Algebra associativa su un campo

In matematica , un'algebra associativa su un campo (commutativa) è una delle strutture algebriche utilizzate in algebra generale . È uno spazio vettoriale in cui si definisce anche una moltiplicazione di vettori, che ha proprietà di bilinearità (in particolare di distributività ) e di associatività . In altre parole, è sia un'algebra associativa che un'algebra su un campo .

Definizione

Un'algebra associativa su un campo commutativo , chiamata anche algebra associativa, è uno spazio vettoriale su dotato di una moltiplicazione bilineare tale che A{\ displaystyle A} K{\ displaystyle \ mathbb {K}}K{\ displaystyle \ mathbb {K}}K{\ displaystyle \ mathbb {K}} A×A→A{\ displaystyle A \ times A \ to A}

• ( Xy ) z = x ( yz ) per ogni x , y e z in ,A{\ displaystyle A}

dove l'immagine di (x, y) è indicata con xy .

Se contiene un'unità, cioè un elemento 1 tale che 1 x = x = x 1 per ogni x in , allora è chiamata algebra associativa unificata o unitaria. Tale algebra è un anello e contiene il campo base identificando c in con c 1 in . A{\ displaystyle A}A{\ displaystyle A}A{\ displaystyle A}K{\ displaystyle \ mathbb {K}}K{\ displaystyle \ mathbb {K}}A{\ displaystyle A}

La dimensione di un'algebra associativa su un campo è la sua dimensione come spazio vettoriale su . A{\ displaystyle A}K{\ displaystyle \ mathbb {K}}K{\ displaystyle \ mathbb {K}}

Esempi

Algebre commutative e unificate

• I numeri complessi formano un'algebra associativa, dimensione commutativa e unitaria 2 del corpo dei numeri reali .VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
• I polinomi con coefficienti sotto forma di algebra associativa, commutativa e unitaria di dimensione infinita su .K{\ displaystyle \ mathbb {K}}K{\ displaystyle \ mathbb {K}}

Algebre non necessariamente commutative

• L'insieme degli endomorfismi di uno spazio ? vettoriale di dimensione finita di n , dotato della somma, della moltiplicazione per uno scalare e della composizione, forma una ?-algebra associativa unitaria di dimensione finita n² , non commutativa a meno che n = 1.
• L'insieme di n × n matrici con coefficienti in ?, fornito con la somma, la moltiplicazione per uno scalare e il prodotto di matrice, è una ?-algebra associativa unitaria isomorfa alla precedente (quindi della stessa dimensione): l'applicazione che a un endomorfismo associa la sua matrice in una base fissa è un isomorfismo di ?-algebre (vedi matrice di una mappa lineare ).
• Più in generale, per ogni ?-spazio vettoriale V (di dimensione finita o meno), gli endomorfismi di V formano una ?-algebra associativa unitaria e non commutativa a meno che V sia di dimensione uguale a 1.
• Il quaternione forma un'algebra associativa, dimensione 4 unitaria e non commutativa sul corpo dei numeri reali .
• Le algebre simmetriche e le algebre esterne di uno spazio vettoriale sono algebre associative.
• Le algebre avvolgenti delle algebre di Lie sono algebre associative.
• Le algebre di incidenza di ordini parziali algebre associative localmente finite sono usate in combinazione .

Controesempi

• L' algebra di Lie sono algebre non associative.
• Gli ottoni formano un'algebra unitale non associativa e non commutativa.(O,+,⋅,×){\ displaystyle (\ mathbb {O}, +, \ cdot, \ times)}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Vedi anche

• Algebra associativa (su un anello)
• Algebra di Clifford
• Algebra avvolgente
• Algebra tensoriale

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