Una norma operatore soddisfa gli assiomi di una norma, così che lo spazio degli operatori lineari limitati da E a F è esso stesso uno spazio normato. È completo se F è completo.
Due regole distinte sono coinvolte qui: quello sulla E e quello della F . Anche se E = F , è possibile considerare due norme distinte su questi spazi. In particolare l'operatore di identità su E , per due norme ‖.‖ e |||. ||| su E , ha una norma operatore, passando da E con ‖.‖ a |||. |||, se e solo se esiste una costante C tale che, per ogni v , ||| v ||| < C ‖ v ‖. Quando E è di dimensione finita su K = R o C , questa proprietà è garantita: ad esempio, nel caso E = R 2 , le condizioni ‖ v ‖ = 1 e ||| v ||| = 1 può definire rispettivamente un rettangolo e un'ellisse, centrati su 0. Qualunque siano le loro proporzioni e orientamenti, possiamo ingrandire il rettangolo in modo che l'ellisse si trovi all'interno del rettangolo ingrandito e viceversa . Tuttavia, questo è un fenomeno legato alla dimensione finita e alla completezza di K perché nella dimensione finita su un tale campo, tutti gli standard sono equivalenti . Ciò comporta, tra l'altro, la loro equivalenza topologica: tutti gli standard definiscono la stessa topologia , le stesse aperture.
Nel caso di K = R o C ed E = K n , è possibile mostrare direttamente che N è finito. Infatti, (per qualsiasi norma ‖.‖ 1 ), la funzione E → R , v ↦ ‖ f ( v ) ‖ 2 è continua e la sfera unitaria (l'insieme dei vettori v della norma 1) è compatta , in quanto parte chiusa e delimitato. La norma dell'operatore di f è uguale al limite superiore di questa mappa su questa sfera. In questo caso, per ragioni di compattezza, si giunge quindi al finito. Ma nella dimensione infinita, questo non è vero. Ciò può essere visto considerando, ad esempio, l'operatore derivativo D dei polinomi trigonometrici. Possiamo prendere come norma la radice quadrata della media del quadrato: poiché D (e i nx ) = i n e i nx , le norme di D applicate a spazi di dimensione finita dello spazio di Hilbert H sono illimitate. Un operatore semplice come D potrebbe non avere uno standard di operatore. Un teorema di base usa il teorema di Baire per mostrare che se A ha uno spazio di Banach come dominio e immagine , allora A è limitato. Per l'esempio appena dato, D non può essere definito per tutte le serie di Fourier di quadrati integrabili. Sappiamo infatti che possono rappresentare funzioni continue ma in nessun luogo differenziabili. L'intuizione è che se A aumenta le norme di alcuni vettori quanto si vuole, è possibile condensare le singolarità - scegliere un vettore v che sia la somma degli altri e per cui ‖ L ( v ) ‖ non potrebbe non essere terminato - che mostra che l'area A non può essere H .
Norma di un endomorfismo
Nel caso in cui E = F , di solito si sceglie (anche se non è obbligatorio) ‖ ‖ 1 = ‖ ‖ 2 .
Per le normali norme, abbiamo formule pratiche: prendiamo E = R n e f ∈ L ( E ). Includere un vettore di R n e la matrice f nella base canonica . Abbiamo quindi:
- Se (indice di norma infinito o norma infinita), la norma di f è:
- Se (indice di norma 1), la norma di f è uguale a:
- Se (norma euclidea, associata al prodotto scalare canonico ), allora la norma di f è la radice quadrata di quella di f * ∘ f , dove f * denota l' aiutante di f . Per ogni endomorfismo simmetrico g (in particolare per g = f * ∘ f ), la norma di g è uguale al suo raggio spettrale, che è il massimo dei valori assoluti dei suoi autovalori. La norma di f è quindi il suo massimo valore singolare . Questo generalizza sostituendo R n con qualsiasi spazio di Hilbert .
Qualsiasi norma N su ℒ ( E ) subordinata a una norma ‖.‖ su E è una norma algebrica , con in aggiunta:
- N (id E ) = 1 e
- per ogni vettore unitario e per ogni cosa , (secondo il teorema di Hahn-Banach ).
Anzi, se lo chiediamo
controlliamo tutte le proprietà attese di , ma il metodo precedente fornisce come standard la norma classica, di cui la norma subordinata (cfr. sopra) non lo è .
Doppio standard
Nel caso in cui F = R normalizzato dal valore assoluto se E è uno spazio vettoriale reale (o F = C normalizzato dal modulo se E è uno spazio vettoriale complesso), per ogni norma su E , lo spazio delle forme lineari continue su E , chiamato duale topologico , può quindi essere dotato di una norma.