Raggio di convergenza

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Il raggio di convergenza di una serie intera è il numero reale positivo o $+$ uguale al limite superiore dell'insieme dei moduli dei numeri complessi in cui la serie converge (nel senso classico di convergenza semplice ):

{\ displaystyle R = \ sup \ left \ {| z |: z \ in \ mathbb {C}, \ sum a_ {n} z ^ {n} {\ text {converge semplicemente}} \ right \} \ in \ , [0, + \ infty] = {\ overline {\ mathbb {R} ^ {+}}}.}

Proprietà

Se $R$ è il raggio di convergenza di una serie di potenze, allora la serie converge assolutamente sul disco aperto $D (0, R )$ dal centro $0$ e raggio $R$ . Questo disco è chiamato disco di convergenza . Questa convergenza assoluta determina quella che a volte viene chiamata convergenza incondizionata : il valore della somma in qualsiasi punto di questo disco non dipende dall'ordine dei termini. Ad esempio, abbiamo:

$\ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {a_ {n} z ^ {n}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} a _ {{2n}} z ^ {{2n}} + \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} a _ {{2n + 1}} z ^ {{2n + 1}}$ ;
${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {a_ {n} b_ {k} z ^ {n + k}} = \ left ( \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n} \ destra) \ sinistra (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} b_ {k} z ^ {k} \ destra) \ \ \ forall | z | <\ min (R_ {1}, R_ {2})}$ , dove e sono i raggi di convergenza delle due intere serie (vedi prodotto di Cauchy ). $R_1$ $R_2$

Se l'intera serie ha raggio di convergenza $R$ , allora: $\ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {a_ {n} z ^ {n}}$

la convergenza è anche normale (quindi uniforme ) su qualsiasi compatto compreso in $D (0, R )$ ;
per ogni complesso $z$ tale che $| z | > R$ , la serie diverge grossolanamente ;
per ogni complesso $z$ tale che $| z | = R$ , la serie può divergere o convergere;
l'inverso del raggio $R$ è dato dal teorema di Cauchy-Hadamard : dove $lim sup$ denota il limite superiore ; ${\ frac 1R} = \ limsup _ {{n \ a \ infty}} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} \ leq \ limsup _ {{n \ a \ infty}} \ sinistra | {\ frac {a _ {{n + 1}}} {a_ {n}}} \ destra |$
se $R$ non è zero, allora la somma $f$ dell'intera serie è una funzione olomorfa su $D (0, R )$ , dove abbiamo ${\ displaystyle f ^ {(k)} (z) = \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} {\ frac {n!} {(nk)!}} a_ {n} z ^ {nk} }$ ;
se il raggio $R$ è infinito, allora l'intera serie è chiamata funzione intera .