Anello topologico

In matematica , un anello topologico è un anello dotato di una topologia compatibile con le operazioni interne , cioè tale che l'addizione, la mappa opposta e la moltiplicazione siano continue .

Un campo topologico è un campo dotato di una topologia che rende continua l'addizione, la moltiplicazione e l'applicazione inversa.

Queste strutture estendono la nozione di gruppo topologico .

Esempi

• Tutti i normali campi numerici ( razionale , reale , complesso , p -adico ) hanno una o più topologie classiche che li rendono campi topologici. Si tratta essenzialmente di topologie indotte dalla distanza usuale o dalla distanza p -adica .
• L'insieme delle applicazioni da un insieme ad un anello topologico costituisce un anello topologico per la topologia della convergenza semplice . Quando l'insieme è esso stesso uno spazio topologico, il sottoanello delle funzioni continue è un anello topologico per la topologia compatto-aperto .X{\ displaystyle X}X{\ displaystyle X}
• Qualsiasi algebra normale è un anello topologico.
• Qualsiasi sottoanello di un anello topologico è un anello topologico per la topologia indotta.
• Qualsiasi anello dotato della topologia discreta o della topologia grossolana costituisce un anello topologico.

I -adic topologia

Dato un anello commutativo e un ideale di , la topologia -adica di è definita dalla base di intorno in ogni punto della forma :, dove descrive tutti gli interi naturali. R{\ displaystyle R} io{\ displaystyle I}R{\ displaystyle R}io{\ displaystyle I}R{\ displaystyle R}X{\ displaystyle x}R{\ displaystyle R}X+ionon{\ displaystyle x + I ^ {n}}non{\ displaystyle n}

Questa topologia rende l'anello un anello topologico, che viene separato se e solo se l'intersezione delle potenze dell'ideale è ridotta all'elemento zero: R{\ displaystyle R}io{\ displaystyle I}

⋂non∈NONionon={0}{\ displaystyle \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} I ^ {n} = \ {0 \}}.

In questo caso la topologia può essere misurata con una distanza ultrametrica definita come segue:

per tutti i ≠ elementi di ,X{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}R{\ displaystyle R} d(X,y)=1/2K{\ displaystyle d (x, y) = 1/2 ^ {k}} dov'è il potere più grande dell'ideale che contiene la differenza .K{\ displaystyle k}X-y{\ displaystyle xy}

La topologia p -adic su interi relativi è quindi costruita con l'ideale dei multipli interi di . io{\ displaystyle I}p{\ displaystyle p}

Completamento di un anello metrizzabile

Quando una topologia ad anello è metrizzabile, le operazioni si estendono continuamente (in modo univoco) fino al suo completamento metrico , che diventa così l' anello completato  (in) .

Appunti

1. La continuità dell'applicazione opposta viene verificata automaticamente se l'anello è unitario .
2. Esistono, tuttavia, anelli topologici che sono corpi senza soddisfare quest'ultima condizione.

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