Matrice R0

In matematica , una matrice- è una vera matrice quadrata che fornisce proprietà particolari a problemi di complementarità lineare . Queste proprietà, difficili da esprimere in poche parole, sono descritte nella definizione che segue. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Definizioni

Le proprietà equivalenti che possono servire come definizione per -matrici richiedono il richiamo di alcune nozioni. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Per un vettore , la notazione significa che tutti i componenti del vettore sono positivi. Data una matrice reale quadrata e un vettore , un problema di complementarità lineare consiste nel trovare un vettore tale che , e , che sia scritto in modo abbreviato come segue: $v \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $v \ geqslant 0$ $v_ {i}$ $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$ $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ geqslant 0$ $Mx + q \ geqslant 0$ $x ^ {\! \ top} (Mx + q) = 0$

${\ mbox {CL}} (M, q): \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.$
Una funzione definita su con valori reali si dice coercitiva se ha i suoi insiemi di sottolivelli limitati , il che equivale a dire che tende all'infinito se . $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle \ | x \ | \ to \ infty}$

Possiamo ora dare la definizione di una matrice. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

${\ mathbf {R_ {0}}}$ -matrix - Diciamo che una matrice quadrata reale è una -matrix se una delle seguenti proprietà equivalenti vale: ${\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$

l'unica soluzione del problema è la soluzione nulla, ${\ mbox {CL}} (M, 0)$
qualunque cosa , la funzione è coercitiva, $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx + q) \ |}$
la funzione è coercitiva. ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}$

Indichiamo l'insieme di matrici di qualsiasi ordine. Chiamiamo -matricity la proprietà di una matrice a cui appartenere ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R_ {0}}.}$

Il legame tra il problema e la funzione deriva dal fatto che è una soluzione di se, e solo se, (l'operatore agisce componente per componente). ${\ mbox {CL}} (M, 0)$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}$ $X$ ${\ mbox {CL}} (M, 0)$ ${\ displaystyle \ min (x, Mx) = 0}$ $\ min$

Proprietà

Collegamento con la comproprietà

Un autovalore o autovalore di Pareto di una matrice reale simmetrica è un valore critico del problema di ottimizzazione ${\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}$ $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$

${\ displaystyle \ min _ {{x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ atop \ | x \ | = 1} \ atop x \ geqslant 0} \; x ^ {\! \ top} Mx,}$

cioè il valore del criterio in un punto stazionario di questo problema, che equivale a dire che il problema di complementarità lineare di seguito ha una soluzione diversa da zero : ${\ displaystyle \ mu = x ^ {\! \ top} Mx}$ $X$

${\ Displaystyle 0 \ leqslant x \ perp (M- \ mu I) x \ geqslant 0.}$

Secondo la definizione 1 di -matricità, vediamo che, per una matrice simmetrica , questa nozione equivale a dire che la matrice non ha un covalore proprio zero. Può essere utile avvicinare questa definizione a quella degli autovalori di una matrice simmetrica , ottenibili come valori critici del quoziente di Rayleigh , senza il vincolo di positività qui utilizzato. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Appendici

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Complementarità lineare

Bibliografia

(en) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Il problema della complementarità lineare . Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
(en) F. Facchinei, J.-S. Pang (2003). Disuguaglianze variazionali finite e problemi di complementarità (2 volumi). Serie Springer nella ricerca operativa. Springer-Verlag, New York.